PERMUTACE a VARIACE

1. PERMUTACE a VARIACE • 2.1Permutace P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování. • 2.2 Variace bez opakování Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Zapíšeme pomocí faktoriálů: Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.

2. VARIACE s opakováním, KOMBINACE • 2.3 Variace s opakováním Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů Vzorec pro počet variací k-té třídy z n - druhů prvků s opakováním. • 2.4 Kombinace Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů a platí, že n > k

3. KOMBINAČNÍ ČÍSLO • Základní vzorec: • Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:

4. VARIACE a KOMBINACE • Příklad 1 Majitel hotelu má 6 volných pokojů v různých cenách a 4 hosty. • Určete, kolika způsoby může hosty ubytovat. (360) • Příklad 2 V ubytovně zbývají 4 volná lůžka a na ubytování čeká ještě šest hostů. • Určete, kolika způsoby lze vybrat čtveřici hostů, která obsadí poslední lůžka. (15)

5. VARIACE S OPAKOVÁNÍM • Příklad 3 • Kolik různých značek by mohlo teoreticky existovat v Morseově abecedě, když se sestavují tečky a čárky do skupin od jedné do pěti? (62) • Příklad 4 • Rodina s dvěma dětmi a dědečkem jde do restaurace na jídlo. Mohou si vybrat ze tří druhů polévky a osmi druhů hlavního jídla. Maminka bude obědvat jen polévku, děti jen hlavní jídlo a tatínek s dědečkem si dají oboje. • Kolika možnostmi si mohou objednat? (110 592)

6. VARIACE a PERMUTACE • Příklad 5 Rozvrh hodin má 5 dvouhodin: 7:30 - 9:00, 9:15 - 10:45, 11:00 - 12:30, 13:00 - 14:30, 14:45 - 16:00 Studenti mají mít v pondělí tyto dvouhodinové předměty: A-angličtina, D-metody dozoru, T-tělocvik, M-mikrobiologie • 4a. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů (120) • 4b. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě dvouhodinovky mají následovat po sobě. (24) • 4c. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě dvouhodinovky nemusí následovat po sobě. (60)

7. MNOŽINOVÁ MATEMATIKA • Příklad 6 V ročníku oboru mikrobiologie je 54 studentů. Z celkového počtu mluví 33 studentů anglicky, 31 studentů německy a 13 studentů francouzsky. Všemi třemi jazyky současně nemluví žádný ze studentů, dvěmi jazyky současně mluví 24 studentů. Tři studenti hovoří současně anglicky a francouzky, další tři současně německy a francouzsky. • Určete, kolik studentů mluví současně anglicky a německy a vyjádřete jako podíl z celkového počtu. • Kolik studentů mluví jen jedním cizím jazykem • Kolik studentů mluví alespoň dvěmi jazyky? • Znázorněte pomocí množin

8. PERMUTACE a VÝROKOVÁ LOGIKA • Příklad 7 Kolika způsoby si mohou stoupnout do fronty trpaslíci před Sněhurku tak, že • 6a. každý může stát kdekoliv (5040) • 6b. Šmudla je poslední jako vždy (720) • 6c. Šmudla kupodivu poslední není (4320)

9. PRAVDĚPODOBNOST, VARIACE s opakováním, PERMUTACE • Příklad 8 Házíme 2 hracími kostkami. • Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude právě 5? (1/9) • Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude větší než 3? (11/12) • Jaká je pravděpodobnost, že na obou kostkách bude padne stejné číslo? (1/6) • Příklad 9 Házíme 5 hracími kostkami. • Jaká je pravděpodobnost, že padnou vzájemně různá čísla? (0,093) • Jaká je pravděpodobnost, že padnou pouze lichá čísla? (0,031)

10. KOMBINACE • Příklad 10 Za lokomotivou jsou zapojeny 4 různé vagóny - cisterna, na uhlí, na sypký materiál a plošina. K přepravě je připraveno: brikety, nafta, LTO, palety tašek, koks, hnědé uhlí, černé uhlí, písek, štěrk, kanalizační roury a dodávka nových automobilů. • Kolika způsoby může naložit vagóny, aby byly všechny vagóny plné? (48) • Kolika způsoby naloží vagóny, pokud mu od každého typu vagónu přistaví dva (2 cisterny, 2 vagóny na uhlí, 2 na sypký materiál a 2 plošiny) ? (18)

11. PRAVDĚPODOBNOST - opakování • Příklad 11 Máme náhodné jevy A a B. Víme, že pravděpodobnost: že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je ¾ že oba jevy nastanou současně, je ¼ že nenastane jev A, je • Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. • Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a nenastane jev B.