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Funzioni a più variabili

Funzioni a più variabili. Questa presentazione è stata realizzata prendendo grandi spunti dalla presentazione del dr. Chengwen Wang dell’Università dell’Essex ( Inghilterra ).

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Funzioni a più variabili

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Presentation Transcript

  1. Funzioni a piùvariabili Questa presentazione è statarealizzata prendendograndispuntidallapresentazione del dr. Chengwen Wang dell’Universitàdell’Essex (Inghilterra) Una parte dellapresentazione non è statavolutamentetradotta in Italiano, perchè in questomodoinostristudentidell’IIS “Federico Caffè”, 5 A Turistico, utilizzerano la lingua inglese in vista dell’Esame di Statoanche per comprenderemeglio la matematica www.matematicapovolta.it

  2. FUNZIONI A PIU’ VARIABILI • Tratteremo le funzioni a più variabili da 4 punti di vista: • Verbalmente (una descrizione a parole) • Numericamente (attraverso una tabella di valori) • Algebricamente (con formule) • Visivamente (con grafico o con curve di livello)

  3. DERIVATIVE PARZIALI • Nel mondo reale, le grandezze fisiche dipendono spesso da due o più variabili • In questa presentazione i concetti basilari del calcolo differenziale visti per funzioni reali di una variabile reale verranno estesi alle funzioni a più variabili

  4. FUNZIONI A DUE VARIABILI • La temperatura T in un punto sulla superficie della terra in un dato momento dipende dalla longitudine x e dalla latitudine y del punto • Tpuòessereinterpretata come unafunzionedelle due variabilix ey, o unafunzionedellacoppia (x, y). • Questa dipendenzafunzionalepuòesserecosìindicata: T = f(x, y)

  5. FUNZIONI DI DUE VARIABILI • Il volume V di un cilindro circolare dipende dal raggio re dall’altezza h. • Infatti V = πr2 h. • V è funzione di r e di h. • V(r, h) = πr2 h.

  6. FUNZIONI DI DUE VARIABILI • Una funzione f a due variabili è una regola che assegna ad ogni coppia di numeri reali (x,y) ordinate in un insieme D, che è il dominio della funzione, un unico numero reale , denotato con (x,y)

  7. FUNZIONI DI DUE VARIABILI • Spesso si usa scrivere z =f(x, y) per rendere esplicito il valore assunto da f nel punto (x,y) • Le variabili x e y sono le variabili indipendenti • z è la variabile dipendente. • z = f(x,y) va confrontato con y =f(x) .

  8. FUNZIONE DI DUE VARIABILI • Una funzione di due variabili è tale che: • Il Dominio è un sottoinsieme of R2 • Il Codominio è un sottoinsieme di R

  9. FUNZIONI DI DUE VARIABILI • Ecco un modo per visualizzare una funzione a due variabili • D è un insieme rappresentato nel piano XY

  10. FUNZIONI DI DUE VARIABILI • Se la funzione f è data da una formula e non è specificato il dominio, allora il dominio di f può essere visto come : • L’insieme di tutte le coppie (x, y) tali che l’espressione data è un ben definite numero reale.

  11. FUNZIONI DI DUE VARIABILI ESEMPIO 1

  12. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 1 a • L’espressione per f ha senso in R se il denominatore non è 0 e la quantità sotto radice è non negativa. • Così, il dominio di f è: D = {(x, y) |x +y + 1 ≥ 0, x ≠ 1}

  13. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 1 a • La disuguaglianzax + y + 1 ≥ 0, o y ≥ –x – 1, è verificatanelsemipianoi cui puntisuperano o stannosullaretta di equazioney = –x – 1 • x ≠ 1 significache I puntiappartenenti allarettax = 1 devonoessereesclusidal dominio.

  14. FUNZIONE A DUE VARIABILI Example 1 b

  15. FUNZIONI A DUE VARIABILI ESEMPIO 1 b • Il dominio è l’insieme dei punti esterni alla parabola x = y2.

  16. FUNZIONI A DUE VARIABILI • Non tutte le funzioni sono date da formule esplicite. • La funzione nel prossimo esempio è descritta verbalmente e mediante stime numeriche dei suoi valori.

  17. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 2 Nelle regioni con clima invernale rigido, l'indice W viene spesso utilizzato per descrivere l'apparente gravità del freddo. • L’indiceW è unatemperaturasoggettivachedipendedallatemperaturaattualeT e dallavelocità del ventov. • W è, perciò, unafunzione di T ev : W =f(T, v)

  18. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 2 • La seguente tabella riporta i valori di W compilati dal Servizio meteorologico nazionale NOAA degli Stati Uniti e dal Servizio meteorologico del Canada.

  19. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 2

  20. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 2 • Ad esempio, la tabella mostra che, se la temperatura è di -5 ° C e la velocità del vento è di 50 km / h, allora la temperatura avvertita è -15 ° C senza vento. • Quindi f(–5, 50) = –15

  21. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 3 • Nel 1928, Charles Cobb e Paul Douglas pubblicarono uno studio nel quale modellarono la crescita dell'economia americana durante il periodo 1899-1922.

  22. FUNZIONI A DUE VARIABILI Esempio 3 • Hanno considerato una visione semplificata in cui la produzione è determinata dalla quantità di lavoro coinvolta e dalla quantità di capitale investito. • Nonostante ci siano molti altri fattori che influenzano la performance economica, il loro modello si è rivelato estremamente accurato.

  23. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES E. g. 3—Equation 1 • The function they used to model production was of the form P(L, K) = bLαK1–α

  24. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES E. g. 3—Equation 1 • P(L, K) = bLαK1–α • P is the total production (monetary value of all goods produced in a year) • L is the amount of labor (total number of person-hours worked in a year) • K is the amount of capital invested (monetary worth of all machinery, equipment, and buildings)

  25. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 3 • In Section 14.3, we will show how the form of Equation 1 follows from certain economic assumptions.

  26. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 3 • Cobb and Douglas used economic data published by the government to obtain this table.

  27. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 3 • They took the year 1899 as a baseline. • P, L, and K for 1899 were each assigned the value 100. • The values for other years were expressed as percentages of the 1899 figures.

  28. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES E. g. 3—Equation 2 • Cobb and Douglas used the method of least squares to fit the data of the tableto the function P(L, K) = 1.01L0.75K0.25

  29. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 3 • Let’s use the model given by the function in Equation 2 to compute the production in the years 1910 and 1920.

  30. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 3 • We get: • P(147, 208) = 1.01(147)0.75(208)0.25≈ 161.9 • P(194, 407) = 1.01(194)0.75(407)0.25≈ 235.8 • These are quite close to the actual values, 159 and 231.

  31. COBB-DOUGLAS PRODN. FUNCN. Example 3 • The production function (Equation 1) has subsequently been used in many settings, ranging from individual firms to global economic questions. • It has become known as the Cobb-Douglas production function.

  32. COBB-DOUGLAS PRODN. FUNCN. Example 3 • Its domain is: {(L, K) | L ≥ 0, K ≥ 0} • This is because L and K represent labor and capital and so are never negative.

  33. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 4 • Find the domain and range of: • The domain of g is: D = {(x, y)| 9 – x2 – y2 ≥ 0} = {(x, y)| x2 + y2≤ 9}

  34. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 4 • This is the disk with center (0, 0) and radius 3.

  35. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 4 • The range of g is: • Since z is a positive square root, z ≥ 0. • Also,

  36. FUNCTIONS OF TWO VARIABLES Example 4 • So, the range is: {z| 0 ≤z ≤ 3} = [0, 3]

  37. GRAPHS • Another way of visualizing the behavior of a function of two variables is to consider its graph.

  38. GRAPH • If f is a function of two variables with domain D, then the graph of f is the set of all points (x, y, z) in R3 such that z =f(x, y) and (x,y) is in D.

  39. GRAPHS • Just as the graph of a function f of one variable is a curve C with equation y = f(x), so the graph of a function f of two variables is: • A surface S with equation z =f(x, y)

  40. GRAPHS • We can visualize the graph S of f as lying directly above or below its domain Din the xy-plane.

  41. GRAPHS Example 5 • Sketch the graph of the function f(x, y) = 6 – 3x – 2y • The graph of f has the equation z = 6 – 3x – 2y or 3x + 2y +z = 6 • This represents a plane.

  42. GRAPHS Example 5 • To graph the plane, we first find the intercepts. • Putting y =z = 0 in the equation, we get x = 2 as the x-intercept. • Similarly, the y-intercept is 3 and the z-intercept is 6.

  43. GRAPHS Example 5 • This helps us sketch the portion of the graph that lies in the first octant.

  44. LINEAR FUNCTION • The function in Example 5 is a special case of the function • f(x, y) = ax +by +c • It is called a linear function.

  45. LINEAR FUNCTIONS • The graph of such a function has the equation • z =ax +by +c • or • ax +by –z +c = 0 • Thus, it is a plane.

  46. LINEAR FUNCTIONS • In much the same way that linear functions of one variable are important in single-variable calculus, we will see that: • Linear functions of two variables play a central role in multivariable calculus.

  47. GRAPHS Example 6 • Sketch the graph of • The graph has equation

  48. GRAPHS Example 6 • We square both sides of the equation to obtain: z2 = 9 – x2 – y2or x2 + y2 +z2 = 9 • We recognize this as an equation of the sphere with center the origin and radius 3.

  49. GRAPHS Example 6 • However, since z≥ 0, the graph of g is just the top half of this sphere.

  50. GRAPHS Note • An entire sphere can’t be represented by a single function of x and y. • As we saw in Example 6, the upper hemisphere of the sphere x2 + y2 +z2= 9 is represented by the function • The lower hemisphere is represented by the function

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