LOGIKA ÉS SZÁMÉTÁSELMÉLET

1. LOGIKA ÉS SZÁMÉTÁSELMÉLET Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

2. Elérehetőség: • aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ • szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA TECHNIKAI ADATOK

3. Előadás: 1. Tesztsor - sok kérdés, 2-esért ki lehet hamarabb szállni 2. Szóbeli vizsga Gyakorlat: 2 zh (logika, számelmélet) • A vizsgák előfeltétele a gyakorlati jegy megszerzése. • A gyakorlatok látogatása kötelező. • 3 igazolatlan hiányzás esetén a gyakorlati jegy megszerzése nem lehetséges. KÖVETELMÉNYEK

4. Az emberi gondolkodás vizsgálata A logika a következtetés, a bizonyítás, és az érvelés tudománya Gondolkodási formák • a természetes nyelvben • a filozófiában • matematikában (naiv logika) • a matematikai logikában A TANTÁRGY TÉMÁJA

5. A szaktudományok feladata a valóság egy-egy területének megfigyelése, adatgyűjtés (tények, állítások formájában), és következtetések levonása. A matematikai logika • Formalizálja azt a nyelvet, amin a matematikai állításokat megfogalmazzuk • Szabályokat állít fel, hogy az állításokból új állításokra következtessünk • Állításformákat elemez • Bizonyítási módszereket fejleszt ki A MATEMATIKAI LOGIKA

6. Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 0. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Normálformák • Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 1. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció) TEMATIKA

7. A logika története három nagy korszakból áll: • Ókori görög logika (i.e. 4-3. század) • Későközépkori logika (13-14. század) • Modern logika (19. századtól napjainkig) A középkorban leginkább a nyelv és a valóság kapcsolatát vizsgálják, míg a modern kori logika leginkább a matematikához kapcsolódik. A legbiztosabb tudás forrása a tapasztalat, de a tudásnak a túlnyomó része nem ebből származik. A következtetés azt jelenti, hogy tudok bizonyos dolgokat, és ezek miatt következtetünk új ismeretekre. Jól megalapozott tudás és helyes következtetés eredményeképpen új jó tudáshoz jutunk. A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról. A LOGIKA TÖRTÉNETE

8. Görög filozófia: Parmenidésznél (i.e. 6. század) találkozunk az elsőérveléssel egy verses költemény formájában. Zénónhoz(i.e. 5. század) köthetjük az apóriákat, vagyis az olyan érveket amelyekből nincs kiút. Ezek az érvek többségében a mozgáshoz kapcsolódnak: Akhilleusz és a teknős: Akhilleusz és a teknős versenyeznek, a teknős kap egy méter előnyt. Ekkor Akhilleusz sosem éri utol a teknőst, hiszen először megtesz egy métert,de addigra a teknős odébbmegy, ledolgozza ismét a hátrányát, de addigra a teknős ismét odébbmegy, és így tovább a végtelenségig. A LOGIKA TÖRTÉNETE

9. Szofisták i.e. 5. században jelentek meg, akik pénzért tanítanak. Érvekkel foglalkoznak,és az a jó szofista, aki a vitában felül marad. Szabályokat alkotnak, és szabályos vitákat tartanak. Összetett állításokkal is foglalkoznak. Szókratész(480-399) fellépett ellenük, mert úgy gondolta, hogy a beszélgetés célja az igazság, nem pedig a haszonszerzés. Az igazsághoz nem fűződhet érdek. A LOGIKA TÖRTÉNETE

10. Arisztotelész (i.e 4. század) – kategórikus szillogizmus ‚Csak azért, mert bizonyos dolgokat tudok, új dolgokat tudhatok meg következtetéssel.’ Állítások (csak egyszerűekkel foglalkozik): Pl.: a(E,H) : Minden ami E, az H. x(E(x)  H(x)) Következtetési szabályok: Pl.: Barbara: a(E,H), a(G,E) a (G,H) Ha minden ember (E) halandó (H), és minden görög (G) ember (E),akkor az összes görög (G) halandó (H). BONYOLULT LOGIKAI ÁLLLITÁSOK ANALIZISÉVEL LÁTJA BE AZOK IGAZSÁGÁT. A LOGIKA TÖRTÉNETE

11. Sztoikusok (i.e 2. század) Nem ragaszkodtak a kategorikus állításokhoz. Pl.: Minden ember halandó. x(E(x)  H(x)) János ember. E(János) János halandó. H(János) A LOGIKA TÖRTÉNETE

12. Eukleidesz(i.e 4. század) – szintézis, a geometria atyja Alapfelvetésekből (axiómák) kiindulva logikai eszközökkel bonyolult állításokat bizonyított be. • Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők. • Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk. • Két egyenes nem fog közre területet. • Párhuzamossági axióma: Bármely egyeneshez, bármely rajta kívül fekvő ponton át legfeljebb egy olyan egyenes fektethető a síkon, amelynek az adott egyenessel nincs közös pontja. –független a többitől Lobacsevszkij, Bolyai, Gauss : a párhuzamossági axióma tagadása alapján egy új geometriát építettek fel: hiperbolikus geometriát A LOGIKA TÖRTÉNETE

13. Egy axiómarendszerrel szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy legyen • Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is • teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen • eldönthetőség: az elmélet bármely állításáról eldönthető, hogy levezethető-e vagy sem Eredmények (17. század és utána): Leibniz: automatikus tételbizonyítás megalapozása Tarski: Az elemi geometria eldönthető Zermelo-Fraenkel féle halmazelméletben a Kiválasztási axióma sem nem bizonyítható, sem nem cáfolható Kurt Gödelnemteljességi tételei: • minden elég erős formális elméletben van eldönthetetlen állítás • formális elmélet nem tudja igazolni a saját konzisztenciáját. Church és Turing egymástól függetlenül: Negatív válasz az eldönthetőségi problémára G. Boole: algebrai módszerekkel vizsgálta a logikát De Morgan: a matematika különböző területeinek logikai megalapozása Ezek a tételek azt is jelentik, hogy a logika kevés ahhoz, hogy minden tudáshoz keretet adjon. A LOGIKA TÖRTÉNETE

14. Elektronikus berendezések tervezése és analizálása: itéletkalkulus, többértékű logika Titkosítás: Bool függvények elmélete Adatbázis kezelés Programozás elmélet Bonyolultságelmélet Párhuzamos és konkurens rendszere Számítástudomány Logikai programozás Mesterséges Intelligencia Egyéb alkalmazások: magasabb rendű logikák, típuselméleti logika, fuzzy logika, stb. ALKALMAZÁSI TERÜLETEK

15. Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi gondolkodás vizsgálata. • A gondolkodás fontos része a mindennapi életnek. • A gondolkodás fontos része bármely (humán- vagy természet-) tudománynak • Minden tudomány az eredményeit szóban és írásban is megfogalmazza • A félreértések elkerülése végett egy formális nyelvet dolgoztak ki, mely a köznapi nyelvnek csak a fontos elemeit tartalmazza • NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA ELŐKÉSZITÉS: FORMÁLIS NYELV

16. NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA ABC:Szimbólumok tetszőleges nemüres halmaza Pl.: V={0,1} Szavak: Egy abc elemeiből álló véges sorozat Pl.: 01010001 V*: V abc elemeiből alkotott szavak halmaza Pl.: {0,1,00,01,10,11, …} V abc feletti formális nyelv (L): V* egy tettszőleges részhalmaza Pl.: {0,1,00,11,000,111} Kérdés: Van-e olyan szabályrendszer, amivel L elemei megadhatóak? Szintaxis (Nyelvtan, L nyelvé): Olyan szabályok összessége, mely megadja, hogy melyek az L nyelv kifejezései (szavai) Szemantika (Jelentés, L nyelvé): Megadja, hogy mi az L- beli szavak jelentése ELŐKÉSZITÉS: FORMÁLIS NYELV

17. A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés. A logika célkitűzése. • Gondolkodási folyamatok vizsgálata során • A helyes következtetés törvényeinek feltárása. • Újabb helyes következtetési módszerek kidolgozása. KÖVETKEZTETÉS - (ekvivalens megfogalmazások) • Adott ismeretek  új ismeret • premisszák konklúzió • feltételek következmény • állítások állítás A  jel a gondolkodási folyamatot jelöli, amelynek eredménye a következmény. ELŐKÉSZITÉS: KÖVETKEZTETÉS

18. Definíció: Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy F = {A1, A2,…,An} állításhalmaz és egy A állításból álló (F,A) pár. Megjegyzések: • Az állítás adott körülmények között lehet igaz (i) vagy hamis (h). Ezt az értéket az állítás igazságértékének nevezzük. • Nem tartalmi, oksági szempontból ragadjuk meg a következtetést, hanem az igazságérték megtartásának szempontjából. Kritérium: Mikor helyes egy következtetés Helyes következtetésforma egy (F,A) pár, ha minden olyan esetben, amikor az F-ben minden állítás igaz, a következmény állítás is igaz. ELŐKÉSZITÉS: KÖVETKEZTETÉS

19. Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat, melynek megoldása egy eldöntendő kérdésre adott igen, nem válasz. Döntési eljárás: Az eldöntésprobléma megoldására kidolgozott módszer. Kérdés: Létezik-e olyan univerzális döntési eljárás, mely egy általában végtelen osztály minden elemét eldönti, azaz egy igen / nem választ képes adni a vele kapcsolatban felmerült döntési problémára ELŐKÉSZITÉS: ELDÖNTÉSPROBLÉMA

20. Halmaz, A és B tetszőleges halmazok direkt vagy Descartes szorzataAxBaz összes olyan (a,b) párok hamaza, ahol aA és bB. • Legyen U egy halmaz, UxUdirektszorzathalmaz az U elemeiből képezhető összes rendezett párok halmaza. • Un-nel jelöljük U-nak önmagával vett n-szeres direktszorzatát, ami az U elemeiből képezhető összes nelemű sorozatok halmaza. ELŐKÉSZITÉS: HALMAZOK

21. Legyenek D és R (nem feltétlenül különböző) halmazok. Függvénynek nevezünk egy DR leképezést, (D a leképezés értelmezési tartománya, R az értékkészlete.) Leképezések minősítése: • Ha D=U (individuum) halmaz, akkor a leképezés egyváltozós • Ha D= Un, akkor a leképezés n-változós • R (az értékkészlet) adja meg a leképezés fajtáját • ha R=, akkor egész(értékű), • ha R={i,h} vagy {0,1}, akkor logikai vagy kétértékű leképezésről beszélünk. ELŐKÉSZITÉS: LEKÉPEZÉS / FÜGGVÉNY

22. 1. logikai függvény – reláció • D tetszőleges U vagy Un , • R={i,h} vagy {0,1}, tehát a leképezés Un →{i,h} (Un →{0,1}) 2. matematikai függvény – művelet Olyan DR leképezés, ahol • D=Rn., n=1, 2,..., k véges érték. • tehát Un →U a leképezés általános alakja. 3.Logikai értékek – {i,h} vagy {0,1} 4. n-változóslogikai műveletek • {i,h}n{i,h} • ({0,1}n{0,1}) leképezések ELŐKÉSZITÉS: FÜGGVÉNY OSZTÁLYOZÁS

23. Szerkezeti indukció elve Olyan definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó, formula,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben definiálunk. • 1. (alaplépés)-ben, az adathalmaz bizonyos elemeivel azonosítjuk a definiálandó objektumot. • 2. (rekurziós lépésben) a már definiált objektumokból és az ábécé további elemeiből, megadott szabályok szerint állítjuk elő az objektumokat. Például az aritmetikai kifejezés(term) definíciója. • 1. Egy x változó vagy egy aritmetikai konstans term. • 2. Ha t1, t2 termek, akkor (t1+t2), és (t1t2) is termek • 3. Az összes term az 1. és 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. ELŐKÉSZITÉS: SZERKEZETI INDUKCIÓ

24. Tárgya Az egyszerű állítások és a belőlük logikai műveletekkel kapott összetett állítások vizsgálata (könyv 19 és 28-33 oldalak). Definíció: Egyszerű állítás • Logika fontos alapfogalma • Valamely kijelentő mondat információtartalma Definíció: Állításjel Az egyszerű állításhoz rendelt azonosító (Pl,: E: Esik az eső.) Definíció : Igazságérték Egy állítás információ tartalmat jellemezzük két értékkel: igaz, hamis értékekkel, melyeket igazságértéknek nevezünk • Igaz egy állítás: ha információtartalma megfelel a valóságnak, • Hamis egy állítás: ha információtartalma nem felel meg a valóságnak Az igazságérték meghatározásának módszerei: • megfigyelés, kísérletezés, általánosítás • az egyes tudomány területeken elért eredmények vizsgálata ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

25. Definíció : klasszikus kétértékű logika Olyan logika, melyben • Az állítás információ tartalma egyértelműen eldönthetőnek kell legyen: igaz vagy hamis • Ellentmondás elve: az állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is • Dichotómia, kétértékűség, harmadik kizárt elve: nem lehet, hogy egy állítás sem nem igaz sem nem hamis, az igazságértékek objektívek, és az időtől függetlenek • A következtetésnél leírt fő jellemzők érvényesek A köznapi nyelvben használt kijelentések általában nem állítások. ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

26. Állítás: • igaz vagy hamis • kontextustól független • objektív • általánosító állítások Nem állítás: • Nem létező individumról állítunk valamitPl.: Az orosz cár tegnap elutazott Moszkvából. • Az individum meghatározása nem egyértelműPl.: A sógorom ma reggel hívott telefonon • A predikátumról szóló állítás nem egyértelműPl.: Anna elég jól úszik. • Ha a kijelentés jövő idejűPl.: Holnap sütni fog a nap. • Paradoxonok (önhivatkozás)Pl.: Minden krétai hazudik. (mondja egy krétai)Most hazudok. • Paraméteres állításokPl.: x > 5 • KérdésekPl.: Miért kering a Föld a Nap körül? • Nem objektív állítás (szubjektív) • Kontextustól függő állítások ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

27. Nem klasszikus logikák: Olyan logikák, ahol feladunk alapelveket a következőkre vonatkozóan: • Állításfogalom • Igazságérték • Következtetés Példák: Többfajtájú: Ha a vizsgált objektumok nem homogének, többfajtájúak Másodrendű: a relációkat és a függvényeket is kvantálhatjuk Többértékű: olyan logikai szemantikák, ahol kettőnél több igazságérték létezik. Fuzzy: olyan logikai szemantika, ahol végtelen igazságérték létezik Modális: a klasszikus logika bővítése a ‚szükségszerű, hogy igaz’, és a ‚lehetséges hogy igaz’ műveletekkel ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

28. A köznapi nyelvben és a matematikában is kötőszavak segítségével az egyszerű állításokból összetett állításokat (ítéleteket) képezünk. Pl.: Ha esik az eső, akkor nem megyünk kirándulni. E: Esik az eső, K: Kirándulni megyünk E   K Definíció: Összetett állítás Összetett állítás egy egyszerű állításokból álló összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak a benne szereplő egyszerű állítások igazságértékeitől függ. Ezért az összetett állítások csak olyan nyelvtani összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai műveleteknek feleltethetők meg. ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS

29. A leggyakrabban használt kötőszavak a következők: ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS

30. A lehetséges kétváltozós logikai műveletek közös igazságtáblája. A táblázat tartalmazza a • 16 db. Lehetséges műveletet • 4.db.1-változósműveletet • 2.db. 0-változós műveletet Ezekből a logika tárgyalásánál a {,,,} műveleteket használjuk csak. LOGIKAI MŰVELETEK

31. 5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik) • 6.: Sheffer vonás (X és Y közül legalább az egyik nem) 7.: Peirce vonás (sem X , sem Y) LOGIKAI MŰVELETEK