Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse

1. Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse Markus Seidler markus.seidler@chello.at

2. Inhalt • Normal und rare events • Wiener Prozess • Poisson Prozess • Charakteristik von normal bzw. rare events • Erweiterung der SDE • Momente

3. Gewöhnliches Ereignis(normal event) • Betrachtungszeitraum h wird kleiner  Größe der Ereignisse wird kleiner • Werden fast unbedeutend wenn h  0 • aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht null

4. Seltenes Ereignis(rare event) • In stetiger Zeit (h  0) Wahrscheinlichkeit  0 • ABER Größe muss nicht kleiner werden

5. Kapitel 7 • Asset Preis „Überraschunskomponente“ • Varianz  Erwartete Größe • Varianz proportional zu h • Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Größe  SELTENES Ereignis • Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe  GEWÖHNLICHES Ereignis

6. Modellieren von asset Preisen in stetiger Zeit • Wiener Prozess (oder Brownsche Bewegung) • Stetiger stochastischer Prozess • Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten (tail area – Normalverteilung) • Poisson Prozess • Unstetig • Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch seltene Ereignisse • Kombination beider Modelle

7. Wiener Prozess • Zufallsvariable kann sich nur stetig verändern • Kleiner Zeitintervall h  kleine Änderungen von •  Ereignisse gewöhnlich

8. Wiener Prozess • ist ein quadratisch integrierbares Martingal mit = 0 und • Die Abbildungen von sind stetig über t s ≤ t

9. Eigenschaften Wiener Prozess • hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal ist • hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startet • hat Varianz t • Da Prozess stetig, gibt es in unendlich kleinen Intervallen, unendlich kleine Veränderungen

10. Poisson Prozess • gesamte Anzahl an „extremen Schocks“ in einem Finanzmarkt • sind die Veränderungen in während einer unendlichen kleinen Zeitperiode

11. Poisson Prozess • Annahme: Rate der Erscheinungen während = ist der Prozess definiert als ist ein quadratisch integrierbares Martingal Dabei ist

12. Unterschiede • Die Abbildungen sind unterschiedlich • Stetige Graphen vs. Sprünge • Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h  0, geht Richtung null. • D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener Prozess • Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher.

13. Charakteristik seltener und normaler Ereignisse • Kapitel 7: SDE • Annahme: nur eine endliche Zahl

14. Varianz von • Da endliche Nummer an Werten 

15. Linke Seite proportional zu h • Jeder Term der Summe ist proportional zu h deswegen wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstellt • sind lineare Funktionen von h deswegen • Laut Merton spezielle exponentiale Formen Wobei r und q nicht negative Konstanten sind und w und p in Abhängigkeit von i oder k, jedoch nicht von h.

16. Varianz: bzw. • Das bedeutet: und mit folgenden Einschränkungen für und • Deswegen zwei Arten von Ereignissen: • Gewöhnliche: Seltene:

17. Normal Event • Annahme: = 0,5 • Größe wird kleiner, wenn h kleiner wird • Wahrscheinlichkeit bleibt konstant

18. Smoothness („Glätte“) • Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. • Mit = 0,5 • D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich  Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.

19. Rare Event • Mit = 0 und = 1 • Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h  0 • Währenddie Größe konstant bleibt • Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden.

20. Modelle für rare events • SDE wenn h kleiner wird • Rare event fehlt • Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..) • Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 • Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. • Ergebnis:

21. SDE für normale und seltene Events • wenn h kleiner wird

22. Momente • Momente sind verschiedene Erwartungen des zugrunde liegenden Prozesses • 1. Ordnung: Erwartungswert • 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der Volatilität) • 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung • 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“

23. Momente • Bei Prozessen mit normalen Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h  0. • Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind.

24. Zusammenfassung „Große“ Events, die selten vorkommen Erwartete Veränderung Reguläre Ereignisse mit bedeutungsloser Größe Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen