Základní kombinatorické principy

1. Základní kombinatorické principy • 1.1Princip bijekce je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin: • jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá množina je pro řešení problému přehledná • Známe-li tedy řešení na množině přehledné, známe i řešení na druhé množině. • Kombinatoricky: jestliže na první množině existuje právě m - řešení, pak na vzájemně jednoznačně přiřazené množině existuje také m - řešení. • Každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B. • Obě množiny musí být stejně početné, tj. #A = #B. • Symbol #A budeme chápat jako počet prvků množiny A. V praxi to znamená, že si popis množiny můžeme zjednodušit nějakou analogií - představou na papíře

2. Základní kombinatorické principy • 1.2 Kombinatorické pravidlo o součinu Máme vybrat k prvků: • první prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A1 • druhý prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A2 • třetí prvek ... s počtem prvků #A3 • ... • poslední, k-tý prvek, vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #Ak • pokud výběr každého z prvku je nezávislý na výběru ostatních prvků, existuje celkem (#A1 · #A2 · . . . · #Ak) různých možností, jak vybrat tyto prvky

3. Příklad na Kombinatorické pravidlo o součinu V restauraci mají na jídelním lístku uvedeno 3 polévky, 6 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolika způsoby lze sestavit menu ze všech třech chodů? • Výběr polévky je nezávislý na výběru hlavního jídla i moučníku, totéž platí o dalších chodech, proto použijeme kombinatorické pravidlo o násobení: • N = 3*6*2 = 36 možností, jak sestavit menu

4. A B Lichá čísla 1,3,5 prázdný průnik ø Sudá čísla 2,4,6 Základní kombinatorické principy • 1.3Kombinatorické pravidlo o součtu Předpokládejme, že máme k disjunktních množin • potom sjednocení těchto množin má právě #A1 + #A2 + . . . + #Ak prvků. Disjunktní množiny mají prázdný průnik

5. Příklad 1 na Kombinatorické pravidlo o součtu • V restauraci mají na jídelním lístku uvedeny tyto počty hlavních jídel: bezmasá jídla (3), ryby (2), drůbež (2), vepřové maso (5), hovězí maso (4). • Kolik dní můžete chodit do této restaurace, abyste jedli každý den jiné jídlo? • Řešení: Protože se jedná o disjunktní množiny, použijeme pravidlo o součtu: N = 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 16 dní

6. A B průnik 2 Sudá čísla < 10 2, 4, 6, 8 prvočísla < 10 1, 2, 3, 5, 7 Základní kombinatorické principy • 1.4Součet prvků obecných množin • Uvažujme množinu A a množinu B, které mají neprázdný průnik. • Pokud sečteme prvky každé množiny, pak společné prvky jsme sečetli dvakrát, proto je jednou musíme odečíst: • # (A ∪ B) = # A + # B - # (A ∩ B) • {1, 2, 3, 5, 7} + {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • 2 musíme odečíst

7. A N 5 3 5 Příklad na Součet prvků obecných množin • Ve třídě je 16 studentů. • Z celkového počtu mluví aktivně 10 anglicky a 8 německy. • 5 studentů zvládá aktivně oba jazyky. • Určete, kolik studentů mluví jen anglicky nebo jen německy • Kolik studentů nemluví aktivně žádným z těchto dvou jazyků • Kolik studentů mluví aktivně nějakým jazykem?

8. Kombinatorika - příklad • Když se bude státní vlajka skládat ze tří svislých pruhů v barvách červená modrá a bílá, kolika způsoby lze pruhy uspořádat? • Řešení: • červená může být na 1., 2. nebo 3. místě • modrá po umístění červené může být na 2-3, 1-3 nebo 1-2 místě • bílá barva bude na místě zbývajícím • Počet možností vypočteme jako 3*2*1 = 6 • Jinými slovy - aby se kombinace neopakovala, každá barva může být na jednom ze tří míst jen dvakrát: 2+2+2 = 6 č m b č b m m č b b č m b m č m b č • Kdyby se jednalo o 4 různé barvy (žlutá, červená,modrá,bílá): • každá barva může být na 1 ze 4 míst 6x, tj. 6+6+6+6 = 24 možností • Vypočteme také jako počet umístění žluté (4) * počet umístění červené (3) * počet umístění modré (2) * 1, protože bílé barvě zbude poslední místo tj. 4*3*2*1 = 24

9. VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE • 2.1Permutace Máme n - různých přihrádek, n -různých předmětů (počet různých předmětů je stejný jako počet různých přihrádek) • Každý předmět můžeme umístit právě do jedné přihrádky a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr) • Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek,2.předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek … • Poslední n-tý předmět pak můžeme umístit jen poslední n-té přihrádky S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů umístění různých předmětů do různých přihrádek (záleží na pořadí) jako: P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

10. VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE • 2.2 Variace bez opakování Máme n - různých přihrádek, k -různých předmětů • každý předmět chceme umístit právě do jedné přihrádky a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr) • Předpokládejme, že n > k (jinak stačí zaměnit pojem přihrádka a předmět) • Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek,2.předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek … • Poslední k-tý předmět pak můžeme umístit jen do n-k+1 přihrádek, jež zbyly prázdné. S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů, jimiž lze danou úlohu vyřešit jako: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)

11. VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE • 2.1Permutace P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . * (n-n+1) To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování. • 2.2 Variace bez opakování Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Zapíšeme pomocí faktoriálů: Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.

12. Příklad na Permutace • Kolik různých slov vznikne přesmyčkou písmen ve slově POPOKATEPETL*? • Řešení: Celkem písmen: 12 Pokud by byla všechna písmena rozdílná, počet různých slov bychom vypočetli jako násobek 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 Protože se některá písmena opakují, počet možností je menší • tolikrát, kolik různých možností bychom z nich udělali, kdyby byla rozdílná: pro dvě stejná písmena: počet možností se zmenší 2! krát pro tři stejná písmena: počet možností se zmenší 3! krát Četnost písmen ve slově: P 3x, O 2x, K 1x, A 1x, T 2x, E 2x, L 1x Počet možných slov: = 9 979 200 * Z aztéckého popoka - dýmati, tepetl - hora. Činná sopka ve střední části Mexika. Poslední erupce v roce 1932.

13. Příklad na Variace bez opakování Parkoviště má 10 míst pro osobní vozy. Zaměstnanců firmy je 6. • Kolika způsoby může být zaparkováno všech devět aut zaměstnanců? 1. zaměstananec si může auto zaparkovat na libovolné místo z 10, 2. zaměstnanec už vybírá jen z 9 míst, 3. z osmi, 4. ze sedmi, 5. z šesti a šestému zbývá pět míst, kam může zaparkovat svůj vůz. Obecný zápis : Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Výpočet: 10*9*8*7*6*5 = 151 200 Existuje 151 200 způsobů parkování 6 vozů na 10 parkovacích místech pomocí faktoriálů:

14. Příklad • Ve školce připravili pro děti 16 jogurtů, ale většina dětí onemocněla a zbývajících 5 dětí si mohlo vybrat z 5 jahodových, 6 meruňkových, 5 borůvkových jogurtů (3 druhy). • Určete kolika způsoby může dostat každé z dětí 1 jogurt ke svačině. Řešení: • Každé dítě může dostat na výběr ze 3 druhů jogurtů. • n = 3 druhů … analogie s Variacemi bez opakování: přihrádka - některé druhy zbydou • k = 5 dětí … analogicky předmět - všechny děti dostanou jogurt Počet možností vypočteme násobením počtu možných jogurtů pro každé z 5 dětí: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 vyjádřeno pomocí mocniny: 3 5 = 243

15. VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE • 2.3 Variace s opakováním Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů Chceme přiřadit každému objektu některý druh prvku. Můžeme přiřadit stejný druh prvku, protože jich máme dostatek (prvky se mohou opakovat). • Pokud přiřazujeme objektům různé druhy prvků, záleží na pořadí. 1. objektu můžeme přiřadit jeden z n druhů prvků, 2. objektu opět jeden z n druhů prvků, 3. objektu také jeden z n druhů prvků …. Poslednímu k-tému objektu můžeme vybrat prvek stále z n druhů. • S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet řešení: Vzorec pro počet variací k-té třídy z n-druhů prvků s opakováním.

16. Příklad na Variace s opakováním • Typickou úlohou je výpočet možností, které skýtá morseova abeceda • Má dva druhy znaků - tečka, čárka • Písmena tvoří z 1, 2, 3 nebo 4 objektů (znaků), číslice ze 4 nebo 5 objektů (znaků) pro jednoznaková písmena - 2 možnosti: •, ̶ pro dvouznaková písmena - 4 možnosti: • ̶ , ̶ •, ••, ̶ ̶ pro tříznaková písmena - 8 možností: ̶ ̶ ̶ , ̶ ̶ •, ̶ • ̶, • ̶ ̶, •••, •• ̶ , • ̶ •, ̶ •• pro čtyřznaková písmena (čísla) - 16 možností: analogicky pro pětiznaková čísla - 32 možností: analogicky Počet možností vypočteme podle vzorce pro Variace s opakováním, tj. kde n = 2 (dva různé znaky) a k = 1, 2, 3, 4, 5 objektů Počet možných variací v morseově abecedě je tedy: 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

17. Příklad na Variace s opakováním • Ve škole píší děti test. Skládá se z 5 otázek a pro každou otázku jsou uvedeny 4 odpovědi, ale jen jedna je správná. • existují tedy 4druhy odpovědí Určete kolika způsoby mohou děti náhodně vyplnit test bez ohledu na to, zda odpovídaly správně. Určete pravděpodobnost, že dítě zodpovědělo všechny otázky správně. Řešení: • n = 4 druhů odpovědí (A, B, C, D) • k = 5 otázek (objektů) Počet variací vypočteme násobením počtu možností pro každou z 5 otázek: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 vyjádřeno pomocí variací s opakováním: V*5(4) = 4 5 = 1024 • Jen jednavarianta je úplně správná. Pravděpodobnost, že nastane je: 1/1024 = 0,00098

18. VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE • 2.4 Kombinace Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů a platí, že n > k • chceme přiřadit každému předmětu právě jednu přihrádku, ale nezáleží na tom, kterou přihrádku předmět obsadí • Vyjdeme ze vzorce 2.2 pro variace bez opakování ale počet kombinací bude tolikrát menší, kolik variant navíc dovolovalo k -různých předmětů, tj. k! Jedná se o vzorec pro počet kombinací k-té třídy z n - prvků Kombinace (angl. COMBINATION) představují neuspořádaný výběr

19. Příklad na KOMBINACE • Šatnářka má volných posledních 12 věšáků, ale čísla z nich má pomíchané na hromádce. Ve frontě s kabáty stojí 5 lidí. Vezme vždy náhodně číslo – nezáleží jí na tom, které. • Kolika kombinacemi může umístit na volné věšáky všech pět kabátů? Záleží jen na tom, které věšáky budou obsazené a které prázdné, nezáleží na tom, kde bude viset který kabát. • Řešení: • Pro výpočet použijeme vzorec • Po dosazení:

20. KOMBINAČNÍ ČÍSLO • Základní vzorec: • Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:

21. PRAVDĚPODOBNOST, KOMBINACE • Příklad 12 • Mezi 8 bezvadných výrobků se přimíchaly 3 zmetky. Náhodně byly vybrány 2 výrobky. • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? • Jaká je pravděpodobnost, že je právě jeden vadný? • Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný?

22. Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky • Vypočteme počet možností, jak vybrat 2 výrobky z 11 celkem - jedná se o kombinace 2 prvků z 11 C2(11) = 55 • počet možností, že vybereme 2 bezvadné výrobky C2(8) = 28 • počet možností pro 1 vadný a 1 bezvadný C1(8)*C1(3) = 24 • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? p = 28/55 = 0,509 • Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný? p = 24/55 = 0,436 • Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný? p = 1 - 0,51 = 0,491

23. Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky - rozepsání vzorečků • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? jedná se o podíl počtu možností výběru 2 bezvadných výrobků a všech možností • Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný?

24. Řešení příkladu 12 pomocí pravděpodobnosti • Vypočteme pravděpodobnost toho, že oba budou bezvadné, tj. 1. výrobek vybereme s p-ností 8/11 (8 bezvadných z celkem 11 výrobků) a 2. výrobek s p-ností 7/10 (zbylo 7 bezvadných a celkem 10 výrobků): • Pravděpodobnost, že bude jeden vadný, vypočteme analogicky: První vybraný výrobek vybíráme z 11 výrobků - je bezvadný, druhý bude vadný vybraný z 10 výrobků. Nebo první bude vadný vybraný z 11 výrobků a druhý bezvadný vybraný z 10 výrobků. Obě pravděpodobnosti musíme sečíst. • Pravděpodobnost, že bude alespoň jeden vadný, vypočteme

25. Příklad: Pravděpodobnost, kombinace a variace s opakováním • Ve skříni je naházeno 5 párů střevíců. Tatínek jde potmě, aby nevzbudil děti a potřebuje si vybrat aspoň jeden pár bot. Namátkou tedy vybere 4 střevíce a doufá, že alespoň 2 půjdou do páru. • Jaká je pravděpodobnost, že se mu to podaří? • Jaká je pravděpodobnost, že neuspěje? • K řešení použijte selský rozum. reseny_priklad_strevice.xls