GLI INSIEMI

1. GLI INSIEMI Dispensa a cura del prof. CAVAGNA GIANCARLO Luglio 2002

2. Presentazione Questa dispensa nasce come supporto alla lezione. Il docente può integrare le proprie spiegazioni proiettando le diapositive anche non in sequenza. Animazioni e chiarezza grafica sono sicuramente da considerarsi aspetti vantaggiosi rispetto agli strumenti tradizionali. Le animazioni inoltre, possono aiutare lo studente nell’apprendimento graduale del concetto. Questa presentazione può anche essere utilizzata come valido supporto allo studio. L’allievo può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano, queste diapositive richiedono il sostegno di una spiegazione. Vengono infine proposti alcuni esercizi grazie ai quali l’allievo può autoverificare il proprio grado di preparazione.

3. RAPPRESENTAZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina. A Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 Marta Simone Andrea Martina Matteo Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): Anna 2 A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): 3 A = xx è amico di Marco

4. APPARTENENZA “” U B = b; d A a  B A = a; b; d; e; f e  b  f  U = a; b; c; d; e; f d c  a  A, a  U, a  B, b  B, b  A, b  U c  U, c  B, c  A

5. SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” U B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso a  B C b  d L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme c  A è un SOTTOINSIEME DI U B  A   C,   B, ….. C è un SOTTOINSIEME DI B A U C B A  A, B  B,…..

6. SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE U U = a; b; c; d; e; f A A = a; b; d; e; f a  B e  b  B = b; d f  d b; d  B c  a; b; d  A d  B

7. APPARTENENZA e INCLUSIONE APPARTENENZA INCLUSIONE A b     d L’insiemed;b è uguale ad A L’elemento b appartiene all’insieme A L’insiemeb è strettamente incluso nell’insieme A d;b  A oppure d;b = A b  A b  A

8. INSIEME COMPLEMENTARE. A A = CuA= xx U e x  A  U b  A d  E’ l’insieme degli elementi di U c  e  a  f  g  A =a; b; g Che non appartengono ad A

9. INSIEME COMPLEMENTARE. CBA CBA= xx B e x  A  B b  A d  E’ l’insieme degli elementi di B c  e  a  f  g  CBA =a; b; g Che non appartengono ad A

10. INTERSEZIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A  B = xx A e x  B  B A A  B

11. CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE A  A =A Se A  B = , A e B si dicono DISGIUNTI A   =  A A =  Se B  A allora A  B = B A  U =A

12. UNIONE “A  B” E’ l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A  B = xx A o x  B  B A A  B

13. UNIONE di insiemi DISGIUNTI L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B A  B

14. CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE A  A =A A   = A A  A = U Se B  A allora A  B = A

15. A  B A  B A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A  B = d; e; f A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

16. DIFFERENZA. “A - B” A - B = xx A e x  B  E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B B A A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

17. DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A = a; b; c; d; e; f B=d; e; f; g; h; i; l B A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

18. DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”. A B g  a  d  h  e  i  b  f  c  l  B g  A a  d  B - A = g; h; i; l h  e  i  b  f  c  l  B g  a  d  h  e  i  b  A - B = a; b; c f  c  A l 

19. CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A = A -  = A Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B Se B  A allora B - A = 

20. INSIEME DELLE PARTI “P(A)” Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMIpropri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) A = a; b; c; A a  b  I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: L’insieme delle parti di A è: c   a b c a; b a; c b; c a; b; c P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c  Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n

21. PARTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A. A A2 A1 A3 A5 Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: A4 Ogni sottoinsieme è proprio 1 Ai  A e Ai  ,  i I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti Ai  Ak =  con i  k 2 L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1  A2  A3  A4  A5 = A 3

22. PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y)x  A e y  B  Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 Si legge A cartesiano B A B a  1  (b ;1), (a ;1), (a ;2), A x B =  b  (c ;2)  (c ;1), (b ;2), 2  c 

23. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A B Rappresentazione SAGITTALE a  1  b  Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA 2  c  Rappresentazione CARTESIANA    2    1 c a b

24. OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie A x A = A2 A x B  B x A Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

25. LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

26. L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N? Rispondi: N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!

27. Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero. N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..  P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

28.     L’HOTEL DI HILBERT            Hotel infinito            

29. http://multifad.formazione.unipd.it/~insiemi/paradossi.htm • In questo sito troverete: • nozioni fondamentali sugli insiemi; • animazioni riguardanti le operazioni fra insiemi; • un po’ di storia relativa allo sviluppo della teoria degli insiemi; • il paradosso dell’Hotel infinito di Hilbert. In rete: http://www.dm.unibo.it/matematica/AlgebraLineare/diz1/insiemi.htm Un ipertesto con brevi note teoriche, alcuni esempi ed esercizi.

30. ESERCIZIO N. 1….. C Trova: A  B  C Clicca sulla risposta corretta m  B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  A  B  C = g; h; i; l A  B  C = d Esercizio Successivo A  B  C = d; e; f A  B  C = e; f

31. ESERCIZIO N. 2….. C Trova: C - (A  B) Clicca sulla risposta corretta m  B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  C - (A  B) = m; n C - (A  B) = e; f Soluzione passo passo Esercizio Successivo C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l

32. ESERCIZIO N. 3….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

33. ESERCIZIO N. 4….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A C - (A  B) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

34. ESERCIZIO N. 5….. C Quale espressione rappresenta l’area evidenziata? Clicca sulla risposta corretta B A (C - (A  B))  ((A  B) - C) C  B Esercizio Successivo (C  B) - A (A  B) - C

35. RISPOSTE AI QUESITI

36. SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. Un clic del mouse per avanzare passo-passo Si tolgono a C gli elementi di A  B Trova: C - (A  B) C Soluzione = m; n m  B n  A g  a  d  i  b  e  h  c  f  l  Torna all’esercizio

37. TEORIA DEGLI INSIEMI COMPLIMENTI RISPOSTA ESATTA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente

38. TEORIA DEGLI INSIEMI MI DISPIACERISPOSTA ERRATA!!!! Ritorna alla diapositiva precedente