Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung

1. Wenn dieses Symbol erscheint, musst du die Taste drücken, damit es weitergeht  Potenzen und WurzelnZusammenfassung Jahrgang 8 G- Kurs 

2. Du bist jetzt hier: 1 Potenzen2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln 

3. Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird: 4³ = 4 · 4 · 4 125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12 68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 

4. Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer A = a · a = a² A a a Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2. 42 = 4 · 4 122 = 12 · 12 62 = 6 · 6  

5. Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben: Beispiel: 43 · 4 = 4· 4 · 4 · 4 = 44 Das geht doch auch direkt!? 44 · 4 = 45 Einmal „·4“ mehr, also … Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt: Das Vierfache von 47 = 48 Das Vierfache, also „·4“! 4·4·4·4·4·4·4 ·4 also 8 mal   

6. Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung. Beispiel: Zuerst KLammer (4 + 3)²+ 2 · 5 = Dann Potenz 72 + 2 · 5 = Dann „·“ und „:“ 14 + 2 · 5 = 14 + 10 = 24 Dann „+“ und „-“ 

7. Es gibt noch andere Auffälligkeiten! = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 34·35 = 39 Aha, ich muss also nur 4 + 5 = 9 rechnen 34·35 = 34+5=39 Das ist ja viel weniger Arbeit! Das ist ‚ne Rechenregel! 74·78 =74+8= 712 Mit Buchstaben: xm·xn = xm+n   

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9. Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10. 102 = 10 · 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1000 107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000 Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht! 

10. 1 = 100Eins 10 = 101Zehn 100 = 102 Hundert 1000 = 103 Tausend 10000 = 104Zehn- Tausend 100000 = 105 Hundert-Tausend 1000000 = 106Millionen 10000000 = 107Zehn-Millionen 100000000 = 108 Hundert-Millionen 1000000000 = 109Milliarden 10000000000 = 1010Zehn-Milliarden 100000000000 = 1011 Hundert-Milliarden 1000000000000 = 1012Billionen 10000000000000 = 1013Zehn-Billionen 100000000000000 = 1014 Hundert-Billionen 1000000000000000 = 1015Billiarden 10000000000000000 = 1016 Zehn- Billiarden 100000000000000000 = 1017Hundert-Billiarden Übrigens 

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12. = 109 10 00000000 = 108 100000000 = 107 10000000 = 106 1000000 = 105 100000 = 104 10000 = 103 1000 100 = 102 10 = 101 1 = 100 10-1 = 0,1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 10-4 = 0,0001 10-5 = 0,00001 Wir kennen: Neu! Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren! Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!  

13. 1 10 1 10 · 10 1 10 · 10 · 10 = 0,1 10-1 = = 0,01 10-2 = = 0,001 10-3 = Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“ Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben: Und weiter gilt .. und so weiter! Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.  

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15. Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle ! 268900000000000 = 2689 · 1011 = 268,9 · 1012 11 Nullen, (11 Kommastellen)! = 26,89 · 1013 = 2,689 · 1014  

16. Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!! 0,0002689 = 2,689 · 10-4 = 26,89 · 10-5 4 Kommastellen = 268, 9 · 10-6 = 2689 · 10-7  

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18. 2 ? = 16 Quadratwurzel Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht: Beispiel: 5² = 5 · 5 = 25 Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt. ? · ? = 16 Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise: Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.   

19. 25 = 5 = 16 = 8 = 9 = 2 2 2 2 2 2,2360679774997896964091736687313.. 2,8284271247461900976033774484194... Quadratwurzel Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse Beispiel: 4 denn 4 · 4 = 16 3 denn 3 · 3 = 9 5 denn ..... Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:   

20. 9 = 9 ist 9 1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, = 1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, = Es ist also nicht nur sondern 3 3 usw. Damit liegt die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... und die Zahl 7 (= 2,64575131106459...) zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3. Quadratwurzel Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl. Man könnte also schreiben: oder:    

21. 16 = 4 36 = 6 2 2 1600 = 40 3600 = 60 2 2 160 = 12,64911064 360 = 18,97366596 2 2 16000 = 126,4911064 36000 = 189,7366596 2 2 Quadratwurzel Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt: Beispiel: aber: aber: Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!   