1 / 9

Rangul unei matrice

Rangul unei matrice. Realizatori : Cristea Octavian Laza Andrei Mancas George Marcu Beniamin.

ora
Download Presentation

Rangul unei matrice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ranguluneimatrice Realizatori: CristeaOctavian Laza Andrei Mancas George MarcuBeniamin

  2. Sa considerammatriceaA ЄMm,n(C).DacapЄ N*,p ≤ min(m,n), numimminor de ordin p al matricei Adeterminantuluneimatriceipatratice de ordinpformata cu elementele situate la intersectia a pliniisipcoloane din matriceaA. De exemplupentrumatriceaЄ M3,4 (C), determinantiisunt minori de ordin 2.

  3. Deoareceputemalegeplinii in CmpmodurisipcoloaneCnpmodurirezulta ca matriceaAЄMm,n (C) are Cmp * Cnpminori de ordinp. Sa observam ca mionrulunui element intr-o matricepatratica de ordinneste un minor de ordinn-1 al aceleimatrice. Sa presupunem ca matriceaA ЄMm,n(C) estenenula , deci are celputin un element nenul . AtunciA are celputin un minor nenulsianumeminorul de ordin 1 format din acest element.

  4. MultimeordinelorminorilornenuliaimatriceiAeste , in acestcaz , nevida (deoareceilcontinepe 1) sifinita, fiindinclusa in multimea {1,2,...,min(m,n)}. In consecinta ea are un celmai mare element , adicaexista un ordin maxim de minorinenuliaimatriceiA. Suntemcondusi, in acestfel , catreurmatorul concept important. Definitie: Fie A ЄMm,n(C) o matricenenula. Ordinul maxim al minorilornenuliaimatriceiA se numesterangulluiA. Observatie:Definitiaprecedentaarata ca pentru o matricenenulaA ЄMm,n(C) , numarul natural nenulrreprezintarangulluiAdacasuntindeplinitesimultanconditiile:

  5. 1. MatriceaA are celputin un minor nenul de ordinr. 2. Totiminorii de ordinr + 1 aimatriciiA (dacaexista) suntnuli, ceeaceestetotuna cu faptul ca totiminorii de ordin strict mai mare ca r (dacaexista) suntnuli. Ultima parte a conditiei 2 rezulta din faptul ca orice minor de ordinulr + 2 este o combinatieliniara de minori de ordinulr + 1 si, in conseciinta, el estenul, s.a.m.d. Evident, dacar = min(m,n) atuncimatriceaA nu are minor de ordin strict mai mare ca r. MatriceaOm,nnu are minorinenuli, de aceea, prindefinitie, ranguleieste 0.

  6. Fie AЄMm,n (C) o matricenenular ≥1 rangulsau. Dacafixam un minor nenul de ordinr al matriceiA, acestavafinumitminor principal. Celerlinii (coloane) ale luiAcorespunzatoareliniilor (coloane) minorului principal se numesclinii (coloane) principale, iarcelelaltelinii (coloane) ale luiA se numesclinii (coloane) secundare. Teorema: Oricecoloane (linie) a uneimatricenenuleestecombinatieliniata de coloanele (liniile) principale ale matricei. Definitie:Daca ∆ este un minor de ordinr al matricei A ЄMm,n(C), cu r < min(m,n), numimbordat al lui∆ un minor de ordin r + 1 al matricei A obtinutprinadaugarea la ∆ a uneiliniisi a uneicoloane, ramase in afaralui ∆.

  7. Propozitie: Dacaintr-o matriceA ЄMm,n (C) exista un minor nenul de ordinrsitotibordantiisai (dacaexista) suntnuli, atuncirangulmatriceiAesteegal cu r.

  8. Exercitii 1) Sa se calculezerangulurmatoarelormatrice: a) ; b) ; c) ; d) ; 2) a) MatriceaAЄM2(R) verificarelatia = . AflatirangulmatriceiA. b) MatriceaA ЄM2(R) verificarelatia = . DeterminantirangulmatriceiA. 3) Se consideramatriceleA,BЄMn(C) astfelincatAB=BAsi = =In. Sa se arate ca (A+B)=n.

  9. Raspunsuri 1) a)2; b)2; c)1; d)2; 2) a)2; b)1; 3) Cum 2 In = + = (A+B)( - AB + ) rezulta ca A + B esteinversabila, deci are rang n.

More Related