ÁLTALÁNOS TRANSZPORTEGYENLET

1. ÁLTALÁNOS TRANSZPORTEGYENLET Szennyezőanyag sorsa a felszíni vizekben Szűk értelmezés: csak a fizikai folyamatok (víz szerepe) Tág értelmezés: kémiai, biokémiai, fizikai folyamatok is szerepelnek • Alkalmazás: • Vízminőségi változások számítása az emisszió hatására (növekedés, csökkenés, határérték) • Keveredés térbeli léptéke (térbeli különbözőségek, a partok elérése, teljes elkeveredés) • Szennyvízbevezetések tervezése (sodorvonal, part, partközel vagy diffúzor-sor) • Havária - események modellezése (szennyezőanyag-hullámok vagy időben változó emissziók hatásainakszámítása, early warning - előrejelzés)

2. ISMERETLENEK ÉS EGYENLETEK • Sebesség (3 komponens – vx, vy, vz) - mozgásegyenlet • Nyomás vagy vízmélység (p, h) - kontinuitás • Koncentráció (c) – transzportegyenlet (konzervatív anyag?) • Sűrüség: ρ(c) – empirikus kapcsolat • Elvileg 6 szimultán egyenletet kell megoldani! • Gyakorlat: ρ≠ρ(c) • 1. + 2. megoldása: áramlástan, 3. megoldása: transzport • „Near field” és „far field” szétválasztása (utóbbit a sebességkülönbségek eltűnése jellemzi) • A sebességtér és a nyomás számításból, becslésből vagy mérésből nyerhető • A turbulens diffúzió tényezője ismeretlen: empíria, mérések, „inverz” feladat • Geometria és a perem származtatása fontos

3. Áramkép: a bevezetés módja, a folyó- és a hűtővíz aránya, a sebesség-, sűrűség- és impulzus viszonyok függvénye. A melegvíz LH távolságban veszi fel a folyó mozgás-állapotát („near field”). LHI távolságban a hőmér-sékletek kiegyenlítődnek a turbulens elkeveredés eredményeképpen a kereszt-szelvényben, végül LHJ távolságban bekövetkezik a visszahűlés („far field”).

4. Tisza: hőmérséklet eloszlás a melegvíz csóvában

5. Duna vízminőségének változása Szobnál (2001-2003)

6. KI (2) (1) ellenőrző felület V BE anyagáram ANYAGMÉRLEG tározott tömeg

7. Anyagmérleg Ha a C koncentráció a keresztmetszet mentén állandó (teljes elkeveredés) Speciális estek: • ha C(t), Q1(t), Q2(t) = áll.  permanens állapot →dC/dt = 0 • ha FORRÁSOK = O, konzervatív anyag(oldott állapotbanlévő, reakcióba nem lépő szennyező) • valós szennyezők: leggyakrabban nem konzervatív, • megjelenik forrás és/vagy nyelőtag (reakciók)

8. v KONVEKCIÓ DIFFÚZIÓ ÁLTALÁNOS TRANSZPORTEGYENLET • Alkalmazási feltételek: • A szennyezőanyagbevezetés az alapáramláshoz viszonyítva nem idéz elő számottevő sebességkülönbséget, • A szennyezőanyag és a befogadó sűrűségkülönbsége kicsi, • Konzervatív anyag

9.   c1 c2  x DIFFÚZIÓ: FICK TÖRVÉNY - c1 c2 szeparált tartályok - csapot kinyitjuk - kiegyenlítődés (Brown-mozgás) - hőmérsékletfüggés FLUXUS (fajlagos anyagáram) Egységnyi merőleges felületen át, időegység alatt D - molekuláris diffúziótényezője [m2/s]

10. diffúzió • megváltozás ANYAGMÉRLEG dz BE: konv +diff KI: konv + diff dy dx x irány BE KI • konvekció • vx c dy dz

11. dz BE: konv +diff KI: konv + diff dy dx ANYAGMÉRLEG x irány

12. Konvekció Diffúzió Anyagmérleg-egyenlet (konvekció-diffúzió 1D) Konvekció: áthelyeződés Diffúzió: szétterülés Ha D(x) = const. x irányban konvekció - diffúzió 1D egyenlete A többi irány esete teljesen hasonló

13. DIFFÚZIÓS HULLÁM

14. Három dimenzióban (3D): x, y, z irányok Konvekció: az áramlási sebességtől függően az eltérő koncentráció értékkel jellemzett részecskék egymáshoz viszonyítva különböző mértékben mozdulnak el. Diffúzió: a szomszédos vízrészecskék egymással való (lassú) elkeveredése, koncentráció kiegyenlítődéshez vezet. D – a molekuláris diffúziós tényező (anyagjellemző, izotróp, víz - 10-4 cm2/s) Kiterjesztése: turbulens diffúzió és diszperzió (azonos alakú egyenlettel, csak D értelmezése lesz más és megjelenik h vagy A)

15. ÁRAMLÁSOK v v’ eltérés, pulzáció  átlag t T a turbulencia időléptéke 0 • LAMINÁRIS: RÉTEGES, RENDEZETT TURBULENS: GOMOLYGÓ, RENDEZETLEN, VÉLETLEN a felületek érdessége (súrlódás), intenzív keveredést idéz elő

16. 0 ? 0 TRANSZPORT • KONVEKCIÓ : vc [ kg/m2s ] • HOGYAN ALAKUL TURBULENS ÁRAMLÁSBAN?

17. v turbulens diffúzió (“felhő”) molekuláris diffúzió TURBULENS DIFFÚZIÓ Dtx, Dty, Dtz>> D

18. 3D transzport egyenlet turbulens áramlásban: Dx = D + Dtx, Dy = D + Dty, Dz = D + Dtz • Konvekció: átlagsebesség (T) és a pulzációk hatása, utóbbi a diffúziós tagban jelenik meg! • Turbulens diffúzió • - Sebesség véletlenszerű ingadozásai (pulzációk) • - Matematikailag diffúziós folyamatként kezelendő • - Hely- és irányfüggő (nem homogén, anizotróp) • - Turbulenciakutatás és empirikus összefüggések

19. x H v z Mélység menti átlagsebesség O DISZPERZIÓ Mélység mentén integrálunk (3D2D): A konvektív tag kifejtése után (vC): diszperzió

20. v DISZPERZIÓ A térbeli egynlőtlenségekből adódó konvektív transzport (az átlaghoz képest előresiető, visszamaradó részecskék) • Dx* = D + Dtx + Ddx • - Csak 2D és 1D egyenletekben létezik (argumentum: pl. (hvxc)) • - Diszperziós tényező: a sebességtér függvénye • - Víz és légkör (kanyarok, esés, stabilitás, inverzió stb.) • - Minél nagyobb az átlagolandó felület, annál nagyobb az értéke • - 2D eset: Dx*, Dy* >> Dx • - 1D eset: Dx** >> Dx* • - Lamináris áramlásban is létezik!

21. 2D transzport egyenlet turbulens áramlásban (koncentr. H menti átlag): - Dx*, Dy* 2D egyenlet turbulens diszperziós tényezői (Taylor) - Mélység mentén vett átlag (H) 1D transzport egyenlet turbulens áramlásban ( A menti átlag): - Dx** 1D egyenlet turbulens diszperziós tényezője - Keresztszelvény területre vonatkoztatott átlag (A)

22. Hosszir. diszperzió (1D) Hosszir. diszperzió (2D) Keresztir. diszperzió (2D) Vízsz. ir. turbulens diff. Tavak Függ. ir. turbulens diff. Mély réteg Felszíni réteg Molek. diff. pórusvíz 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 104 106 108 cm2/s NAGYSÁGRENDEK

23. Diszperziós tényező meghatározása: nyomjelzős mérések Mérés nyomjelző anyaggal (pl. festék, lassan bomló izotóp) Inverz számítási feladat a mért koncentráció-értékekből

24. Diszperziós tényezők becslése (empíriák) • Keresztirányú diszperziós tényező (Fischer): • Dy*= dy u*R (m2/s) • dy– dimenzió nélküli konstans, • egyenes, szabályos csatorna dy 0.15, • enyhén kanyargós meder dy  0.2 – 0.6 • kanyargós, tagolt meder dy > 0.6 (1-2) • u* - fenékcsúsztató sebesség, u* = (gRI)0.5 • R – hidraulikai sugár (terület/kerület); I esés (-) Hosszirányú diszperziós tényező: dx 6

25. Analitikus megoldások csak egyszerűbb esetekben vezethetőek le közelítő számítások TRANSZPORTEGYENLET ANALITIKUS MEGOLDÁSAI Szennyezőanyagok permanens elkeveredése Szennyezőanyag-hullám levonulása Fő lépések: Medergeometria, sebesség, vízmélység (mérés, számítás) Diszperziós tényező(k) 2D, 1D Pontosabb számítások mérések alapján, numerikus módszerekkel (kalibrálás, igazolás)

26. ¶ × ¶ ¶ ( h c ) ¶ ¶ ¶ ¶ c c + × + × = ( h v c ) ( h v c ) × + × ( h D ) ( h D ) x y ¶ ¶ ¶ t x y x y ¶ ¶ ¶ ¶ x x y y ¶ ¶ 2 c c = v D x y ¶ ¶ 2 x y Konvekció áthelyeződik Diszperzió szétterül PERMANENS ELKEVEREDÉS Időben állandósult szennyezőanyag-emisszió Permanens kisvízi vízhozam Állandó sebesség, vízmélység és diszperziós tényezők 2D-egyenlet, mélység menti változás elhanyagolása (sekély folyó) Kezdeti feltétel: M0 (x0, y0) - emisszió Peremfeltétel: ¶c/¶y= 0a partnál

27. · M [kg/s] cmax x B y cmax 2 D x y s = y v x Sodorvonali bevezetés - 2 M v y c (x, y) = x exp( ) P 4 D x 2 h D v x y y x Hosszirányban: x-½függvény szerint Keresztirányban: Gauss (normál) - eloszlás

28. · M = × × s B 2 2 . 15 Bcs: 0.1 cmax-nál cs csóvaszélesség 2 D x y = B 4 . 3 cs v x Sodorvonali bevezetés C (x1, y) Bb x B y xL1 x1 v = B ~ Bcs xL 2 x 0 . 027 B 1 D y első elkeveredési távolság (part elérése)

29. · M - 2 M v y = x C (x,y) exp( ) P 4 D x h D v x y y x cmax 2 D x y = B 2 . 15 cs v x Parti bevezetés x C (x1, y) y B x1 Part elérése: v = xL 2 x 0 . 11 B 1 D y

30. · M cmax Partközeli bevezetés (általános alak) y0 x C (x1, y) y B x1 M ( y-y0 )2 ( y+y0 )2 -v -v = x x c (exp ( ) +exp ( )) P 4 Dy x 4 Dy x D v x 2h y x y0 = 0 → parti y0 = B/2 → sodorvonali

31. · · · M1 M1* M1** Ctükr = C (M1) + C (M1*) Partélek figyelembevétele (teljes folyószakasz) Peremfeltétel: tükrözési elv alkalmazása C (M1) 2B B 2B B C (M1*)

32. n=∞ ∑ M ( y-y0 +2nB)2 -v n=−∞ ( = x c exp ( ) P 4 Dy x 2h D v x y x -v ( y+y0 -2nB)2 ) x ) + exp ( 4 Dy x Partélek figyelembevétele (teljes folyószakasz) Matematikai leírás: végtelen sor megjelenése A parttól y0 távolságra lévő bevezetés esetén: · + Teljes elkeveredés: a koncentráció keresztszelvény menti változása 10 %-nál kisebb L2~ 3L1 második elkeveredési távolság

33. · · M2 M1 Több szennyezőforrás esete C1 C = C1 + C2 C2 Több bevezetési pont vagy diffúzor sor: szuperpozíció elve Elkülönített számítás minden egyes bevezetési pontra majd összegzés

34. ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ c c c + + ( v c ) = ( D ) ( D ) x ¶ ¶ x y ¶ ¶ ¶ ¶ t x x x y y SZENNYEZÉS HULLÁM (NEM-PERMANENS): Lökésszerű, havária-jellegű terhelések Időben erősen változó terhelések 2D-esetben

35. ¶ ¶C C + = v x ¶ ¶ t x ¶ 2 C D x ¶ 2 x - - 2 ( x v t ) G = x C exp( ) P 4 D t 2 A D t x x Lökésszerű terhelés 1D-esetben (keskeny és sekély folyók) G (x0, y0) – szennyező tömege

36. s = G 2 D t = Cmax x x P 2 A D t = x L 4 . 3 s c x Lökésszerű terhelés C (t1,x) C C (t2,x) Lc1 Lc2 x x1 = vx t1 x2 = vx t2 Egy rögzített pillanatban (x/vx)

37. L c2 G [kg] B c2 cmax - - 2 2 G ( x v t ) y = - x c exp( ) P 4 D t 4 D t 4 ht D D x y y x s = 2 D t x x = = L 4 . 3 B 4 . 3 c x c y Lökésszerű terhelés C (t2, x, 0) C (t2, x2, y) x B x1=vt1 y x2=vt2 s = 2 D t y y s s

38. · D - - - - D 2 n M t ( x v ( t ( i 1 ) t )) å = i x C exp( ) P - - D - - D 1 / 2 2 A ( D ( t ( i 1 ) t ) 4 D ( t ( i 1 ) t ) = i 1 x x · M [ kg / s ] i t i=n i=1 D t Időben változó kibocsátás Diszkretizálás elemi egységekre (közel konstans terheléssel) majd szuperpozíció (egymást követő lökésszerű terhelések) Gi ~ Mi·Δt t - (i-1) ·Δt ≥ 0

39. TRANSZPORTEGYENLET NEM-KONZERVATÍV ANYAGOKRA • Források és nyelők vannak az áramlási térben • Kémiai, biokémiai, fizikai átalakulások történnek • Nem konzervatív szennyező: reakciókinetikai tag ( R(C) ) • Figyelembe vétele lineáris közelítéssel történik: dC/dt = ±·C, ahol  a reakciókinetikai tényező (rendszerint elsőrendű kinetika) 1D egyenlet ebben az esetben: • Több szennyező egymásra hatása: C1,C2, .. Cn számú egyenlet!