DUKTILNOST I NOSIVOST KONSTRUKCIJA U SEIZMIČKIM PODRUČJIMA

1. DUKTILNOST I NOSIVOST KONSTRUKCIJAU SEIZMIČKIM PODRUČJIMA

2. OPĆENITO O DUKTILNOSTI • Sposobnost nelinearnog odgovora nosive konstrukcije u seizmičkom području je jedno od glavnih svojstava kojeg konstrukcija mora posjedovati. • Duktilnost je bitna iz razloga da se veći dio seizmičke energije koji se unosi u konstrukciju tijekom potresa, disipira (troši) plastičnim deformiranjem iste (pretežito armature kod armiranobetonskih konstrukcija). • Nelinearno ponašanje konstrukcije ovisi o svojstvima materijala od kojih je ona napravljena u jednakoj mjeri kao i o načinu konstruiranja i oblikovanja detalja konstrukcije (konstruktivni sistem, spojevi i sl.).

3. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Postoje dvije krajnosti prilikom definiranja ponašanja materijala, a to su krto i duktilno ponašanja. Na slici prikazan je radni dijagram naprezanje-deformacija krtog i duktilnog materijala. Radni dijagrami krtog i duktilnog matrijala

4. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Promatrajući prikazani dijagram lako je uočljivo da krti materijal prije loma ima veoma male nelinearne deformacije. Krti materijal ponaša se gotovo linearno-elastično. Sa druge strane, duktilni materijal može pretrpjeti značajne nelinearne deformacije, prije nego nastupi konačni slom.

5. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Ukoliko je otkazivanje neke konstrukcije neizbježno, duktilni lom je mnogo povoljniji u odnosu na krti lom, iz razloga što je u tom slučaju otkazivanje konstrukcije najavljeno. Prije potpunog otkazivanja konstrukcije javljaju se značajne nelinearne deformacije u vidu formiranja plastičnih zglobova (drobljenjem betona uslijed tlaka, te tečenje armature uslijed vlaka). Suvremene armiranobetonske konstrukcije pokazuju relativno dobro duktilno ponašanje, što je dokazano brojnim eksperimentalnim istraživanjima, cikličkim opterećenjima koja simuliraju djelovanje potresa kao i ponašanjem takvih konstrukcijama u stvarnim potresima.

6. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Značajnu ulogu za takvo ponašanje konstrukcija ima konstruktivno oblikovanje u skladu sa novim tehničkim saznanjima u tom području, takozvanom kapacitativnom projektiranju (Capacity design).

7. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Rezultat cikličkog opterećenja na jednom ispitanom armiranobetonskom konzolnom stupu prikazan je dijagramom sila-pomak na slici. Dijagram sila-pomak ciklički opterećenog konzolnog stupa

8. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Ispitivani model je pokazao značajnu sposobnost nelinearnog deformiranja prije konačnog otkazivanja. Krivulja u prikazanom dijagramu naziva se krivulja histereze. Histereza je pojava kod koje posljedice koje izaziva neki uzrok ne isčezavaju uklanjanjem uzroka. U promatranom primjeru histerezna krivulja više puta mijenja kvadrante koordinatnog sustava uslijed cikličkog opterećenja te vidljivo dočarava nelinearno ponašanje konstrukcije, a samim time i histereznu disipaciju seizmičke energije, koja se u konstrukciju unosi tijekom djelovanja potresa.

9. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Kada deformacija dosegne granicu popuštanja, opterećenje neće dalje rasti (postoji mogućnost blažeg rasta ili čak smanjivanja), a deformacije dalje rastu. To rezultira disipacijom unijete seizmičke energije. Na taj način krivulja oblikuje ograničenu površinu. Površina koju zatvara krivulja histereze predstavlja utrošenu (disipiranu) energiju koja se unosi u konstrukciju te što je ta površina veća odgovor konstrukcije na djelovanje potresa je povoljniji.

10. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Za vrijeme potresa konstrukcija se podvrgava oscilatornim gibanjima s promjenjivim deformacijama. Ciklički testovi koja simuliraju ovakva stanja mogu se provesti na dijelove konstrukcija, spojeve, modele u određenom mjerilu ili na modelima u stvarnoj veličini. Odnos sila-deformacija prikazuje histereznu petlju koja nastaje pod cikličkim opterećenjem, a uslijed neelastičnog ponašanja. Oblik histerezne petlje ovisi o konstruktivnom sistemu te o materijalu.

11. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Jasno je da projektirati konstrukcije tako da se i uslijed najsnažnijih potresa ponašaju elastično nema ekonomskog opravdanja. Navedeno nema ni tehničkog opravdanja ukoliko nije moguće osigurati duktilno ponašanje takve predimenzionirane konstrukcije. Kod primjene uobičajenih metoda proračuna seizmički otpornih konstrukcija (primjena metode sila), kod kojih se pretpostavlja linearno-elastično ponašanje materijala, stvarno nelinearno ponašanje konstrukcije uzima se u obzir preko svjesnog umanjenja nosivosti konstrukcije ovisno o duktilnosti. Pri tome je potrebno računati na oštećenja konstrukcije, ali ne bi trebalo doći do otkazivanja.

12. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Duktilne konstrukcije je moguće proračunavati na znatno umanjene seizmičke sile u odnosu na konstrukciju koja se čitavo vrijeme ponaša elastično, što je iz ekonomskih i estetskih razloga prihvatljivije. Duktilnost je mjera nelinearnog ponašanja konstrukcije. Kod definiranja duktilnosti pretpostavlja se elasto-plastični radni dijagram materijala.

13. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Mjera duktilnosti, kao fizikalna veličina, definirana je koeficijentom duktilnosti koji predstavlja odnos između ukupne elasto-plastične deformacije (deformacija na granici loma) i deformacije na granici plastifikacije (deformacija na granici popuštanja), što je prikazano bilinearnim dijagramom (elastično- idealno plastično ponašanje) na slici.

14. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Bilinearni dijagram sila-pomak Koeficijent duktilnosti definiran je sljedećom jednadžbom: - koeficijent duktilnosti pomaka - ukupni elasto-plastični pomak - pomak na granici plastifikacije

15. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Kod stvarnih armiranobetonskih konstrukcija je dijagram ponašanja materijala zakrivljen iz razloga što se plastifikacija postepeno razvija, od pojave prvih pukotina do formiranja plastičnih zglobova. U promatranom je slučaju duktilnost definirana uz pretpostavku elasto-plastičnog ponašanja materijala, te monotonog porasta opterećenja. Kod stvarnog utjecaja potresa na konstrukciju, naprezanja i deformacije mijenjaju predznak u radnom dijagramu uz postepeno opadanje krutosti, što dovodi do ponašanja materijala koji je prikazan dijagramom histerezne krivulje koji je prethodno prikazan naslici.

16. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Kod analitičkog modela nelinearne analize konstrukcija pod utjecajem potresa, duktilnost predstavlja ključnu ulogu. Konstrukcijska sposobnost za histereznu disipaciju energije koja se u konstrukciju unosi tijekom potresa ovisna je o duktilnosti. Duktilnost neke konstrukcije proizlazi iz lokalne sposobnosti kritičnih područja (odabranih poprečnih presjeka u sklopu konstruktivnih elemenata ili spojeva) da ostvare velike plastične deformacije. To se naziva lokalnom duktilnošću.

17. OPĆENITO O DUKTILNOSTI Lokalna duktilnost se ostvaruje projektiranjem baziranim na sposobnosti konstrukcije da se povoljno ponaša za vrijeme djelovanja potresa. Takav vid projektiranja uključen je u suvremenim propisima za projektiranje seizmički otpornih konstrukcija, kao što je Eurocode 8, a koji daje smjernice za konstrukcijsko oblikovanje seizmički otpornih duktilnih konstrukcija.

18. VRSTE DUKTILNOSTI Prema načinu deformiranja konstrukcija, njezinih konstruktivnih elemenata ili spojeva, razlikuju se sljedeće vrste duktilnosti: • duktilnost izduženja (skraćenja) • duktilnost zakrivljenosti • rotaciona duktilnost • duktilnost pomaka

19. VRSTE DUKTILNOSTI Duktilnost izduženja (skraćenja) se definira na centrički napregnutom štapnom elementu jedinične duljine, a pokazuje koliko puta je ukupno elasto-plastično izduženje (skraćenje) na granici loma elementa veće od onoga na granici pojave plastifikacije (tečenja) te je definirana jednadžbom: - koeficijent duktilnosti izduženja (skraćenja) - ukupno elasto-plastično izduženje (skraćenje) - izduženje (skraćenje) na granici plastifikacije

20. VRSTE DUKTILNOSTI Duktilnost zakrivljenosti je definirana na elementu jedinične duljine koji je napregnut na savijanje te predstavlja odnos ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka na granici loma i zakrivljenosti poprečnog presjeka elementa na granici popuštanja , a prikazuje se sljedećom jednadžbom: - ukupna nelinearna zakrivljenost presjeka ili - zakrivljenost presjeka na granici plastifikacije - koeficijent duktilnosti zakrivljenosti - ukupna elasto-plastična zakrivljenost - zakrivljenost na granici plastifikacije

21. VRSTE DUKTILNOSTI Rotaciona duktilnost definira se na plastičnom zglobu duljine , koji je opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom, a pokazuje odnos ukupnog kuta zaokreta poprečnog presjeka i kuta zaokreta na granici plastifikacije poprečnog presjeka . Rotaciona duktilnost se također može dobiti i integracijom duktilnosti zakrivljenosti po duljine plastičnog zgloba. Rotaciona duktilnost definirana je jednadžbom: - koeficijent rotacione duktilnosti - ukupni elasto-plastični kut zaokreta - kut zaokreta na granici plastifikacije

22. VRSTE DUKTILNOSTI Kada se općenito govori o duktilnosti uglavnom se misli na duktilnost pomaka. Duktilnost pomaka može se definirati za jedan element (lokalna duktilnost) ili pak za čitavu konstrukciju (globalna duktilnost). Postoji veza između lokalne duktilnosti pojedinih konstruktivnih elemenata i globalne duktilnosti konstrukcije. Duktilnost pomaka predstavlja odnos između ukupnog elasto-plastičnog pomaka na granici loma i pomaka na granici plastifikacije, a definirana je jednadžbom: ili - koeficijent duktilnosti pomaka - ukupni elasto-plastični pomak - pomak na granici plastifikacije

23. DUKTILNOST POMAKA Duktilnost pomaka μΔse može definirati za jedan element ili za čitavu konstrukciju (tada se govori o globalnoj duktilnosti). Kada se općenito govori o duktilnonsti uglavnom se misli na duktilnost pomaka.

24. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Analiza duktilnosti na obostrano upetom armiranobetonskom elementu (vrijedi i za predgotovljeni betonski element čiji su spojevi oblikovani na način da je ekvivalentan obostrano upetom monolitnom elementu). Obostrano upeti armiranobetonski element

25. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Za elemente napregnute savijanjem, kao što su grede i stupovi osnovni izvor duktilnosti je duktilnost zakrivljenosti. Duktilnost zakrivljenosti predstavlja odnos ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka na granici loma i zakrivljenosti poprečnog presjeka elementa na granici popuštanja, te je prikazana jednadžbom (3). (3) Plastičnu komponentu ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka možemo prikazati sljedećom jednadžbom (6):   (6) - plastična komponenta ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka

26. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Iz jednadžbe (6) slijedi ukupna zakrivljenost poprečnog presjeka: (7) Uvrštavanjem jednadžbe (7) u jednadžbu (3), duktilnost zakrivljenosti je moguće napisati na sljedeći način: (8) Nakon sređivanja jednadžbe (8) dobije se sljedeća jednadžba: (9)

27. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Izražena pomoću pomaka, duktilnost je definirana jednadžbom (5). Pomak na granici plastifikacije (elastična komponenta pomaka), definiran je preko zakrivljenost na granici plastifikacije jednadžbom: (10) (5) l - duljina elementa

28. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Plastičnu komponentu ukupnog pomaka elementa moguće je prikazati preko plastične komponente ukupnog kuta zaokreta elementa u ležaju, sljedećom jednadžbom: (11) - plastična komponenta ukupnog pomaka - plastična komponenta ukupnog kuta zaokreta Plastična komponenta ukupnog kuta zaokreta izražena pomoću plastične komponente ukupne zakrivljenosti definirana je jednadžbom: (12) - duljina zone plastifikacije – plastični zglob

29. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Uvrštavanjem jednadžbe (12) u jednadžbu (11), plastičnu komponentu ukupnog pomaka elementa moguće je napisati na sljedeći način: (13) Ukupni pomak elementa sastoji se od elastične i plastične komponente pomaka: (14) Uvrštavanjem jednadžbe (14) u jednadžbu (5), dobije se sljedeća jednadžba za duktilnost pomaka: (15) Nakon sređivanja jednadžbe (15) dobije se: (16)

30. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Uvrštavanjem jednadžbi (10) i (13) u jednadžbu (16) slijedi jednadžba: (10) (13) (16) (17) Iz jednadžbe (9) slijedi: (9) (18) Uvrštavanjem jednadžbe (18) u jednadžbu (17) slijedi: (18) (17) (19)

31. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Prema odredbi Eurocodea 8 da se za armiranobetonske konstrukcije visokog razreda duktilnosti DCH (Ductility Class High) u seizmičkim područjima može koristiti isključivo armaturni čelik razreda duktilnosti C prema Eurocodeu 2, dakle čelik oznake B450C, slijedi da omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja iznosi: Iz navedenog omjera i ostalih konstruktivnih mjera koje služe za osiguravanje formiranja plastičnih zglobova, kod obostrano upetog elementa prema slici, moguće je odrediti duljinu zone plastifikacije – plastičnog zgloba, koja iznosi: (20)

32. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Nakon uvrštavanja jednadžbe (20) u jednadžbu (19) slijedi: (20) (19) (21) Iz jednadžbe (9) slijedi: (9) (22) Uvrštavanjem jednadžbe (22) u jednadžbu (21), moguće je napisati: (22) (21) (23)

33. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA Nakon sređivanja jednadžbe (23) slijedi jednadžba za duktilnost pomaka: (23) (24) Iz jednadžbe (24) je vidljivo da je duktilnost pomaka elementa uvijek manja od duktilnosti zakrivljenosti poprečnog presjeka dotičnog elementa. Na navedeni način je moguće, analizom odabranog tipa međusobnog spoja pojedinih predgotovljenih betonskih elemenata, na temelju nelinearnih karakteristika i radnog dijagrama spoja (dobivenih na stvarnim ili računalnim modelima), odrediti duktilnost zakrivljenosti poprečnog presjeka u spoju (lokalna duktilnost) te uvrštavanjem rezultata u jednadžbu (24) dobiti vrijednost duktilnosti pomaka elementa.

34. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA dužina plastičnog zgloba lp=0.08l + 6db promjer lp =0.08l + 0.022 · fy · db granica razvlačenja, promjer lp =0.18ls + 0.025 fy · db monotono opterećenje lp =0.08ls +0.017 fy · db cikličko opterećenje ls - dužina posmika

35. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Veza između lokalne duktilnosti pojedinih elementata ili spojeva i globalne duktilnosti konstrukcije, koja je zaslužna za disipaciju seizmičke energije, ovisna je o konačnom mehanizmu loma konstrukcije. Distribucija formiranih plastičnih zglobova u trenutku otkazivanja konstrukcije postavlja geometrijska pravila o kojima ovise krajnji rezultati ponašanja konstrukcije pod djelovanjem potresa. Mogući mehanizmi otkazivanja jedne n-terokatne okvirne konstrukcije prikazani su na slici.

36. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Mehanizmi otkazivanja n-tero katnog armiranobetonskog okvira

37. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Na slici (a) prikazana je elastična deformacija n-terokatnog okvira na granici popuštanja (formiranja prvog plastičnog zgloba). Globalni pomak vrha okvira definiran je sljedećom jednadžbom: (25) - globalni pomak vrha okvira - broj katova - elastična komponenta međukatnog pomaka (Interstorey drift) Slika (b) prikazuje povoljan mehanizam formiranja plastičnih zglobova prije otkazivanja konstrukcije, koji se postiže kapacitativnim projektiranjem prema pravilu „slabe grede – jaki stupovi“. Na taj se način postiže poželjan mehanizam sloma konstrukcije, takozvani bočno-gredni mehanizam.

38. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA U ovakvom se slučaju plastični zglobovi ranije formiraju u horizontalnim elementima (gredama) te na taj način njihova nosivost bude iscrpljena prije dostizanja granične nosivosti vertikalnih elemenata (stupova). Navedeno je povoljno iz razloga što je u potresu uočeno da se grede neće urušiti čak i onda kada su teško oštećene u područjima formiranja plastičnih zglobova, ali se zato nosivost konstrukcije ubrzano smanjuje ako se plastifikacija dogodi u nekom od poprečnih presjeka stupova. Globalna plastična komponenta pomaka vrha okvira je u ovom slučaju jednaka zbroju plastičnoj komponenti međukatnih pomaka pojedine etaže: (26) - globalna plastična komponenta pomaka vrha okvira - plastična komponenta međukatnog pomaka (Interstorey drift)

39. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA U promatranom slučaju povoljnog mehanizma otkazivanja konstrukcije globalna duktilnost pomaka konstrukcije definirana je jednadžbom (1). Nadalje vrijedi da se ukupni pomak vrha konstrukcije sastoji od elastične i plastične komponente pomaka: (1) (27) Uvrštavanjem jednadžbe (27) u jednadžbu (1) slijedi: (28) Slijedi uvrštavanje jednadžbi (25) i (26) u jednadžbu (28): (25) (26) (29)

40. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Nakon sređivanja jednadžbe (29) slijedi: (29) (30) Uvrštavanjem jednadžbe (15) u jednadžbu (30) slijedi da je globalna duktilnost konstrukcije u promatranom slučaju povoljnog mehanizma formiranja plastičnih zglobova, jednaka lokalnoj duktilnosti konstruktivnih elemenata: (15) (30) (31)

41. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Navedeno je veoma bitno prilikom određivanja globalne duktilnosti pomaka konstrukcije iz lokalne duktilnosti pomaka konstruktivnih elemenata (lokalna duktilnost pomaka elemenata proizlazi iz lokalne duktilnosti zakrivljenosti poprečnih presjeka u spojevima predgotovljenih betonskih elemenata), koju je moguće odrediti analizom konkretnih modela spojeva predgotovljenih betonskih elemenata i definiranjem njihovih nlinearnih karakteristika. Uvjet je da konstrukcija bude tako projektirana (Capacity design) da je u stanju postići povoljni mehanizam formiranja plastičnih zglobova, dakle prema pravilu „slabe grede – jaki stupovi“.

42. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA U slučaju nepovoljnog mehanizam formiranja plastičnih zglobova prije otkazivanja konstrukcije, koji je prikazana na slici (c), globalna plastična komponenta pomaka vrha konstrukcija jednaka je plastičnoj komponenti međukatnog pomaka etaže na kojoj je došlo do formiranja plastičnih zglobova: (32) Takva konstrukcija nije u stanju postići da se plastični zglobovi ranije formiraju u gredama, već plastični zglobovi najprije nastupaju u stupovima. Najčešće se ta plastifikacija događa u stupovima samo jedne etaže, nazvane „mekom etažom“ te se u tom slučaju nosivost konstrukcije ubrzano smanjuje. Rezultat toga je globalno urušavanje čitave konstrukcije uslijed gubitka stabilnosti otkazivanjem „meke etaže“.

43. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Uvrštavanje jednadžbe (25) i (32) u jednadžbu (28) slijedi: (25) (32) (28) (33) Nakon sređivanja jednadžbe (33) slijedi: (34) Za promatrani slučaj nepovoljnog mehanizma otkazivanja konstrukcije također je moguće iz lokalne duktilnosti pomaka konstruktivnih elemenata odrediti globalnu duktilnost pomaka konstrukcije. Vidljivo je da globalna duktilnost ovisi o katnosti konstrukcije. Što je katnost konstrukcije veća to globalna duktilnost srazmjerno opada.

44. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA Ako se za primjer uzme okvirna konstrukcija sa četiri etaže, ilustriranu na slici, čija je lokalna duktilnost elemenata , uvrštavanjem te vrijednosti u jednadžbu (34) slijedi da je globalna duktilnost konstrukcije svega (34) Na navedenom primjeru je zorno dokazano da će loše projektirana konstrukcija, koja nema povoljan mehanizam formiranje plastičnih zglobova, samim time imati i manju globalnu duktilnost, što će rezultirati gubitkom stabilnosti i urušavanjem takve konstrukcije u potresu

45. DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA U slučaju jednoetažne okvirne konstrukcije, kod koje vrijedi da je, uvrštavanjem u jednadžbu (34) slijedi da su globalna duktilnost konstrukcije i lokalna duktilnost elementa jednake (kao kod slučaja povoljnog mehanizma formiranja plastičnih zglobova). Iz navedenog slijedi da u tom slučaju nije potrebno držati se principa kapacitetnog projektiranja prema pravilu „slabe grede – jaki stupovi“.

46. JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI Shema jednoetažnog predgotovljenog zglobnog okvira (konzolno upeti stup), prikazana je na slici. Konzolno upeti stup jednoetažnih zglobnih okvira

47. JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI Kod jednoetažnih predgotovljenih zglobnih okvira (konzolno upeti stup), prema slici, pomak na granici plastifikacije (elastična komponenta pomaka), definiran je preko zakrivljenost na granici plastifikacije jednadžbom: (35) h - visina okvira

48. JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI Plastična komponenta ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka, definirana preko plastične komponente kuta zaokreta , može se prikazati sljedećom jednadžbom: (36) - plastična komponenta kuta zaokreta - visina zone plastifikacije – plastičnog zgloba Plastičnu komponentu ukupnog pomaka stupa moguće je definirati preko plastične komponente ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka, jednadžbom: (37)

49. JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI Analogno provedenom postupku prilikom analiziranja obostrano upetog stupa, uvrštavanjem jednadžbi (35) i (37) u jednadžbu (16) slijedi jednadžba: (35) (37) (16) (38) Uvrštavanjem jednadžbe (18) u jednadžbu (38), te uzimajući u obzir da za promatranu jednoetažna okvirna konstrukcija vrijedi da su globalna i lokalna duktilnost jednake, što je pokazano prije, slijedi: (18) (38) (39)

50. JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI Uspoređujući obostrano upeti element (stup), sa konzolno upetim stupom, analizom geometrije momenta savijanja moguće je napisati sljedeću jednadžbu: (40) Uvrštavanjem jednadžbi (40) i (20) u jednadžbu (39) te nakon sređivanja iste na analogni način kao u prethodno analiziranom primjeru sa obostrano upetim stupom (vodeći računa da je ), dobije se identična jednadžba (24) za duktilnost pomaka . (40) (20) (39)