FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ

1. FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ KONU : BİLGİSAYARLI HESAPLAMA MODELLERİ, RASTGELE YÜRÜTÜM BENZETİMİ DERLEYENLER: Ahmet Can ÇAKIL Ali Murat GARİPCAN Özgür AYDIN Şahin KARA KONTROL : Prof. Dr. Asaf VAROL

2. İçerik • RandomWalk / Rastgele Yürüyüş Teoremi • Çekirge Kaç Sıçrar ya da Rastgele Yürüyüş Problemi ve Çözümü

3. Rassal Yürüyüş (RandomWalk) Kuramı Rastgele yürüyüş terimi ilk olarak 1905 yılında Karl Peason tarafından ortaya atılmıştır. Bir ekonomik terim olan bu kuram; ilk olarak 1964 yılında Paul H. Cootner tarafından yazılan “TheRandomCharacter of Stock Market Prices” isimli kitapta tanıtılmıştır. Fiyatların kendi gerçek değerleri etrafında rastlantısal olarak salındığını savunan “etkin piyasa hipotezi’ ne dayanır. Kuram aynı zamanda, “piyasayı bozabilecek” herhangi bir girişime karşı izlenecek en iyi piyasa stratejisini de belirlemeye yarar. Rassal Yürüyüş Kuramı, fiyat değişikliklerinin “seri olarak bağımsız” olduğunu ve fiyatın, gelecekteki fiyatın yönü için güvenilir bir gösterge olmadığını savunur. Diğer bir deyişle, fiyat hareketi tamamen raslantısaldır. Bu nedenle önceden tahmin yapılamaz.

4. Rassal Yürüyüş (RandomWalk) Kuramı Bu kuram, bilgisayar, ekoloji, fizik, ekonomi, olasılık gibi zaman içerisinde rastgele süreçlerden oluşan alanlarda kullanılmaktadır. Örneğin; sıvı veya gaz moleküllerinin hareketi, bazı hayvanların yiyecek bulmak için kullandıkları yol dalgalı bir hisse senedinin fiyat ve bir kumarbazın mali durumu gibi rastlantısal süreçler bu modelle açıklanabilir.

5. Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi p q • Düz ve uzun bir yol üzerinde çekirge öne ya da arkaya sadece 1 m sıçrayabiliyor. Belli bir olasılıkla öne, belli bir olasılıkla arkaya sıçrayabiliyor. • Çekirgenin sonlu bir zaman içinde, fakat zaman limiti olmaksızın 1000 m ileri gitme olasılığı kaçtır? • Diyelim ki ; çekirge p olasılıkla ileri, p+q=1 q olasılıkla geri sıçrasın. Ayrıca başlangıç noktasının sağındaki ilk noktaya +1, solundaki noktaya -1 diyelim.

6. Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • Elbette p ne kadar büyükse, çekirgenin 1000 metre sağa gitme olasılığı da o kadar büyüktür.. • Örneğin, p=1 ise, çekirge hep sağa doğru ilerliyor demektir ve çekirge %100 olasılıkla 1000 sıçrayışta başlangıç noktasının 1000 m ilerisinde olur. • P=0 ise, çekirge hep sola gidiyor demektir ve hiçbir zaman başlangıç noktasının 1000 metre ilerisine gelemez. • Problemin çözümünde asıl sorunlar; • P=1/2 ve q=1/2 yani ileri ve geri yönde ilerleme olasılıkları birbirine eşit olma durumunda çözüm nasıl olur. • P (ileri yönde ilerleme olasılığının) 0 ile 1 arasında herhangi bir değerse çekirgenin başlangıç noktasından 1000 m ileri ulaşma olasılıklarının hesaplanmasıdır.

7. Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • a) İlk sıçrayışı sağa doğru (pozitif yönde) ise; • Çekirgenin nbirim uzaklığa ulaşma olasılığına xn diyelim. • x1000’i sorduk. Eğer n > 0 ise, xn = x1nolur. • Çünkü çekirgenin n metre sağa gidebillmesi için, çekirgenin n kez 1 m sağa gitmesi gerekir. Bu nedenle x1 ‘ hesaplamak yeterlidir. • b) İlk sıçrayış sola doğru (negatif yönde) ise; • Çekirge q olasılıkla ters yönde -1 noktasına geldiği düşünülürse, +1 noktasına gelmesi için 2 defa ilk atlayışının tersi yönde hareket etmelidir. • q=1-p’ dir. • x1 = p + (1 p)x2 eşitliği ortaya çıkar • x2 = x12 • x1 = p + (1 p)x12 +1

8. Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • x1 = p + (1 p)x12 bir ikinci dereceden denklemdir. • (1 p)x12x1 + p = 0 • 0 = (1 p)x12x1 + p = (1 x1)(p (1 p)x1) olur. • x1 = 1 yadax1 = p / (1-p) Sonuç olarak eğerp ≥ 1/2 ise (yanip ≥ qise), p / (1-p) ≥ 1 olduğundan çekirgenin belirsiz bir süre sonra pozitif yönde 1m noktasına gelme olasılığı yüzde yüzdür dolayısıyla 1000 m varma olasılığı da bu değere eşittir.

9. . Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • Eğer p ≤ 1/2 ise, yani p ≤ q ise bu olasılık kaçtır? • Yine x1’i (başlangıç noktasından 1 birim uzaklığı) hesaplamak yeterlidir. • Ayrıntılı bir çözüm için şekle bakarsak, En alt sol noktadan, yani (0, 0) noktasından başlayarak, çekirge doğru üzerinde sola sıçradığında yukarıdaki şekilde bir adım yukarı çıkalım (  ), sağa sıçradığında yukardaki şekilde bir adım sağa gidelim (  ).

10. . Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • (1, 0), (2, 1), (3, 2) gibi, şekilde koyu renkle belirtilmiş noktalara varılırsa, çekirgenin doğru üzerinde +1 noktasına ulaştığı anlaşılır. • Örneğin yukarıdaki şekilde (1, 0) noktasına varılırsa, çekirge hemen, daha ilk hamleden 1 noktasına sıçramış demektir. • Eğer (2, 1) noktasına varılırsa, çekirge doğru üzerinde önce bir adım sola (  ), sonra iki adım sağa (  ) sıçramış demektir. • Eğer (3, 2) noktasına varılırsa, çekirge doğru üzerinde • ya sol-sağ-sol-sağ-sağ yapmıştır • ya da sol-sol-sağ-sağ-sağ. • Yani (3, 2) noktasına iki değişik biçimde ulaşılabilir. (4, 3) noktasına da beş değişik biçimde ulaşır: • sol-sağ-sol-sağ-sol-sağ-sağ =  • sol-sağ-sol-sol-sağ-sağ-sağ =  • sol-sol-sağ-sağ-sol-sağ-sağ =  • sol-sol-sağ-sol-sağ-sağ-sağ =  • sol-sol-sol-sağ-sağ-sağ-sağ = 

11. Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi . • Genel olarak, çekirge (0, 0) noktasından başlayarak kaç çeşitli yoldan (n + 1, n) noktasına ulaşabilir? • f(0) = 1 • f(1) = 1 • f(2) = 2 • f(3) = 5 • (0, 0) noktasından (n + 1, n) noktasına giden her yolda, • çekirge n kez sola (  ), n+1 kez sağa (  ) gitmelidir. • Bunun da olasılığı qnpn+1 dir. • O halde çekirgenin n kez sola, n + 1 kez sağa • giderek +1 noktasına ulaşma olasılığı, • f(n)qnpn+1 ‘dir. • Dolayısıyla, çekirgenin 1 noktasına ulaşma olasılığı,

12. . Çekirge Kaç Sıçrar ya da “Rastgele Yürüyüş” Problemi • Denklem çözülürse, • p ≤ q ise, q ≥ p olduğundan ve bu durumda olas(q, p) = 1 olduğundan, • Demek ki, p ≤ q olduğunda, x1 = p/q imiş. Dolayısıyla x1000 = (p/q)1000’ dir, genellikle oldukça küçük bir olasılıktır. bulunur.

13. Kaynaklar [1] http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-00-introduction-to-computer-science-and-programming-fall-2008/lecture-videos/ [2] http://www.alinesin.org/04.htm [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk [4] http://webphysics.davidson.edu/webtalks/clark/onedimensionalwalk.html