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{. x=-1 x=1 x=2. f(0)=2. Puntos de corte con los ejes. Consideramos la función f(x) =x 3 -2x 2 -x+2. Con el eje OX. Resolvemos la ecuación x 3 -2x 2 -x+2=0. Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0). Con el eje OY. Calculamos f(0). Punto de corte (0,2). d. d. x. -x. x=0.
E N D
{ x=-1 x=1 x=2 f(0)=2 Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x3-2x2-x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuación x3-2x2-x+2=0 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0) Punto de corte (0,2)
d d x -x x=0 Simetrías axiales: Funciones pares Consideramos la función f(x) = x4-2x2 La función es simétrica respecto del eje Y. Por tanto, f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par.
d d x -x Simetrías centrales: Funciones impares Consideramos la función f(x) = x3-x La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Por tanto, f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar.
Dominio Recorrido Recorrido Dominio Funciones polinómicas Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n. Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... f(x) = x2 f(x) = x4 f(x) = x5 f(x) = x3
Recorrido: R Recorrido: R Dominio: R Dominio: R Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. • (0, b): ordenada • en el origen • (0, b): ordenada • en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente.
Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a 0, b, c R • Funciones y = ax2 para diferentes valores de a: • Son parábolas • Dominio: R • Si a > 0: Recorrido = [0, ) • Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5
Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola • V a > 0 a < 0 • V
Gráficas de funciones: monotonía y curvatura Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (I) • a > 0 • convexa • ramas hacia arriba • mínimo en el vértice • a < 0 • cóncava • ramas hacia abajo • máximo en el vértice Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a)) Eje de simetría: x = –b/(2a)
Gráficas de funciones: monotonía y curvatura b2 – 4ac < 0 no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II) b2 – 4ac > 0 corta al eje OX en dos puntos b2 – 4ac = 0 corta al eje OX en un punto
Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6
Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo a > 0 • I • Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (I) • I Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo a < 0
M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m
M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m
– 1 1 Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. + + x - 1 – + x + 1 – – • Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0. + f(x) + – Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.
Gráficas de algunas funciones • Es una hipérbola • Dom (f) = R - {0} • Rec(f) = R - {0} • Dom (f) = [0, +) • Rec(f) = [0, +) Final
Gráficas de algunas funciones irracionales • Dom (f) = R • Rec(f) = R Final
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Y x si x >0 - x si x 0 X Función valor absoluto • Dom (f) = R • Rec (f) = [0, +) Final
Y -2 -1 1 2 3 X Función parte entera y = [ x ] • Dom (f) = R • Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....} Final
Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real. • Dominio: R. Recorrido: (0, ) • Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). f(x) = ex f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x 0 < a < 1 a > 1
Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1. • Dominio: (0, ). Recorrido: R • Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). • Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x. f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x 0 < a < 1 a > 1
período = T período = T 3 2 1 0 x x + T 10,35 10,15 10,30 11,45 11,15 10,45 11 Función periódica Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T 0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.
La función mantisa hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. f(x) = x – [x] Función mantisa La función mantisa, f(x) = x – [x], es periódica de periodo 1.
ALGUNAS GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Propiedades de las funciones trigonométricas • Las funciones seno, coseno y tangente son periódicas, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π . • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). • Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. • Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(-x)=-tan x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.
y = 1 y = –1 Función seno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p • Propiedades de la función seno: • Su dominio que es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2π. • Es una función impar: sen (– x ) = sen x.
y = 1 y = –1 Función coseno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = cos x y = sen x • Propiedades de la función coseno: • Su dominio es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2π. • Es una función par: cos (– x ) = cos x.
Función tangente -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p • Propiedades de la función tangente: • Su dominio es R – {p/2 + kp: k Z}. • Su recorrido es toda la recta real. • Es periódica de período p. • Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales. • Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.
FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio es toda x ≠ ±nπ. Su imagen es el conjunto de todos los números reales. No corta al eje OY. Corta al eje OX en x = π/2±nπ. Las asíntotas son x = ±nπ. Su periodo es π.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Dominio: R − {x = kπ, k Є Z}Imagen: RParidad: ctg x = - ctg(-x) [función impar] Periodo: π Corta al eje OX en x = (k+1)π/2, k Є Z No corta al eje OY Las asíntotas son x = kπ/2, k Є Z
FUNCIÓN SECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(2k+1)π/2,kЄZ } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) Corta al eje OY en el punto (0,1). No corta al eje OX Puntos máximos: ((2k+1)π, -1) k ЄZ Puntos mínimos: ((2kπ,, 1). k ЄZ Las asíntotas son x =( 2k+1)π/2, k Є Z Su periodo es 2π.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(kπ, k ЄZ } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) No corta ni al eje OY ni al OX Puntos máximos: ((2k+1)π/2, -1) k ЄZ Puntos mínimos: ((2k-1)π/2,, 1). k ЄZ Las asíntotas son x = kπ, kЄZ Su periodo es 2π.
p/2 1 –1 –p/2 p/2 1 – 1 – p/2 Función arco seno La función sen x es inyectiva en [–p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = arcsen x y = sen x 0 y = x • Propiedades de la función arco seno: • Su dominio es [–1, 1]. • Su recorrido es el intervalo [–p/2,p/2].
p/2 p/2 p/2 p/2 La función tan x es inyectiva en [p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. Función arco tangente y = tan x 0 y = arctan x y = x • Propiedades de la función arco tangente • Su dominio: R. • Su recorrido es el intervalo [p/2,p/2].
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas básicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una gráfica que se represente por medio de una fórmula o ecuación.
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Gráfica de y = f(x)+2 Gráfica de y = f(x) Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Gráfica de y = f(x+2) Gráfica de y = f(x) Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente Se dilata la gráfica verticalmente al doble Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Final
Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OX Gráfica de y = - f(x) Gráfica de y = f(x) Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Gráfica de y = f(2x) Gráfica de y = f(x) Final
Gráficas de f(x) y de f(-x) Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OY Gráfica de y = f(-x) Gráfica de y = f(x) Final