1 / 22

NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S  DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM

NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S  DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM. Pavol Chocholatý. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom .

kaloni
Download Presentation

NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S  DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍCS  DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM Pavol Chocholatý

  2. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom . • Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

  3. Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe , kde oneskorený argument • je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach s konštantným oneskorením • je funkciou času - vtedy hovoríme o časovo-premennom oneskorení .

  4. Špeciálne, • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym oneskorením • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

  5. Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením . Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

  6. Oneskorenie môže by tiež distribuované • Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica. • Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritéria v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

  7. Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou v snahe získať pozitívne riešenia. • Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

  8. kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov, je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

  9. Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením... • Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil nelineárny systém dvoch diferenciálnych rovníc s distribuovaným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

  10. pre vzhľadom na štartovacie funkcie , a začiatočný čas . Exaktné riešenie má tvar :

  11. Analýza – numerický prístup: • začiatočná úloha pre ODR • voľba tvaru numerickej metódy • explicitná • implicitná • jednokroková • viackroková • voľba rádu zvolenej numerickej metódy • výpočet určitého integrálu s iracionálnym číslom ako hranicou • numerická kvadratúra --- Newtonové – Cotesové vzorce • zatvorené • otvorené • voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov • vplyv iracionálneho čísla v hranici integrálu na stanovenie uzlov v kvadratúre

  12. ODR s distribuovaným oneskorením • koordinácia zvolených numerických metód • z hľadiska ich rádov • z hľadiska zvolených uzlov • na riešenie sústavy dvoch rovníc • realizácia výpočtov • chybová analýza vo vybraných nie úplne totožných uzloch • porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

  13. Realizácia výpočtov • Interval riešenia: • Ekvidištantné delenie: Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom : Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metóda Heunova metóda Adamsova-Moultonova metóda Rungeho metóda Milneho metóda Kuttova metóda Milneho-Simpsonova metóda

  14. Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom : Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre Lichobežníkové pravidlo, Simpsonové pravidlo, Triosminové pravidlo • Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

  15. Nasleduje ukážka riešenia vo vybraných uzlových bodoch získaná Milneho- Simpsonovu metódou 5.rádu s použitím Simpsonovho pravidla pri kroku . Tabuľka

  16. Cieľom práce bolo • aplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“ • otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru • pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

  17. Záver Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia: 1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy • so zvyšujúcim sa rádom explicitnej metódy pri danej kvadratúre kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej • všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku

  18. napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Kuttovej metódy, zloženého Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako dve desatiny v porovnaní s exaktným riešením 2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód • „nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej

  19. potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku • napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením 3. Keďže veľkosť kroku je iracionálne číslo, prostredníctvom ktorého sa generujú uzlové body , je potrebné pri porovnávaní získaných hodnôt riešenia pri rôznej voľbe dĺžky kroku brať do úvahy, že tieto uzly nie sú „úplne“ totožné.

  20. Literatúra: Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19 Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273 Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177 Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

  21. Ďakujem za pozornosť

More Related