1 / 20

Zavod za matematiku Uvod u matematičke metode u inženjerstvu FRAKTALI

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE. Zavod za matematiku Uvod u matematičke metode u inženjerstvu FRAKTALI Voditelji: : Dr. sc. Ivica Gusić Dr. sc. Miroslav Jerković. Studenti:

ivy
Download Presentation

Zavod za matematiku Uvod u matematičke metode u inženjerstvu FRAKTALI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE Zavod za matematiku Uvod u matematičke metode u inženjerstvu FRAKTALI Voditelji: : Dr. sc. Ivica Gusić Dr. sc. Miroslav Jerković Studenti: Brdar Katarina Dobrinić Mateja Joskić Robert

  2. FrAKTALI • geometrijski objektičija je fraktalna dimenzija strogoveća od topološke dimenzije • objektikojidajujednakurazinudetaljaneovisno o razlučivostikojukoristimo • mogućeih je uvećavatibeskonačnomnogoputa, a da se prisvakomnovompovećanju vide nekidetaljikojiprijepovećanjanisubilividljivi

  3. Svojstva fraktala: 1) Samo-sličnost svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio promatrali i koliko ga puta uvećavali 2) Fraktalna dimenzija vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi d=log(n)/log(s) 3) Oblikovanje iteracijom svojstvo da se objekt generira nekim matematičkim ili geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni (početni) objekt iterativno ugrađuju svojstva generatora

  4. Povijest fraktala • 17. st. - Leibniz je definiraoponavljanjesamosličnosti (uzeo u obzir samo liniju) • 1872. - Karl Weierstrassje daoprimjerfunkcijekojom je definiraosamosličnost (preapstraktna) • 1904. -Helge von Koch jedaogeometrijskuinterpretacijusličnefunkcije • 1915. - WaclawSierpińskije kreiraosvojuzorakfraktalapomoćutrokuta • 1975. - Benoit Mandelbrot je skovaoriječfraktalidefiniraonjenoznačenje

  5. Podjela fraktala Podjelapremastupnjusamosličnosti Statički samoslični fraktali Kvazi samoslični fraktali Potpuno samoslični fraktali Slika 1. Hilbertova krivulja Slika 2. Mandelbrotov skup Slika 3. Perlinov šum

  6. Podjela prema načinu nastanka Slika 4. Slučajni fraktal (munja) Slučajni fraktali Rekurzivni fraktali Iterativni fraktali

  7. Primjena: Slika 5. Planina stvorena koristeći Perlinov šum Slika 6. Raslinje stvoreno pomoću fraktala

  8. Primjeri fraktala Maatematički fraktali Prirodni fraktali

  9. CANTOROV SKUP

  10. CANTOROV SKUP

  11. KOCHOVA KRIVULJA

  12. KOCHOVA KRIVULJA

  13. MATEMATIČKA KONSTRUKCIJA FrAKTALa • procedura IFS (iterated function sheme) • potrebnoimati:I – inicijator; G – generator; m – sličnosti S kojeprevodeinicijator u generator odnosno • potom se formiranizskupova Ennaslijedećinačin: gdje je F fraktalniskup

  14. IFS zaCantorovskup inicijator je I=[0,1] generator je E1=G= definiramo gdje su Na krajuCantorovskup F zadovoljava:

  15. IFS zaKOCHOVU KRIVULJU inicijator je I=[0,1] generator je E1=G= definiramo Na krajuKochova krivulja F zadovoljava:

  16. REKURZIJA • Rekurzija (u matematici i računarstvu) – metoda definiranja funkcija u kojima se definirajuća funkcija primjenjuje unutar definicije • Općenito – za opis procesa ponavljanja objekata na samosličan način • Rekurzivna definicija – definira objekte u terminima ‘prethodno definiranih’ objekata definirajuće klase • Definiranje osnovnih slučajeva definiranje pravila za razbijanje složenih slučajeva u jednostavne

  17. CANTOROV SKUP Rekurzivni algoritam iteracija – podjela segmenta na tri dijela, uklanjanje središnjeg dijela Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Cantorov skup

  18. KOCHOVA KRIVULJA Rekurzivni algoritam iteracija – podjela segmenta na četiri dijela Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Kochovu krivulju

  19. ZAKLJUČAK: • Fraktalisuobjektikojidajujednakurazinudetaljaneovisno o razlučivostikojukoristimo, a njihovaosnovnasvojstvasusamo-sličnost, fraktalnadimenzijaioblikovanjeiteracijom. • U programuMatlabnapravljenasudvaprogramakojaprikazujučetiri stupnjaiteracije rekurzivnim algoritmomzaKochovukrivuljuiCantorovskup. • Pokretanjemprogramainicijator se iterativnotransformira u generator natemeljusvojstavasličnostikojačuvajuoblike, a mijenjajupoložajiveličinukutova

  20. LITERATURA: • M. Pašić, Uvod u matematičkuteorijukaosazainženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57.-83.) • http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal • http://www.viva-fizika.org/fraktali-ii-deo/ • http://elgrunon.wordpress.com/2007/03/25/kochova-pahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutar-savrsenstva/

More Related