Der optimale Verbrauchplan

1. Der optimale Verbrauchplan • Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft, was er kann was objektiv verfügbar ist). • Wenn der Haushalt unter dieser Beschrän-kung seinen Nutzen maximieren will, muß er die objektiven mit den subjektiven Alternativkosten vergleichen.

2. E U3 U2 U1 Optimierungsansatz (graphisch) y 0 x

3. Optimierungsansatz (analytisch) • Der Haushalt kann die IK mit dem Niveau U3 nicht erreichen. • Bestimmte x-y-Kombinationen auf dem Nutzenniveau U1 kann er realisieren, aber diese entsprechen nicht dem maximal erreichbaren Nutzenniveau. • Optimaler Punkt ist E, wo gilt MRSxy = MUx/MUy = px/py.

4. Optimierungsansatz (Bedingungen) • Äquivalent dazu läßt sich auch schreiben: oder allgemein für mehrere Güter

5. Optimierungsansatz (mathematisch) • Der mathematische Ansatz hierzu lautet: • Maximiere U(x,y) u. d. N. (s.t.) Hierzu gibt es eine einfache Lösungstechnik: Die Optimierung einer Lagrange-Funktion.

6. Die Lagrange-Funktion • Sie kombiniert die zu optimierende (kardinale Nutzen-)Funktion und die Nebenbedingung der Budgetgleichung wie folgt: Die Funktion hat drei unabhängige Variable, x, y und l. Dabei gibtlden Nutzenwert einer zusätzlichen Einkommenseinheit an.

7. Das Maximum der L-Funktion • Wir differenzieren L und erhalten das folgende Gleichungssystem:

8. Die Marginalbedingung des Konsumentengleichgewichts • Aus den beiden ersten Gleichungen erhalten wir (“Zweites Gossensches Gesetz”): • MRSxy = • oder |dy/dx| = px/py

9. Lagrange Funktion: Beispiel • Wir unterstellen die konkrete kardinale Nutzenfunktion U = (x + 2) (y + 1) = U = xy + 2y + x + 2 • unter der Nebenbedingung (subject to)

10. Die Ermittlung des Optimums Die partiellen Ableitungen von L = xy + 2y + x + 2 + l(M - pxx - pyy) sind: = y + 0 + 1 + 0 + l0 - lpx - l0 = 0 = x + 2 + 0 + l0 + l0 - lpy= 0 = M - pxx - pyy = 0

11. Auflösung des Gleichungssystems (1) • Zunächst lassen sich die drei Gleichungen wie folgt vereinfachen: y - lpx = -1 x - lpy = -2 -pxx - pyy = -M

12. Auflösung des Gleichungssystems (2) • Dann schreiben wir das System als Matrixgleichung wie folgt: diese Gleichung Ab = c löst man nach b über die Inverse von A und erhält b = A-1c

13. Inversion der Matrix A • Die Determinante D erhält man nach der Sarrusschen Regel wie folgt:D = 0 + pypx + pypx - 0 - 0 - 0 = 2pypx . • Die Adjunkte Aij erhält man, indem man die Zeilen i und Spalten j von A streicht und die jeweilige Determinante berechnet. Dabei ist das Vorzeichen von Aij = (-1)i+j.

14. Die Adjunkte: Beispiele • A11 = A11 = - py2 • A23 = A23 = - px

15. Die Inverse von A Umformung ergibt...

16. Die Inverse von A (Die Lösung für l wird nicht verfolgt!)

17. Multiplikation mit dem Vektor c • Wir erhalten als Lösungen für x* und y*

18. Allgemeine Nachfragekurven • Wir können jetzt die optimalen Punkte der Nachfrage von x und y in Abhängigkeit von den bisher als konstant angenommenen Größen M, px und py darstellen. Wir erhalten dann die allgemeine Nachfragekurven x = x (M, px, py) bzw. y = y (M, px, py) .

19. Eigenschaften der Nachfragekurven • Die Nachfragekurven sind eindeutig und für gegebene Größen M, px und py einwertig. Dies folgt aus der Konvexitätsannahme für die Indifferenzkurven. • Wenn sich alle Preise px und py sowie das Einkommen M um den gleichen Faktor k ändern, ändert sich die nachgefragte Menge nicht. Das Realeinkommen bleibt konstant.

20. Exkurs: Homogene Funktionen • Eine Funktion y = y(x1, x2, ..., xn) ist homogen vom Grade r, wenn gilt: kr y = y(kx1, kx2, ..., kxn) . • Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist, nennt man linear-homogen. • Die Nachfragefunktion ist homogen vom Grade 0. (Es herrscht keine “Geldillusion”.)

21. Spezielle Nachfragefunktionen(Ernst Engel 1821-96) • Engel-KurveHier bleiben alle Preise konstant und wir untersuchen die Veränderung der nachgefragten Mengen als Folge von Einkommensvariationen , also z. B. x = x (M; px, py)

22. Spezielle Nachfragefunktionen • Wir untersuchen diese Abhängigkeit zunächst im Güterraum (Koordinaten x, y). In diesem Fall spricht man von der Einkommens-Konsum-Kurve. • Hierbei werden die gleichgewichtigen Gütermengenkombinationen dargestellt, die sich bei veränderndem Einkommen ergeben.

23. C B U3 A U2 U1 xA xB xC Einkommens-Konsum-Kurve y 0

24. Einkommensabhängige Nachfrage • Die Punkte A, B und C zeigen den Verlauf der nachgefragten Menge von x und y an, wenn sich das Einkommen M erhöht. • Die Kurve ist positiv steigend, wenn beide Güter “normal” oder “superior” sind. • Ansonsten spricht man von “inferioren” Gütern. Hier nimmt die Nachfrage mit zunehmendem M ab.

25. U2 U1 xB xA Darstellung der Nachfrage nach einem inferioren Gut Hier ist das Gut x “inferior”. y 0 x

26. U3 U2 U1 Einkommensexpansion bei linear-homogenen Nutzenfunktionen Die Einkommens-Konsum-Kurve ist hier eine Gerade. y x

27. Die Darstellung der Engel-Kurve x M