PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

1. PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PENGANTAR ANALISIS REAL DR. MARWAN RAMLI PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SYIAH KUALA Banda Aceh, 28 Agustus 2012

2. outline BILANGAN REAL Sifat aljabar dan urutan dalam bilangan real Nilai mutlak dan garis real Sifat kelengkapan bilangan real Interval dalam bilangan real BARISAN DAN DERET Barisan dan limit barisan Beberapa teorema limit barisan Deret tak hingga

3. OPERASI BINER Misalkan A adalahhimpunantakkosong. Operasibiner * atas A adalahpemetaansetiappasanganberurutanx,y A ketepatsatuanggota x*y  A * : A x A  A (x,y)  x*y Contoh : Operasi + padahimpunanbilanganbulat Z + : (3,5)  3+5 =8 Himpunan A dikatakantertutupterhadapbiner * apabilasetiapx,y A memberikan x*y  A Contoh : Operasi - padahimpunanbilanganasli N - : (3,5)  3-5 =-2  N

4. INDUKSI MATEMATIKA PRINSIP PERTAMA INDUKSI BERHINGGA Misalkan S(n) merupakansuatupernyataanmatematika yang menyatakanekspresimatematikatentangbilanganbulatpositif. Langkahpembuktian : Tunjukkanberlakuuntuk n0 Asumsikanberlakuuntuk n=k Tunjukkanberlakuuntuk n=k+n0 PRINSIP KEDUA INDUKSI BERHINGGA Misalkan S(n) merupakansuatupernyataanmatematika yang menyatakanekspresimatematikatentangbilanganbulatpositif. Langkahpembuktian : Tunjukkanberlakuuntuk n0 Asumsikanberlakuuntuk n=k, n0≤ k < m Tunjukkanberlakuuntuk n=m

5. GRUP Suatugrup {G,*} terdiridarianggotahimpunan G bersamadenganoperasibiner * yang didefinisikanpada G danmemenuhi : Tertutup : a*b Ga,bG Hukumasosiatif : (a*b)*c=a*(b*c),a,b,cG Unsuridentitas : !eG  a*e= e*a=a, aG Unsurinvers : !a-1G  a* a-1 = a-1 *a=e, aG Grup{G,*} dikatakangrupabelapabilaa*b= b*a, a,bG Grup{G,*} dikatakangrupsiklikasalkan G=<a> (baca : G dibangunoleh a) untuksuatuaG G={an|nZ} Z himpunananggotabilanganbulat. Contoh {Z4,+}. {Z4,+} = <1> atau <3>

6. GRUP BAGIAN Suatugrupbagian S darigrup G adalahhimpunanbagiandari G yang merupakangrupdibawahoperasi yang samadengan G yang dibatasipada S. Contoh : {Z,+} adalahgrupbagiandari {R,+} {S,+} dengan S={0,2,4} adalahgrupbagiandari {Z6,+} {Z6,+} bukangrupbagiandari {Z12,+} Teorema : Diketahui S himpunanbagiandarigrup G denganelemenidentitas e. Himpunan S merupakangrupbagian G jikadanhanyajikamemenuhi : eS S tertutupdibawahoperasi G UntuksebarangsS, invres s ditulis s-1S

7. GELANGGANG Suatu Ring {R,+,*} terdiridarianggotahimpunan G bersamadenganoperasibiner “+”, “*” yang didefinisikanpada R danmemenuhi : {R,+} grupkomutatif {R,*} bersifatasosiatif R distributif : a,b,cR, a*(b+c)=a*b+a*c dan (a+b)*c=a*c+b*c Contoh : {Z,+,.}, {R,+,.}, {Q,+,.} {C,+,.}, {M2,+,.} SuatuGelanggangKomutatif {R,+,*} dikatakan integral domain apabilatidakmemuatpembagi nol. Contoh : {Z,+,.}, {Zp,+,.} integral domain {Zn,+,.} bukan integral domain

8. BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL Terdapatduaoperasibiner, “+” dan “.”, yang disebutsebagaipenjumlahandanperkalian

9. BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL Terdapatduaoperasibiner, “+” dan “.”, yang disebutsebagaipenjumlahandanperkalian Dapatditunjukkanbahwa Himpunanbilangan real adalahgrupatasoperasipenjumlahan Himpunanbilangan real tanpanoladalahgrupatasoperasiperkalian

10. BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL AlgoritmaPembagian Misalkana,b Z dengan a>0, ! q,r Z  b = qa + r, 0 ≤ r < a Contoh : 1. 38 dibagi 7 ; 38 = (5) 7 + (3), jadi q=5 dan r=3 2. -38 dibagi 7 ; -38 = (-6) 7 + 4, jadi q=-6 dan r = 4

11. BILANGAN REAL BilanganRasionaldanIrrasional Himpunanbilanganrasional yang dinotasikandengan Q adalahsuatuhimpunan yang setiapanggotanyadapatdituliskandalambentuk : a/b,  a,bZ, b≠0 Himpunanbilanganirrasional yang dinotasikandengan R-Q adalahsuatuhimpunan yang setiapanggotanyatidakdapatdituliskandalambentuk : a/b,  a,bZ, b≠0 Contoh (Buktikan !)

12. BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL • Sub himpunan P R disebutsebagaihimpunanbilangan real positifapabilamemenuhi : • a+bP,  a,bP • a.bP,  a,bP • UntuksuatuaP, makaakanmemenuhisalahsatukondisi : a P, a=0 dan -aP (sifattrikotomi) Akibatsifattrikotomi a,bR, a<b, a=b, a>b. Apabilaa≤bdanb≤a, maka a=b a<b<c artinya a<b dan b<c

13. BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL • Teorema : Untuksebaranga,b,c R. • Apabila a<b dan b<c, maka a<c • Apabila a>b, makaa+c > b+c • Apabilaa>b dan c>0, maka ac > bc, apabilaa>b dan c<0, maka ac < bc • Apabilaa>0, maka 1/a > 0, apabilaa<0, maka 1/a < 0 Teorema : ApabilaaRdan a≠0, maka a2>0 1 > 0 Apabila n N, maka n>0 Teorema : Apabilaa,bRdan a<b, maka a < (a+b)/2 < b

14. BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL • Teorema : Misalkana,b R, apabilaab > 0 makaberlaku • a>0 dan b>0, • a<0 dan b<0 • Teorema : Misalkana,b R, apabilaab < 0 makaberlaku • a>0 dan b<0, • a<0 dan b>0 NilaiMutlak. Nilaimutlakdarisuatubilangan real a dinotasikandengan |a|, didefinisikansebagai

15. BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL • Teorema : Misalkana,b,c R • |ab|=|a||b| • |a|2=a2 • Apabila c≥0, maka |a|≤ c jikadanhanyajika -c ≤ a ≤c • -|a|≤a ≤|a| Teorema : Untuka,b R berlaku |a+b|≤|a|+|b| ||a|-|b|| ≤ |a-b| |a-b| ≤ |a|+|b| Akibat : Untuk a1,a2,…,an R berlaku |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|

16. BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Contoh : Diberikansuatufungsi yang didefinisikanoleh dengan x[2,3]. Tentukan M sedemikianrupasehingga f(x)≤ M Solusi : |2x2-3x+1| ≤ 2x2+3|x|+1=28 sementaraitu |2x-1|≥ 2|x|-1=3. Dengandemikian |f(x)|≤ 28/3. Jadi M = 28/3

17. BILANGAN REAL GARIS BILANGAN REAL Salahsatuinterpretasigeometris yang cukupdikenaladalahgarisbilangan real. Padagaris real nilaimutlak |a|, aR, adalahjarakdarititik a ketitik 0. Secaraumumjarakdarisuatutitik a ketitik b, dengana,bR, di R adalah |a-b|. |2-(-1)|=3 DiberikanaRdan >0. Persekitaran-dari a didefinisikansebagaihimpunan V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+)

18. BILANGAN REAL SIFAT KELENGKAPAN HIMPUNAN BILANGAN REAL • SupremumdanInfimum. Diberikan sub himpunantakkosongS R. • Himpunan S dikatakanterbataskeatasapabilaterdapatsuatubilanganuR, sedemikiansehinggas≤u,sS • Himpunan S dikatakanterbataskebawahapabilaterdapatsuatubilanganwR, sedemikiansehinggas≥w,sS • Himpunan S dikatakanterbatasapabilaterbataskeatasdanterbataskebawah Supremum. Diberikan sub himpunantakkosongS R. Misalkan S terbataskeatas, suatubilanganuRdikatakansupremumdari S apabila u adalahbatasatasterkeciluntuk S Infimum. Diberikan sub himpunantakkosongS R. Misalkan S terbataskebawah, suatubilanganwRdikatakaninfimumdari S apabila w adalahbatasbawahterbesaruntuk S

19. Terima Kasih sampai Jumpa 2D Wave Generation Simulations