آمار و احتمال

1. آمار و احتمال موسوی ندوشنی زمستان 1383 دانشگاه صنعت آب و برق

2. مشخصات درس • نام: آمار و احتمال مهندسی • تعداد واحد: 3 • پیش‌نیاز: ریاضی 1 • اهداف درس: • آشنایی با مبانی احتمال • آشنایی با متغیرهای تصادفی • آشنایی با مفاهیم تابع احتمال و تابع توزیع • آشنایی با توزیع‌های خاص • آشنایی با گشتاورها (میانگین، واریانس، توابع مولد گشتاور) • آشنایی با توابع احتمال دو متغیره و گشتاورهای ضربی و کواریانس و ضریب همبستگی • آشنایی با استباط آماری • آشنایی با توزیع‌های نمونه‌ای دانشگاه صنعت آب و برق

3. نحوه ارزيابي درس • ارزیابی درس به صورت زیر انجام خواهد شد. • امتحان میان ترم: • 30 درصد • تاریخ: 1388/8/28 • امتحان پایان ترم • 60 درصد • تاریخ:1388/10/30 • تمرین • 10 درصد • تذکر بسیار مهم: کسانی می‌توانند از امتیاز تمرین استفاده کنند که دارای شرایط زیر باشند. • تمرین‌ها را در مهلت مقرر تحویل داده باشند. • حداقل 45 درصد از 90 درصد (امتحانات میان ترم و پایان ترم) را کسب نمایند. دانشگاه صنعت آب و برق

4. مراجع و ماخذ آمار و احتمالات کاربردی، مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، ویرایش جدید آمار کاربردی، علی عمیدی، جلد اول و دوم، مرکز نشر دانشگاهی نظریه احتمال و نتیجه‌گیری آماری، غلامحسین همدانی مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۵۶ دانشگاه صنعت آب و برق

5. انواع پدیده‌ها • پدیده‌های معین • پدیده‌هایی که نتایج آنها با توجه به روابط و معادلات حاکم به دقت قابل شناسایی است. • پدیده‌های تصادفی • پدیده‌هایی که نتایج آنها از قبل بطور دقیق قابل شناسایی نیست. دانشگاه صنعت آب و برق

6. تعاریف اولیه • تجربه یا آزمایش • تکرارپذیر • همگانی • فضای نمونه • مجموعه تمام نتایج یک آزمایش را گویند. • پیشامد • زیر مجموعه‌های فضای نمونه را پیشامد گویند. دانشگاه صنعت آب و برق

7. مثال • یک سکه را دوبار پرتاب می‌کنیم: • فضای نمونه • پیشامد روی دادن یک شیر • پیشامد روی دادن حداقل یک شیر دانشگاه صنعت آب و برق

8. تعریف احتمال • اگر A یک پیشامد باشد، احتمال آن به‌صورت زیر خواهد بود. • در مثال قبل احتمال اینکه یک شیر بیاید چیست؟ • در مثال قبل احتمال اینکه حداقل یک شیر بیاید چیست؟ دانشگاه صنعت آب و برق

9. اصول احتمال • کلمگروف اصول احتمال را به شرح زیر ارایه داد: • اگر فصل مشترک دو پیشامد تهی باشد، خواهیم داشت. دانشگاه صنعت آب و برق

10. پیشامدهای مستقل • دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر و فقط اگر داشته باشیم: • مثال: احتمال حل مساله ریاضی توسط علی ¾ و احمد ½ باشد. مساله‌ای را برای حل به هر دو نفر می‌دهیم، احتمال اینکه مساله حل شود، چقدر است. دانشگاه صنعت آب و برق

11. پیشامدهای ناسازگار • دو پیشامد A و B را ناسازگار گوییم اگر امکان وقوع این دو پیشامد به طور هم‌زمان وجود نداشته باشد. • مثال: از ظرفی که 5 مهره قرمز، 6 مهره آبی دارد. 3 مهره را تصادفی و بطور همزمان خارج می‌کنیم. مطلوبست احتمال اینکه حداقل 2 مهره قرمز باشد، چیست؟ • A : پیشامد 2 مهره از 3 مهره قرمز باشد. • B : پیشامد هر 3 مهره قرمز باشد. دانشگاه صنعت آب و برق

12. احتمال متمم یا مکمل • اگر A′ پیشامد متمم A باشد، خواهیم داشت: دانشگاه صنعت آب و برق

13. احتمال پیشامدهای غیر مستقل یا شرطی • مطابق تعریف، احتمال شرطی بصورت زیر است: • بنابراین داریم: • یا می‌توان داشت: • بنابراین داریم: دانشگاه صنعت آب و برق

14. مثال‌های احتمال شرطی • از ظرفی که 5 مهره قرمز و 6 مهره آبی دارد، 2 مهره را به طور تصادفی و متوالی و بدون جایگذاری اختیار می‌کنیم. مطلوبست احتمال آنکه هر دو مهره قرمز باشند. • A: پیشامد اینکه مهره اول قرمز باشد. • B: پیشامد آنکه مهره دوم قرمز باشد. • در مثال بالا اگر دو مهره هم‌زمان برداشت شوند، احتمال تغییر نمی‌کند. دانشگاه صنعت آب و برق

15. فرض کنید که فضای نمونه افراز شود، یعنی داشته باشیم: پیشامد B با افراز مذکور دارای فصل مشترک است. بنابراین احتمال کل عبارتست از: احتمال کل Ai B دانشگاه صنعت آب و برق

16. قضیه بیز (Bay’s) • اگر شرایط احتمال کل برقرار باشد، قضیه بیز احتمال زیر را محاسبه می‌کند. دانشگاه صنعت آب و برق

17. مثال قضیه بیز • در یک کارخانه سه خط تولید وجود دارد. اولی 50 درصد، دومی 30 درصد و سومی 20 محصولات آنرا تولید می‌کند. اگر ضایعات هر خط تولید به ترتیب برابر 10 درصد، 20 درصد و 30 درصد باشد. • محصولی را به تصادف اختیار می‌کنیم، احتمال آنکه خراب باشد، چیست؟ • محصول انتخاب شده خراب است، احتمال آنکه محصول از خط دوم تولید شده باشد، چیست؟ دانشگاه صنعت آب و برق

18. تابع متغیر تصادفی • تابعی که از فضای نمونه یک آزمایش تصادفی به مجموعه اعداد حقیقی تعریف شود را تابع متغیر تصادفی می‌گویند و با علامت X و Y و ... (یکی از حروف بزرگ لاتین) نشان می‌دهند. • تابع متغیر تصادفی نوعی کدگذاری است. در واقع پیشامد را به یک عدد تبدیل می‌کند. • تابع متغیر تصادفی به گونه‌ای تعریف می‌شود که نشان‌دهنده هدف آزمایش نیز می‌باشد. دانشگاه صنعت آب و برق

19. مثال متغیر تصادفی • سکه‌ای را دو مرتبه پرتاب می‌کنیم در صورتی که هدف از این آزمایش شمارش تعداد خط باشد، متغیر تصادفی تعریف کنید که این هدف را نشان دهد. • برد تابع عبارتست از: دانشگاه صنعت آب و برق

20. مثال متغیر تصادفی • از ظرفی که 5 مهره قرمز و 6 مهره آبی دارد، سه مهره بطور هم‌زمان خارج می‌کنیم. در صورتی که هدف از این آزمایش شمارش تعداد مهره قرمز باشد. متغیر تصادفی تعریف کنید که این هدف را نشان دهد. • فضای نمونه به دو دسته تقسیم می‌شود. • گسسته: اگرتعداد عضوهای فضای نمونه متناهی و یا نامتناهی قابل شمارش باشد. • پیوسته: اگر تعداد عضوهای فضای نمونه نامتناهی غیرقابل شمارش باشد. دانشگاه صنعت آب و برق

21. انواع متغیر تصادفی • گسسته: اگر فضای نمونه متغیر تصادفی گسسته باشد. • پیوسته: اگر فضای نمونه متغیر تصادفی پیوسته باشد. • متغیر تصادفی گسسته وتابع احتمال • یک متغیر تصادفی گسسته هر کدام از مقادیر خود را با احتمالی اختیار می‌کند. چون هر مشاهده نماینده یک پیشامد است و هر پیشامد دارای یک احتمال است. • تعریف تابع احتمال: جدول یا فرمولی که مقادیر یک متغیر را همراه با احتمال‌های مربوط به آن نشان دهد. تابع احتمال یا توزیع احتمال گویند و با علامت تابعی fX(x) و fY(y) و... نشان می‌دهیم. دانشگاه صنعت آب و برق

22. مثال تابع توزیع احتمال • سکه‌ای را سه مرتبه پرتاب می‌کنیم در صورتی که متغیر تصادفی X نشان‌دهنده تعداد خط باشد. تابع احتمال این متغیر تصادفی را به دو صورت جدول و فرمول تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

23. بقیه مثال دانشگاه صنعت آب و برق

24. خصوصیات تابع احتمال • تابع توزیع احتمال یا تابع احتمال P(X=x)=fX(x)دارای دو ویژگی است: • متغیر تصادفی X دارای تابع احتمالی به صورت زیر می‌باشد. مقدار ثابت k را محاسبه کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

25. P(X=x) 1/8 x 3 1 0 2 نمودار میله‌ای • زوج‌های مرتب (x,P(X=x)) را در صفحه مختصات مشخص کرده و از این نقاط بر محور x ها عمود می‌کنیم. 3/8 دانشگاه صنعت آب و برق

26. تابع توزیع تجمعی • اگر X یک متغیر تصادفی با تابع احتمال fX(x) باشد، تابع توزیع تجمعی این متغیر که با علامت تابعی FX(x) نشان داده می‌شود را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: دانشگاه صنعت آب و برق

27. مثال تابع توزیع تجمعی • در صورتی که متغیر تصادفی X دارای تابع احتمالی به صورت زیر باشد، تابع توزیع تجمعی این متغیر را تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

28. F(x) 5/5 4/5 3/5 2/5 1/5 0 1 3 2 X نمایش هندسی تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمعی مثال قبل را رسم کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

29. خصوصیات تابع توزیع تجمعی • تابع غیر نزولی است. • اگر X پیوسته باشد، تابع احتمال X را تابع چگالی احتمال (probability density function (pdf)) می‌نامند و با fX(x) نشان می‌دهند. دانشگاه صنعت آب و برق

30. f(x) R b a تابع چگالی احتمال (حالت پیوسته) • خصوصیات تابع چگالی احتمال دانشگاه صنعت آب و برق

31. مثال تابع چگالی احتمال (1) • آیا تابع زیر یک تابع چگالی احتمال است؟ • حل: دانشگاه صنعت آب و برق

32. مثال تابع چگالی احتمال (2) اگر X متغیری با تابع چگالی احتمال زیر باشد، مقدار ثابت k را بیابید. حل: دانشگاه صنعت آب و برق

33. تابع توزیع تجمعی در حالت پیوسته • اگر X متغیری پیوسته با تابع چگالی احتمال fX(x) باشد. تابع توزیع تجمعی این متغیر را با FX(x) نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم: دانشگاه صنعت آب و برق

34. ارتباط بین تابع چگالی احتمال و تابع توزیع احتمال f(x) F(x) 0.8 0.4 0.0 دانشگاه صنعت آب و برق 0 2 4 6 10 12 8 x