LOG530 Distribusjonsplanlegging

1. Rutenettmodellen LOG530 Distribusjonsplanlegging

2. Rutenettmodellen Kontinuerlig lokalisering • I denne delen skal vi nå forsøke å finne gode lokaliseringer til fasiliteter som lager, fabrikker, osv., som betjener kunder lokalisert i gitte noder. Til forskjell fra nettverksmodellene, hvor vi hadde gitte plasseringer av alle noder for produsenter, lager, kunder, etc., så er nå plasseringen av enkelte noder ennå ikke bestemt. Det kan være plassering av ett eller flere lager, en skole, brannstasjon e.l., som vi ønsker å finne en gunstig lokalisering til. Denne fasiliteten skal så betjene kundene, som er lokalisert i kjente posisjoner/noder. • Ved kontinuerlig lokalisering kan vi helt fritt velge den geografiske plasseringen av de nye nodene. Vi kan f.eks. tenke oss et kart med x og y koordinater, der vi har plottet inn nodene hvor kundene er plassert. Vårt problem blir nå å finne x og y koordinatene til de nye fasilitetene. • Målsettingen med lokaliseringen vil ofte være å minimere avstander eller kostnader forbundet med transport fra fasiliteten til kundenodene. Men ved kontinuerlige lokaliseringsmetoder er vi stort sett begrenset til å måle avstandene som rette linjer eller som rektangulære avstander, og vi er avskåret fra å benytte reelle avstander. LOG530 Distribusjonsplanlegging

3. Rutenettmodellen avstander Euklidsk avstand måler korteste avstand mellom to punkter i og j med koordinatene (xi; yi) og (xj; yj) som en rett linje: For båttrafikk og flytrafikk over store avstander må en beregne avstander basert på storsirkler. I mange praktiske situasjoner korrigeres den korteste avstanden med en faktor k > 1 for å kompensere for at faktisk avstand er lenger enn den korteste rette linje. Faktorer på 1,2 – 1,5 er f.eks. brukt ved beregning av amerikanske highways og jernbaner. Rektangulær avstand måles ved formelen: Navnet er beskrivende, ettersom den først beregner avstanden ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Avstanden mellom punktene beregnes altså som ”en halv firkant”, i stedet for som ”diagonalen” mellom punktene. Avstandsmålet kalles også Manhattan metrikk, ettersom det tilsvarer rimelig godt til rutenettet av gater på Manhattan og avstandene der. LOG530 Distribusjonsplanlegging

4. 0 800 1600 2400 3200 0 1 A Street 2 3 600 B Street 1200 4 5 C Street 1800 6 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Rutenettmodellen problem I et område på Manhattan skal det plasseres en postkasse for ekspresspost. Åtte store firmaer innen for området skal bruke denne, og er plassert på gatehjørner som angitt i figuren. Det er bare mulig å bevege seg langs de angitte gatene i nord/sør og øst/vest retning. Avstanden mellom 2 naboavenyer er 800 meter, og avstanden mellom 2 nabo ”streets” er 600 meter. Vi har her tatt oss den frihet og sjonglert med x- og y –aksene. Rotérfiguren 90° mot klokken for å få origo i «normal» posisjon. LOG530 Distribusjonsplanlegging

5. Rutenettmodellen data Vi skal forsøke å plassere postkassen slik at de 8 firmaene totalt sett får kortest mulig avstand å tilbakelegge. Daglig behov for ekspresspakker varierer mellom firmaene, og vi bør derfor vektlegge avstandene med behovet. Dette problemet passer godt til tyngdepunktmetoden. Tyngdepunktmetoden er en kontinuerlig lokaliseringsmetode, og velger x- og y- koordinater helt fritt i grafen. Ulempen er at plasseringen en kommer fram til ikke nødvendigvis finne sted langs vegnettet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

6. Rutenettmodellen symboler Beslutningsvariabler: LOG530 Distribusjonsplanlegging

7. Rutenettmodellen heurestikk Tyngdepunktmetoden er en meget enkel heuristikk; velg koordinatene (x0 ; y0) slik: Beregn veide gjennomsnittskoordinater for nodene, og plasser fasiliteten i det ”veide midtpunktet”. I vårt eksempel har vi ikke oppgitt noen transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i, og vi kan derfor sette Ri = 1. Formlene beregner da veid totalavstand delt på total etterspørsel. LOG530 Distribusjonsplanlegging

8. 0 800 1600 2400 3200 1 0 A Street 2 3 600 B Street 4 1200 5 C Street 6 1800 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. • Rutenettmodellen Regneark tyngdepunktmetoden I stedet for å benytte en heuristikk for å finne tyngdepunktet, kan vi bruke rutenettmetoden. Den vil beregne korrekte avstander nå vi benytter et rektangulært avstandsmål, ettersom den først reiser ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Plasseringen en kommer fram til vil finne sted langs vegnettet. LOG530 Distribusjonsplanlegging

9. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: Vi ønsker å minimere totale kostnader ved å frakte pakkene til postkassen. For node i vil den rektangulære avstanden til postkassen utgjøre |xi – x0| + |yi – y0|. Multipliserer vi denne avstanden med mengde (di) og kostnad pr. mengdeenhet pr. avstandsenhet (Ri) får vi totalkostnaden for node i: Ridi[|xi – x0| + |yi – y0|]. Restriksjoner: Vi har ingen restriksjoner til dette problemet, postkassen kan plasseres hvor som helst. Vi kan også tillate negative verdier for koordinatene, ettersom nullpunktet kan velges fritt i grafen. LOG530 Distribusjonsplanlegging

10. Rutenettmodellen Regneark rutenettmodellen Merk at Solver automatisk transformerer fra NSP til et LP-problem LOG530 Distribusjonsplanlegging

11. 0 800 1600 2400 3200 0 1 A Street 2 3 600 B Street 1200 4 5 C Street 1800 6 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Rutenettmodellen Lokalisering rutenettmetoden Vi ser at vi nå faktisk får den optimale plasseringen akkurat på hjørnet mellom C Street og 4. Avenue. Om vi benytter Euklidske avstander blir optimale koordinater (1272,3; 1791,3), som er ganske nær heuristikkløsningen (1379; 1743), dvs. nær hjørnet C Street og 3. Avenue. LOG530 Distribusjonsplanlegging

12. Rutenettmodellen symboler Flere fasiliteter kontinuerlig metode: LOG530 Distribusjonsplanlegging

13. Rutenettmodellen symboler Beslutningsvariabler: LOG530 Distribusjonsplanlegging

14. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: Restriksjoner: LOG530 Distribusjonsplanlegging

15. 0 800 1600 2400 3200 0 1 A Street 2 3 600 B Street 2 1 1200 4 5 C Street 1800 6 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. • Rutenettmodellen Kontinuerlig lokalisering to fasiliteter LOG530 Distribusjonsplanlegging

16. 0 800 1600 2400 3200 0 1 A Street 2 3 600 B Street 1200 4 5 C Street 1800 6 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Rutenettmodellen Lokalisering etter diskret metode Når vi benytter en diskret lokaliseringsmetode, så skal lokaliseringen skje i en på forhånd utvalgt mengde av mulige noder. Vi har altså et endelig antall gitte punkt å velge blant. I dette eksemplet er punktene definert som gatehjørnene. Ettersom det er 5 Avenues og 6 Streets, gir det i alt 5∙6 = 30 hjørner/noder. Vi må anta at postkassen har ”ubegrenset” kapasitet, i hvert fall stor nok kapasitet til å dekke sum etterspørsel. Da kan vi benytte en p-MP modell. LOG530 Distribusjonsplanlegging

17. Rutenettmodellen symboler Beslutningsvariabler: LOG530 Distribusjonsplanlegging

18. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: LOG530 Distribusjonsplanlegging

19. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: LOG530 Distribusjonsplanlegging

20. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: LOG530 Distribusjonsplanlegging

21. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Restriksjoner: Forenkling: Vi kan her forenkle modellen, ettersom det i dette eksemplet bare skal plasseres en postkasse, dvs. antall fasiliteter p = 1. Vi trenger derfor ikke Yft variabelen, fordi alle klienter må bli betjent fra den ene fasiliteten som opprettes. LOG530 Distribusjonsplanlegging

22. Rutenettmodellen MATEMATISK FORMULERING Målfunksjon: Restriksjoner: LOG530 Distribusjonsplanlegging

23. Rutenettmodellen Regneark diskret lokalisering Merk at vi har løst problemet uten bruk av Solver. Vi velger den lokalisering som gir lavest total veid avstand til alle kundene. Samme lokalisering som ved kontinuerlig metode LOG530 Distribusjonsplanlegging

24. Rutenettmodellen diskret lokalisering to fasiliteter LOG530 Distribusjonsplanlegging

25. 0 800 1600 2400 3200 0 1 A Street 2 3 600 B Street 1200 4 5 C Street 1800 6 D Street 7 2400 E Street 8 3000 F Street 1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave. Rutenettmodellen Lokalisering 2 fasiliteter diskret metode Nå kan vi ikke benytte forenklingen, og må derfor bruke ligning 36‑4 til 36‑8 som vår modell, dvs. en generell p-MP modell. Vi ser at optimal plassering nå er på hjørnet av C Street og 1. Avenue, samt hjørnet av C Street og 4. Avenue. Total veid avstand (brevmeter) blir redusert fra 538.000 til 346.000. LOG530 Distribusjonsplanlegging