NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM

1. NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍCS  DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM Pavol Chocholatý

2. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom . • Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

3. Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe , kde oneskorený argument • je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach s konštantným oneskorením • je funkciou času - vtedy hovoríme o časovo-premennom oneskorení .

4. Špeciálne, • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym oneskorením • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

5. Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením . Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

6. Oneskorenie môže by tiež distribuované • Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica. • Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritéria v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

7. Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou v snahe získať pozitívne riešenia. • Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

8. kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov, je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

9. Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením... • Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil nelineárny systém dvoch diferenciálnych rovníc s distribuovaným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

10. pre vzhľadom na štartovacie funkcie , a začiatočný čas . Exaktné riešenie má tvar :

11. Analýza – numerický prístup: • začiatočná úloha pre ODR • voľba tvaru numerickej metódy • explicitná • implicitná • jednokroková • viackroková • voľba rádu zvolenej numerickej metódy • výpočet určitého integrálu s iracionálnym číslom ako hranicou • numerická kvadratúra --- Newtonové – Cotesové vzorce • zatvorené • otvorené • voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov • vplyv iracionálneho čísla v hranici integrálu na stanovenie uzlov v kvadratúre

12. ODR s distribuovaným oneskorením • koordinácia zvolených numerických metód • z hľadiska ich rádov • z hľadiska zvolených uzlov • na riešenie sústavy dvoch rovníc • realizácia výpočtov • chybová analýza vo vybraných nie úplne totožných uzloch • porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

13. Realizácia výpočtov • Interval riešenia: • Ekvidištantné delenie: Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom : Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metóda Heunova metóda Adamsova-Moultonova metóda Rungeho metóda Milneho metóda Kuttova metóda Milneho-Simpsonova metóda

14. Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom : Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre Lichobežníkové pravidlo, Simpsonové pravidlo, Triosminové pravidlo • Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

15. Nasleduje ukážka riešenia vo vybraných uzlových bodoch získaná Milneho- Simpsonovu metódou 5.rádu s použitím Simpsonovho pravidla pri kroku . Tabuľka

16. Cieľom práce bolo • aplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“ • otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru • pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

18. Záver Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia: 1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy • so zvyšujúcim sa rádom explicitnej metódy pri danej kvadratúre kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej • všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku

19. napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Kuttovej metódy, zloženého Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako dve desatiny v porovnaní s exaktným riešením 2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód • „nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej

20. potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku • napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením 3. Keďže veľkosť kroku je iracionálne číslo, prostredníctvom ktorého sa generujú uzlové body , je potrebné pri porovnávaní získaných hodnôt riešenia pri rôznej voľbe dĺžky kroku brať do úvahy, že tieto uzly nie sú „úplne“ totožné.

21. Literatúra: Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19 Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273 Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177 Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

22. Ďakujem za pozornosť