GLI INSIEMI

1. GLI INSIEMI

2. Presentazione Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nell’apprendimento graduale del concetto ed è per questo motivo che ci si è preoccupati della semplicità della trattazione pur nel rispetto della correttezza logica e terminologica. L’alunno può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano. Al termine sono stati proposti alcuni esercizi grazie ai quali l’alunno può autoverificare il proprio grado di preparazione.

3. CONCETTO D’INSIEME • Nel linguaggio corrente ci sono numerose parole dal significato collettivo, per esempio, i termini comunità, folla, squadra, gregge, stormo, collezione indicano raggruppamenti di persone, di animali o di cose. Il termine corrispondente, usato in matematica è quello di insieme; gli oggetti che ne fanno parte si chiamano elementi

4. In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o no a quel raggruppamento

6. RAPPRESENTAZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Anna che sono: Rita, Maria, Giuseppe, Marco, Lina, Romeo. A 1 Maria Giuseppe  Con i diagrammi di Eulero Venn: Rita  Lina Marco Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): Romeo 2 A = Maria; Rita; Marco; Giuseppe; Romeo; Lina Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): 3 A = xx è amico di Anna

7. SOTTINSIEMI • Dati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A • A= a,e,i,o,u • B = i,o,u A B a i o e u 

8. SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI • Sono sottoinsiemi impropri di U L’insieme vuoto L’intero insieme U • Si dice che U è un sottoinsieme Proprio di U se e solo se S é un sottoinsieme di U diverso dall’insieme vuoto e dall’insieme U L’insieme vuoto è un qualsiasi insieme privo di elementi U S u a i e o consonanti

9. APPARTENENZA “” U B = b; d A a  B b A = a; b; d; e; f e  f  U = a; b; c; d; e; f d c  a  A, a  U, a  B, b  B, b  A, b  U c  U, c  B, c  A

10. SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” U B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso a  B C b  d L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme c  A è un SOTTOINSIEME DI U B  A   C,   B, ….. C è un SOTTOINSIEME DI B A U C B A  A, B  B,…..

11. SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE U U = a; b; c; d; e; f A A = a; b; d; e; f a  B e  b  B = b; d f  d b; d  B c  a; b; d  A d  B

12. APPARTENENZA e INCLUSIONE APPARTENENZA INCLUSIONE A b     d L’insiemed;b è uguale ad A L’elemento b appartiene all’insieme A L’insiemeb è strettamente incluso nell’insieme A d;b  A oppure d;b = A b  A b  A

13. INSIEME COMPLEMENTARE. A A = CuA= xx U e x  A  U b  A d  E’ l’insieme degli elementi di U c  e  a  f  g  A =a; b; g Che non appartengono ad A

14. INSIEME COMPLEMENTARE. CBA CBA= xx B e x  A  B b  A d  E’ l’insieme degli elementi di B c  e  a  f  g  CBA =a; b; g Che non appartengono ad A

15. INTERSEZIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A  B = xx A e x  B  B A A  B

16. CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE A  A =A Se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI A   =  A A =  Se B  A allora A  B = B A  U =A

17. UNIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A  B = xx A o x  B  B A A  B

18. UNIONE di insiemi DISGIUNTI L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B A  B

19. CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A =A A   = A A  A = U Se B  A allora A  B = A

20. A  B A  B A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

21. DIFFERENZA. “A - B” E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B B A A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

22. DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A = a; b; c; d; e; f B=d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

23. DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A B g  a  d  h  e  i  b  f  c  l  B g  A a  d  B - A = g; h; i; l h  e  i  b  f  c  l  B g  a  d  h  e  i  b  A - B = a; b; c f  c  A l 

24. CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A = A -  = A Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B Se B  A allora B - A = 

25. INSIEME DELLE PARTI “P(A)” Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMIpropri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) A = a; b; c; A a  b  I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: L’insieme delle parti di A è: c   a b c a; b a; c b; c a; b; c P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n

26. PARTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A. A A2 A1 A3 A5 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: A4 Ogni sottoinsieme è proprio 1 Ai  A e Ai  ,  i I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti Ai  Ak =  con i  k 2 L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1  A2  A3  A4  A5 = A 3

27. PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y)x  A e y  B  Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 Si legge A cartesiano B A B a  1  (b ;1), (a ;1), (a ;2), A x B =  b  (c ;2)  (c ;1), (b ;2), 2  c 

28. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A B Rappresentazione SAGITTALE a  1  b  Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA 2  c  Rappresentazione CARTESIANA    2    1 c a b

29. OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie A x A = A2 A x B  B x A Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

30. GLI INSIEMI INFINITI

31. L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N? Rispondi: N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, invece….. Strano no!!!!! Rappresentiamo tutto cio’ graficamente (diapositiva seguente)

32. Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P., utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascurando lo zero. N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. Ci chiediamo a quale numero ci fermiamo? Quanti sono gli elementi di P? e proviamo a rispondere chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato molto strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

33. PARADOSSO DEL GRAND HOTEL DI HILBERT • Tale paradosso inventato dal celebre matematico David Hilbert mostra alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi infiniti e finiti. • Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungeranno, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito. • Nel caso semplice. Arriva un singolo nuovo ospite, il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva, in questo modo, benchè l’albergo fosse pieno è comunque,essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite. • Un caso meno intuitivo, si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti(già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene Hilbert che la soluzione stà semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale, lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti,risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono dunque tutti sistemati, benchè l’albergo fosse pieno

34.     L’HOTEL DI HILBERT                       

35. ESERCIZIO N. 1….. C Trova: A  B  C Clicca sulla risposta corretta m  B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A  B  C = g; h; i; l A  B  C = d A  B  C = d; e; f A  B  C = e; f

36. ESERCIZIO N. 2….. C Trova: C - (A  B) Clicca sulla risposta corretta m  B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  C - (A  B) = m; n C - (A  B) = e; f Soluzione Esercizio Successivo C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l

37. ESERCIZIO N. 3….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

38. ESERCIZIO N. 4….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

39. ESERCIZION. 5 C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A (C - (A  B))  ((A  B) - C) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

40. RISPOSTE

41. SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. Un clic del mouse per avanzare passo-passo Trova: C - (A  B) C m  Soluzione = m; n B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  Si tolgono a C gli elementi di A  B Torna all’esercizio

42. COMPLIMENTI RISPOSTA ESATTA! Ritorna alla diapositiva precedente

43. RISPOSTA ERRATA Ritorna alla diapositiva precedente