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ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur. la méthode des moindres carrés Le point de vue numérique (factorisation QR). Approximation/interpollation: moindres carrés. f ( x ). y i. x i. Posons le problème matriciellement. Posons le problème matriciellement. Xa = f. =.

johana
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Presentation Transcript

  1. ASI 3Méthodes numériquespour l’ingénieur la méthode des moindres carrés Le point de vue numérique (factorisation QR)

  2. Approximation/interpollation: moindres carrés f(x) yi xi

  3. Posons le problème matriciellement

  4. Posons le problème matriciellement Xa = f =

  5. Approximation au sens des moindres carrés Système linéaire de k équations et k inconnues

  6. Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Système linéaire de k équations et k inconnues

  7. Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Matrice de Vandermonde (1735-1796) Système linéaire de k équations et k inconnues

  8. Forme quadratique Équations normales

  9. Point de vue algèbrique (géométrique) X représente une application linéaire de Rp sur Rn Projection de y (les résultats des expériences) sur le sous espace vectoriel engendré par X (les données) y 0

  10. Comment résoudre le problème des moindres carrées ? Rang(X’X) = Rang(X) = 3 cond(X’X) = cond(X)*cond(X) Il faut mieux travailler sur X que sur X’X … si possible !

  11. Un principe, deux idées Matrice orthogonale Orthogonalisation de Schmidt Orthogonalisation de Householder X 1p Car H orthogonale R 0 1 n 1 n X G H R 0

  12. R Base orthogonale (Schmidt) 0 G X Fonction x = mmc(A,b) G,R = decompose(A) x = triang(R,G’b)

  13. R Décompose : X=GR 0 Théorème : dans tout espace vectoriel de dimension finie, il existe des bases orthogonales G X {

  14. Décompose : X=GR Fonction G,R = décompose(A) Problème d’accumulation d’erreurs d’arrondi

  15. La méthode QR Il est si facile le résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement »  inversible et R triangulaire Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I Les transformations orthogonales « conservent » la norme

  16. R Orthogonalisation : X = QR 0 Q X Transformation de Householder Définir H

  17. Householder et moindres carrés

  18. Transformation de Householder

  19. Transformation de Householder Théorème : pour tout vecteur normé x, pour le vecteur unitaire e1 il existeune matrice H telle que : Hx=e1 Démonstration : posons

  20. X 0 Transformation de Householder H R 0 1 1 H 0 H = 0

  21. Quels calculs ?

  22. QR : algorithme de Householder k premières lignes de R Diag(R) • Rangement des variables • produit des H : (si besoin) • à la fin en commençant par le plus simple • formules à l’étape k Partie non encore factorisée n p

  23. L’algorithme QR Fonction Q,R = décomposeQR(X)

  24. Retour des moindres carréesla méthode QR Mise en œuvre : on calcule directement Q’b pendant la décomposition

  25. Remarques MMC sans Q R=chol(A’A) Si on ajoute ou on enlève une variable Q et R changent « peu »

  26. Matlab ATTENTION : cette semaine il faut un compte rendu par binôme unCR est une page recto verso : recto ce que vous avez fait, verso : ce que vous en pensez !

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