PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013

1. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 PROBLEMAS RESUELTOS

2. A 70° X P B Resolución Problema Nº 01 Calcule la medida del ángulo “X”.

3. C A mAB=140º 70° X P B RESOLUCIÓN 140º Medida del ángulo inscrito: También se resuelve : Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º Resolviendo: 140º + x = 180º

4. A P X 130º B Resolución Problema Nº 02 Calcular la medida del ángulo “x”

5. C A P X 130º mACB = 100º 260º + mACB = 360º B mACB + x = 180º RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: mAB = 260º En la circunferencia: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º

6. B 2 A C 5 5 Resolución Problema Nº 03 Calcule el perímetro del triángulo ABC.

7. B a b 2 A C 5 5 (1) (2) RESOLUCIÓN Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: p = a + b + 10 = 14 + 10 p = 24 p = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)

8. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . Q a P X R S Resolución a Problema Nº 04 PLANTEAMIENTO 80º

9. 80º Q a P X R S a RESOLUCIÓN En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º

10. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS SPQ = x Reemplazando: 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

11. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. Q mQR = 140° H S 70° X P 20° R Problema Nº 06 RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m  S = 70º Por ángulo inscrito 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°

12. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. Medida del ángulo interior A mBC = 50° B Medida del ángulo exterior x P C D Problema Nº 07 RESOLUCIÓN APD = x 130° 50° Resolviendo: X = 40°

13. En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. N M x x A P o B Problema Nº 08 RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° Ángulo central igual al arco x Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

14. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. B 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 09 RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: PRQ = x 110° Medida del ángulo inscrito: Resolviendo: X = 55°

15. En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q 3 R P 2 Resolución S Problema Nº 10 PLANTEAMIENTO

16. a b Q c 3 d + R P 2 22 = 2PR + 10 S RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm Teorema de Poncelet: PQRa + b = PR+2(3) PSRc + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm