Gli insiemi e i suoi elementi

1. Gli insiemi e i suoi elementi A 6 • 14 • 2 • 12 • 4 • 10 • 8 L’ insieme è un raggruppamento, un’aggregazione,una raccolta, una collezione di elementi. Un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’ insieme.

2. Per indicare che un elemento a appartiene a un insieme A si usa il simbolo di appartenenza  ““ ; la scrittura “ aA “ si legge: “ a appartiene ad A “; per indicare che un elemento x non appartiene all’insieme A, si scrive “ x A “ e si legge “ x non appartiene ad A “. Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: A, B, C, …, X, Y, …; i suoi elementi invece con lettere minuscole: a, b, c, …, x, y, … . COME SI PUO’ RAPPRESENTARE UN INSIEME… • Un insieme si rappresenta in tre modi diversi: • con il diagramma di Eulero-Venn una rappresentazione geometrica di cui si delimita con una linea chiusa una regione del piano. A • 2 • 6 • 4

3. Per rappresentazione estensiva o per elencazione:consiste nell’elencare gli elementi tra parentesi graffe; A=2,4,6 • Per rappresentazione intensiva o per caratteristica: A=x x è un multiplo di 2 Insieme vuoto, sottoinsiemi e Insieme Universo Un insieme è vuoto quando con contiene nessun elemento e si può indicare in due modi:  o 0 Un sottoinsieme si verifica quando ogni elemento di B appartiene anche ad A. I sottoinsiemi si distinguono in propri e impropri . Sono del primo caso tutti quelli che non sono vuoti e che contengono alcuni elementi di A che non appartengono a B. Rispettano invece il secondo caso se si tratta dell’ insieme stesso o di un’ insieme vuoto. L’insieme universo viene indicato generalmente con la lettera “U” ed è l’ambiente da cui trarre gli elementi x dell’ insieme.

4. Unione: l’unione di 2 insiemi (A e B ) è quell’ insieme a cui appartengono gli elementi o di A o di B. Per indicarla in simboli si scrive L’UNIONE tra due insiemi si esprime con A UB e si legge “A unione B”o A unito B” . In forma simbolica , si scrive : A  B = { x | x  A ^ x  B } Nella figura la parte colorata in giallo rappresenta A UB .

5. Operazioni tra insiemi Intersezione: Dati 2 insiemi A e B, si definisce intersezione l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A sia a B. L’intersezione tra due insiemi si esprime con A B e si legge “A intersezione B”o A intersecato B” .Usando i simboli, invece, si scrive A  B = { x | x  A ^ x  B } Nella figura la parte colorata in rosso rappresenta A B. Esempio Dati gli insiemi A = { a,b,c,d,e } e B = { e,d,f,g,h,m } Quando l’intersezione tra A e B è un insieme vuoto si dice che questi due insiemi sono DISGIUNTI

6. Proprietà dell' Intersezione e dell' Unione L’intersezione e l’ unione godono delle proprietà commutativa e della proprietà associativa: A B = B  A AUB= BUA A  (B  C) = (A  B)  C = AU(B UC ) = (AUB) UC

7. Insieme complementare. Si definisce complementare di un insieme A, rispetto ad un insieme ambiente , l’ insiemi degli elementi di U che non appartengono ad A. U CuA A Differenza. Si definisce differenza di due insiemi A e B,l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. A-B= {x | x  A ^ x B}

8. Partizione . • Tutti i sottoinsiemi formano una partizione di A se rispettano 3 condizioni : • Ai Ak =0 , essendo i = k • Ai =0 • A1U A2 U… U An = A Prodotto Cartesiano • Il prodotto cartesiano o insieme prodotto di A per B è l’ insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) aventi per prima componente un elemento a  A e per seconda componente un elemento b B. Molto importante da ricordare è il fatto che per questa operazione non vale la proprietà commutativa. • Il prodotto cartesiano in simboli si rappresenta in diversi modi: • FORMA ESTENSIVA A X B ={(a,b)|a A, b B} • CON IL DIAGRAMMA CARTESIANO

9. Per il prodotto cartesiano è possibile anche avere 3 o più insiemi, come per esempio: A X B X C ={(a,b,c)|a A, b B, c C} e si può rappresentare più comodamente e facilmente con un diagramma ad albero. 1° componente 2° componente Gli elementi di AXB a (x,a) x b (x,b) c (x,c) a (y,a) y b (y,b) c (y,c)