K ap. 7. Tidejord. Torge Kap. 3.5.2 og 8.3.5. (S. Abbas Khan)

1. Kap. 7. Tidejord. Torge Kap. 3.5.2 og 8.3.5. (S. Abbas Khan) Koordinatsystem: Nulpunkt i Jordens massemidtpunkt (C).

2. Kap. 7, Tidekræfter på jordoverfladen. Kræfter fra Sol og Måne adderes. Periodiske med perioder 365 dage og 28 dage. For stiv Jord: Newtons tiltrækningslov benyttes. Ifølge Newton 2 lov vil der herved opstå en modsat rettet fiktiv acceleration. Det fiktive felt (se figuren ovenfor) er konstant, dvs. alle punkter på jorden vil opleve samme fiktive acceleration.

3. Kap. 7, Fiktive og reelle kræfter. • I jorden centrum C gælder at den fiktive acceleration er lig tyngde påvirkningen fra solen. • Dette kan udnyttes til at beregne tide accelerationen i punktet P,

4. Kap. 7, Tidepotentialet på jordoverfladen. • Tide potential i P er givet ved, • (1) • hvor

5. Kap. 7, Tidepotentialet. Det fiktive potentiale kan udledes af potentiale forskellen (fiktiv) mellem C og P,

6. Kap. 7, Tidepotentialet - rækkeudvikling. • Tide potentialet i P fås ved at indsætte (2) og (3) i (1) • (4) • 1/d kan udtrykkes ved en rækkeudvikling (se Torge side 67)

7. Kap. 7, Tidepotentialet - rækkeudvikling. Ved indsættelse af ligning (5) i ligning (4) elimineres de første to udtryk i potentialet svarende til n=0 og n=1 man kan således nøjes med at summere fra n=2

8. Kap. 7, Tidepotential - rækkeudvikling. Dette kan skrives som, Til de fleste geodætiske formål kan man nøjes med at se på anden ordens potentialet W2 .

9. Kap. 7, Tidepotentialet udtrykt ved koordinater. • Til praktisk brug af ligning (7) er det bekvemt at erstatte zenith vinklen med koordinaterne for Månen eller Solen position. • Antag at observationspunktet P på jordoverfladen har koordinaterne og Solen har koordinaterne • der gælder

10. Kap. 7, Tidepotential. Indsætter vi, hvor vi nøjes med at se på W2 fås, lang periodiske variationer hel-daglige variationer halv-daglige variationer

11. Kap. 7, Den elastiske Jord – Love tal. Jorden er imidlertid ikke et stift legeme men et elastisk legeme som deformeres ved påvirkning af eksterne kræfter. Dette giver anledning til yderligere ”tide” potentiale ændringer, som kan beskrives ved indførelse af såkaldte ”Love tal” k, l og h.

12. Kap. 7, Love-tal. Disse kan bestemmes udfra en jordmodel, hvor densitet () samt Lamé parametrene ( og ) er kendt. Love tal kan således bruges til at definere tide deformationer ved jordens overflade, vertikalt nord-syd øst-vest

13. Kap. 7, Jordens respons. Når jordoverfladen deformeres ændres potentialet yderligere som følge af ”masse flytning”. Denne potentiale ændring defineres ved Love tallet k,

14. Kap. 7, Tidepotentialets 3 bidrag. • Potentiale ændringer på jordoverfladen som følge af Månens (eller Solens) masse tiltrækning kan altså opdeles i 3 bidrag • Den direkte masse tiltrækning giver potentiale ændring W2 • Overflade bevægelser W’ = - hW2 • Ændringer i masse fordelingen W* = kW2

15. Kap. 7, Tidepotentialet. Vi kan udnytte, at samtlige 3 bidrag vist ovenfor kan skrives, Den direkte potentiale ændring har afhængighed af r2 d.v.s n=2

16. Kap. 7, Samlede ændringer: Det andet bidrag som skyldes at overflade bevægelser har også afhængighed af r2 d.v.s n = 2 Det sidste bidrag som skyldes ændringer i massefordelingen har afhængighed af 1/r3 dvs. n = -3 (fremgår af ligning 3.88 side 70 i Torge)

17. Kap. 7, Tidekræfter, samlet kraft. Tyngde ændringer på jordoverfladen • observeret tyngdeændring) = (Astronomisk tyngdeændring) x ( 1 –3/2 k + h ) • ( 1 –3/2 k + h ) kaldes også for Delta faktoren eller amplitude faktoren.

18. Kap. 7, Ændringer i Niveaufladen fra Månen Ved indsættelse af jorden radius, månens masse og middelafstand mellem måne og jord fås, herved fås højdeændringer af niveaufladen (for ikke elastisk jord)

19. Kap. 7, Niveaufladeændring fra Solen. tilsvarende fås for solen, Den samlede højdeændring af niveaufladen er Dette giver min og max værdier på –26 cm og 52 cm

20. Kap. 7, Højdeændringer på jordoverfladen. . De tilsvarende højdeændringer af den fysiske jordoverflade (som kan måles med GPS) er, Love tallet h = 0.60 Højdeændringer af niveaufladen for en elastisk jord er givet ved,

21. Kap. 7,Måling af højdeændringer. Ved at observere vanstands ændringer i søer kan man måle (1 + k - h) Love tallet k kan også bestemmes udfra ændringer i satellit baner, idet satellit banerne afhænger af massefordeling (under satellitten).

22. Kap. 7,Ocean loading. Det er imidlertid ikke kun 'den faste jord' som deformeres af himmellegemerne, Også vandet i oceaner omfordeles eller rettere sagt flyttes fra et område til et andet. Dette fænomen kaldes 'tidevand' eller 'ocean tide' og kan ses ved at observere vandstandens ændringer ved kysterne eller fra højdemålinger fra satellit.

23. Kap. 7, Ocean loading. Ændringer i vandstanden giver imidlertid anledning til yderligere deformationer af jorden, Oceanerne konstant påtrykker jordoverfalden, ændringer i vanstanden vil dermed give ændringer i jordoverfladens form. Dette kaldes 'ocean loading' og kan beskrives på samme vis som 'tidejord'.

24. Kap. 7, Ocean loading Antag, at P er et punkt på jordoverfladen. Loading effekten dL() fra en punktmasse i punktet Q(,) er givet ved, • er den sfæriske afstand mellem observationspunktet P og 'load' punktmassen Q G er Greens funktion.

25. Kap. 7, Ocean loading, samlet effekt Den samlede loading effekt fås ved at integrere over hele jordoverfladen, Her er ρ densiteten af vand og h(,)er vandstanden i punktet Q

26. Kap. 7, Loading. Ligningen bruges til at bestemme loading effekten på tyngde observationer eller deformationer af jordoverfladen, dvs. forskydningen af et punkt i et retvinklet koordinatsystem (vertikal, øst og vest). Greens funktion, G, beskriver hvor meget jorden påvirkes af en punkmasse placeret i afstanden fra observationspunktet. Greens funktion er forskellig, man har således een Greens funktion for tyngder og en anden for deformationer.

27. Kap. 7, Greens funktion For tyngder er Greens funktion og er loading Love tal. er Legendre polynomier og er jordens masse

28. Kap. 7, Greens funktion Ved indsættelse af 'tyngde'-Greens funktion i fås, Man benytter som regel vandstand data samt satellit data til at bestemme en global ocean tide model. Denne globale ocean model kan så bruges som input til at bestemme ocean loading effekten på tyngde observationer.