1 / 50

Puntos de corte con los ejes

{. x=-1 x=1 x=2. f(0)=2. Puntos de corte con los ejes. Consideramos la función f(x) =x 3 -2x 2 -x+2. Con el eje OX. Resolvemos la ecuación x 3 -2x 2 -x+2=0. Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0). Con el eje OY. Calculamos f(0). Punto de corte (0,2). d. d. x. -x. x=0.

kasimir-sullivan
Download Presentation

Puntos de corte con los ejes

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. { x=-1 x=1 x=2 f(0)=2 Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x3-2x2-x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuación x3-2x2-x+2=0 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0) Punto de corte (0,2)

  2. d d x -x x=0 Simetrías axiales: Funciones pares Consideramos la función f(x) = x4-2x2 La función es simétrica respecto del eje Y. Por tanto, f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par.

  3. d d x -x Simetrías centrales: Funciones impares Consideramos la función f(x) = x3-x La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Por tanto, f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar.

  4. Dominio Recorrido Recorrido Dominio Funciones polinómicas Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n. Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... f(x) = x2 f(x) = x4 f(x) = x5 f(x) = x3

  5. Recorrido: R Recorrido: R Dominio: R Dominio: R Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. • (0, b): ordenada • en el origen • (0, b): ordenada • en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente.

  6. Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R • Funciones y = ax2 para diferentes valores de a: • Son parábolas • Dominio: R • Si a > 0: Recorrido = [0, ) • Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5

  7. Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola • V a > 0 a < 0 • V

  8. Gráficas de funciones: monotonía y curvatura Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (I) • a > 0 • convexa • ramas hacia arriba • mínimo en el vértice • a < 0 • cóncava • ramas hacia abajo • máximo en el vértice Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a)) Eje de simetría: x = –b/(2a)

  9. Gráficas de funciones: monotonía y curvatura b2 – 4ac < 0  no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II) b2 – 4ac > 0  corta al eje OX en dos puntos b2 – 4ac = 0  corta al eje OX en un punto

  10. Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

  11. Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo a > 0 • I • Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (I) • I Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo a < 0

  12. M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m

  13. M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m

  14. – 1 1 Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. + + x - 1 – + x + 1 – – • Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0. + f(x) + – Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.

  15. Gráficas de algunas funciones • Es una hipérbola • Dom (f) = R - {0} • Rec(f) = R - {0} • Dom (f) = [0, +) • Rec(f) = [0, +) Final

  16. Gráficas de algunas funciones irracionales • Dom (f) = R • Rec(f) = R Final

  17. Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

  18. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

  19. Y x si x >0 - x si x  0 X Función valor absoluto • Dom (f) = R • Rec (f) = [0, +) Final

  20. Y -2 -1 1 2 3 X Función parte entera y = [ x ] • Dom (f) = R • Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....} Final

  21. Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real. • Dominio: R. Recorrido: (0, ) • Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). f(x) = ex f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x 0 < a < 1 a > 1

  22. Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1. • Dominio: (0, ). Recorrido: R • Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). • Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x. f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x 0 < a < 1 a > 1

  23. Función logarítmica con la base mayor que 1

  24. Función logarítmica con la base comprendida entre 0 y 1

  25. período = T período = T 3 2 1 0 x x + T 10,35 10,15 10,30 11,45 11,15 10,45 11 Función periódica Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

  26. La función mantisa hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. f(x) = x – [x] Función mantisa La función mantisa, f(x) = x – [x], es periódica de periodo 1.

  27. ALGUNAS GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Propiedades de las funciones trigonométricas • Las funciones seno, coseno y tangente son periódicas, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π . • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). • Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. • Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(-x)=-tan x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.

  28. y = 1 y = –1 Función seno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p • Propiedades de la función seno: • Su dominio que es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2π. • Es una función impar: sen (– x ) = sen x.

  29. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

  30. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SENO

  31. y = 1 y = –1 Función coseno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = cos x y = sen x • Propiedades de la función coseno: • Su dominio es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2π. • Es una función par: cos (– x ) = cos x.

  32. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

  33. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SENO

  34. Función tangente -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p • Propiedades de la función tangente: • Su dominio es R – {p/2 + kp: k Z}. • Su recorrido es toda la recta real. • Es periódica de período p. • Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales. • Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.

  35. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

  36. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN TANGENTE

  37. FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio es toda x ≠ ±nπ. Su imagen es el conjunto de todos los números reales. No corta al eje OY. Corta al eje OX en x = π/2±nπ. Las asíntotas son x = ±nπ. Su periodo es π.

  38. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Dominio: R − {x = kπ, k Є Z}Imagen: RParidad: ctg x = - ctg(-x) [función impar] Periodo: π Corta al eje OX en x = (k+1)π/2, k Є Z No corta al eje OY Las asíntotas son x = kπ/2, k Є Z

  39. FUNCIÓN SECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(2k+1)π/2,kЄZ } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) Corta al eje OY en el punto (0,1). No corta al eje OX Puntos máximos: ((2k+1)π, -1) k ЄZ Puntos mínimos: ((2kπ,, 1). k ЄZ Las asíntotas son x =( 2k+1)π/2, k Є Z Su periodo es 2π.

  40. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE

  41. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(kπ, k ЄZ } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) No corta ni al eje OY ni al OX Puntos máximos: ((2k+1)π/2, -1) k ЄZ Puntos mínimos: ((2k-1)π/2,, 1). k ЄZ Las asíntotas son x = kπ, kЄZ Su periodo es 2π.

  42. p/2 1 –1 –p/2 p/2 1 – 1 – p/2 Función arco seno La función sen x es inyectiva en [–p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = arcsen x y = sen x 0 y = x • Propiedades de la función arco seno: • Su dominio es [–1, 1]. • Su recorrido es el intervalo [–p/2,p/2].

  43. p/2 p/2 p/2 p/2 La función tan x es inyectiva en [p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. Función arco tangente y = tan x 0 y = arctan x y = x • Propiedades de la función arco tangente • Su dominio: R. • Su recorrido es el intervalo [p/2,p/2].

  44. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas básicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una gráfica que se represente por medio de una fórmula o ecuación.

  45. Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Gráfica de y = f(x)+2 Gráfica de y = f(x) Final

  46. Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Gráfica de y = f(x+2) Gráfica de y = f(x) Final

  47. Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente Se dilata la gráfica verticalmente al doble Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Final

  48. Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OX Gráfica de y = - f(x) Gráfica de y = f(x) Final

  49. Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Gráfica de y = f(2x) Gráfica de y = f(x) Final

  50. Gráficas de f(x) y de f(-x) Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OY Gráfica de y = f(-x) Gráfica de y = f(x) Final

More Related