100 likes | 247 Views
Rangul unei matrice. Realizatori : Cristea Octavian Laza Andrei Mancas George Marcu Beniamin.
E N D
Ranguluneimatrice Realizatori: CristeaOctavian Laza Andrei Mancas George MarcuBeniamin
Sa considerammatriceaA ЄMm,n(C).DacapЄ N*,p ≤ min(m,n), numimminor de ordin p al matricei Adeterminantuluneimatriceipatratice de ordinpformata cu elementele situate la intersectia a pliniisipcoloane din matriceaA. De exemplupentrumatriceaЄ M3,4 (C), determinantiisunt minori de ordin 2.
Deoareceputemalegeplinii in CmpmodurisipcoloaneCnpmodurirezulta ca matriceaAЄMm,n (C) are Cmp * Cnpminori de ordinp. Sa observam ca mionrulunui element intr-o matricepatratica de ordinneste un minor de ordinn-1 al aceleimatrice. Sa presupunem ca matriceaA ЄMm,n(C) estenenula , deci are celputin un element nenul . AtunciA are celputin un minor nenulsianumeminorul de ordin 1 format din acest element.
MultimeordinelorminorilornenuliaimatriceiAeste , in acestcaz , nevida (deoareceilcontinepe 1) sifinita, fiindinclusa in multimea {1,2,...,min(m,n)}. In consecinta ea are un celmai mare element , adicaexista un ordin maxim de minorinenuliaimatriceiA. Suntemcondusi, in acestfel , catreurmatorul concept important. Definitie: Fie A ЄMm,n(C) o matricenenula. Ordinul maxim al minorilornenuliaimatriceiA se numesterangulluiA. Observatie:Definitiaprecedentaarata ca pentru o matricenenulaA ЄMm,n(C) , numarul natural nenulrreprezintarangulluiAdacasuntindeplinitesimultanconditiile:
1. MatriceaA are celputin un minor nenul de ordinr. 2. Totiminorii de ordinr + 1 aimatriciiA (dacaexista) suntnuli, ceeaceestetotuna cu faptul ca totiminorii de ordin strict mai mare ca r (dacaexista) suntnuli. Ultima parte a conditiei 2 rezulta din faptul ca orice minor de ordinulr + 2 este o combinatieliniara de minori de ordinulr + 1 si, in conseciinta, el estenul, s.a.m.d. Evident, dacar = min(m,n) atuncimatriceaA nu are minor de ordin strict mai mare ca r. MatriceaOm,nnu are minorinenuli, de aceea, prindefinitie, ranguleieste 0.
Fie AЄMm,n (C) o matricenenular ≥1 rangulsau. Dacafixam un minor nenul de ordinr al matriceiA, acestavafinumitminor principal. Celerlinii (coloane) ale luiAcorespunzatoareliniilor (coloane) minorului principal se numesclinii (coloane) principale, iarcelelaltelinii (coloane) ale luiA se numesclinii (coloane) secundare. Teorema: Oricecoloane (linie) a uneimatricenenuleestecombinatieliniata de coloanele (liniile) principale ale matricei. Definitie:Daca ∆ este un minor de ordinr al matricei A ЄMm,n(C), cu r < min(m,n), numimbordat al lui∆ un minor de ordin r + 1 al matricei A obtinutprinadaugarea la ∆ a uneiliniisi a uneicoloane, ramase in afaralui ∆.
Propozitie: Dacaintr-o matriceA ЄMm,n (C) exista un minor nenul de ordinrsitotibordantiisai (dacaexista) suntnuli, atuncirangulmatriceiAesteegal cu r.
Exercitii 1) Sa se calculezerangulurmatoarelormatrice: a) ; b) ; c) ; d) ; 2) a) MatriceaAЄM2(R) verificarelatia = . AflatirangulmatriceiA. b) MatriceaA ЄM2(R) verificarelatia = . DeterminantirangulmatriceiA. 3) Se consideramatriceleA,BЄMn(C) astfelincatAB=BAsi = =In. Sa se arate ca (A+B)=n.
Raspunsuri 1) a)2; b)2; c)1; d)2; 2) a)2; b)1; 3) Cum 2 In = + = (A+B)( - AB + ) rezulta ca A + B esteinversabila, deci are rang n.