Problem transporta

1. Problem transporta Specijalni problemi linearnog programiranja

2. Jednostavan primjer U dva pogona jedne tvornice proizvodi se jedan proizvod. Prvi pogon mjesečno proizvede 10 pošiljaka tog proizvoda a drugi 20. Proizvod se potom šalje u tri centra distribucije. Prvi potražuje 8 pošiljaka mjesečno, drugi 14, treći 8. Troškovi transporta jedne pošiljke proizvoda iz svakog pogona u svaki centar distribucije su poznati i dani tablicom.

4. Potrebno je odrediti program transporta pošiljaka iz pogona u centre distribucije tako da su ukupni troškovi transporta najmanji. Primijetimo da je ukupna ponuda ishodišta 10+20=30. Primijetimo da je ukupna potražnja odredišta 8+14+8=30. Možemo s ponudom pogona zadovoljiti potražnju centara distribucije. Štoviše, ponuda će se iscrpiti.

5. Matematički model Varijabla odluke je xij -broj pošiljaka koji se prevozi iz pogona i u centar distribucije j, i=1,2; j=1,2,3. Imamo xij≥ 0, i=1,2; j=1,2,3. Kriterij za donošenje odluke su najmanji ukupni troškovi transporta. Funkcija cilja je T(x)=5x11+2x12+3x13+x21+3x22+4x23

7. Ograničenja za prvi pogon x11+x12+x13 =10 za drugi pogon x21+x22+x23=20 za prvi centar x11 +x21 = 8 za drugi centar x12 +x22 =14 za treći centar x13 +x23=8

8. Matematički model min (5x11+2x12+3x13+x21+3x22+4x23) x11+x12+x13 = 10 x21+x22+x23 = 20 x11 +x21 = 8 x12 +x22 = 14 x13 +x23 = 8 xij≥ 0, i=1,2; j=1,2,3.

9. Imamo problem linearnog programiranja, problem minimuma u kojem je 6 varijabli i 5 ograničenja. Može se riješiti tako da se koristi poznati pristup-WINQSB-LPILP. Probajte!

10. Malo matematike Kandidat za optimalno rješenje je vrh odnosno bazično moguće rješenje. Matrica A koeficijenata sustava linearnih jednadžbi ima 5 redaka i 6 stupaca. Rang te matrice je 4 odnosno Broj ograničenja -1=5-1=4= broj bazičnih varijabli. Preostale varijable su nebazične i imaju vrijednost nula.

11. Metode za određivanje početnog bazičnog mogućeg rješenja Metoda sjeverozapadnog kuta-Northwest Corner Method Vogelova metoda Metoda uzajamno preferiranih tokova-Matrix Minimum Minimum u retku-Row Minimum Minimum u stupcu-Column Minimum I druge

12. Jedno moguće rješenje Lako provjerimo: zbroj varijabli u retku=ponuda. Zbroj varijabli u stupcu=potražnja. Ukupni troškovi=97. Ovo rješenje nije BMR jer barem dvije varijable moraju biti nula.

13. Metoda sjeverozapadnog kuta Prvo polje koje se popunjava je polje (1,1). Na to polje stavlja se min{10,8}=8. Time je popunjen prvi stupac, jer je zadovoljena potražnja prvog odredišta. Žuto polje je prazno, varijabla ima vrijednost 0. Plava polja su polja u kojima treba odrediti varijable

14. Novo polje u sjeverozapadnom kutu plavog dijela koji još nije popunjen Na izabrano plavo polje stavlja se min{2,14}=2, jer je u prvom pogonu ostalo dvije pošiljke a drugi centar traži 14. Time je iscrpljena ponuda prvog pogona, prvi redak je popunjen

15. Novo polje u sjeverozapadnom kutu plavog dijela koji još nije popunjen Na izabrano plavo polje stavlja se min{12,20}=12, jer je u drugom pogonu ostalo 20 pošiljki a drugi centar traži 12, jer je dvije već dobio. Na preostalo plavo polje stavlja se 8

16. Početno rješenje Ukupni troškovi su 112, žuta polja su prazna, tu je vrijednost varijabli 0

17. Malo mišljenja…imamo parametre modela 17

18. Metoda uzajamno preferiranih tokova Prvo se popunjava polje s najmanjim troškom Najmanji trošak je1 -na ljubičastom polju. Time je popunjen prvi stupac i on je izostavljen u preostalom postupku. Na ostatku tablice na polju s najmanjim troškom je slijedeća popuna- tamnoplavo polje i time se popuni redak… 18

19. Vogelova metoda Računaju se kazne za svako ishodište-redak i svako odredište-stupac. Kazna za redak-razlika dva najmanja troška u retku. Kazna za stupac-razlika dva najmanja troška u stupcu. Bira se redak ili stupac s najvećom kaznom i u njemu polje s najmanjim troškom. U odabrano polje stavi se manji broj od ponude ishodišta i potražnje odredišta. Time je popunjen redak ili stupac, njega izostavljamo. Postupak se ponavlja na ostatku tablice

20. Najveća kazna 4najmanji trošak u prvom stupcu 1 i to je prvo polje koje se popunjava

21. Ovim postavljanjem varijable x21=8 popunjen je prvi stupac, njega izostavljamo i postupak se nastavlja

22. Mrežno modeliranje WINQSB-Network Modeling

23. Mrežna reprezentacija Dva čvora iz kojih izlaze lukovi-ishodišta Tri čvora u koje ulaze lukovi-odredišta Lukovi povezuju ishodišta i odredišta

24. Mrežna simpleks metoda Početno rješenje Za testiranje optimalnosti razvijene su dvije metode 1. Skakanje s kamena na kamen – Stepping Stone Method 2. MODI metoda

25. Test praznih polja Računa se c(i,j)-z(i,j) za svako prazno polje Ako je c(i,j)-z(i,j)≥0 za svako prazno polje, STOP rješenje je optimalno Ako je c(i,j)-z(i,j)<0 na barem jednom praznom polju, rješenje nije optimalno. Ako na tom praznom polju (i,j) se aktivira varijabla i s vrijednosti 0 naraste na 1, ukupni trošak se smanji za c(i,j)-z(i,j).

26. Zatvoreni problem transporta Homogeni proizvod smješten u mishodištaili centara ponude treba poslati u n odredištaili centara potražnje. Poznata je ponuda svakog ishodišta, potražnja svakog odredištai jedinični troškovi transportaiz svakog ishodišta u svako odredište. Ako je ukupna ponuda = ukupnoj potražnji problem se zove zatvoreni.

27. Osnovni elementi Pretpostavke Cilj Proizvod se šalje direktno iz ishodišta u odredišta Troškovi transporta proporcionalnisu količini robe koja se prevozi. Cilj je pronaći program transporta takav da se iscrpi ponudasvakog ishodišta, zadovolji potražnja svakog odredišta te da pri tom ukupnitroškovitransportabudu najmanji.

28. Oznake Parametri aiponuda ishodišta i, i=1,…,m bjpotražnja odredišta j, j=1,…,n cijjedinični trošak transporta iz ishodišta i uodredište j, i=1,…,m;j=1,…,n. Varijable xijkoličina robe koja se šalje iz ishodišta i u odredište j, i=1,…,m;j=1,…,n.

29. Matematički model zatvorenog problema transporta

30. Bazične varijable Ograničenja su sustav od m+n linearnih jednadžbi s uvjetima nenegativnosti na mnvarijabli. Jedna linearna jednadžba je suvišna jer je linearna kombinacija preostalih. Preostalih m+n-1 jednadžbi je linearno nezavisno odnosno rang matrice koeficijenata sustava je m+n-1. Broj bazičnih varijabli je m+n-1. Ostale varijable su nula.

31. Dual problema transporta

32. Otvoreni problem transporta Ako su ukupna ponuda i ukupna potražnja različiti, problem se zove otvoreni. Razlikujemo dva slučaja. Ako je ukupna ponuda > ukupne potražnje, ponude ishodišta neće biti iscrpljene. Ako je ukupna ponuda < ukupne potražnje, potražnje odredišta neće biti zadovoljene.

33. Matematički modeli otvorenog problema transporta Ukupna ponuda >ukupne potražnje Ukupna ponuda <ukupne potražnje Drugi model Drugi model Drugi model Drugi model Prvi model Drugi model

34. Otvoreni problem transporta rješava se tako da se svede na zatvoreni Ako je ukupna ponuda > ukupne potražnje, uvodi se fiktivno odredište s potražnjom koja problem zatvara. Time smo dobili još jedan stupac u kojem su jedinični troškovi nula. Ako je ukupna ponuda < ukupne potražnje, uvodi se fiktivno ishodište s ponudom koja problem zatvara. Time smo dobili još jedan redak u kojem su jedinični troškovi nula-

35. Primjer 2. Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

36. Primjer 3. Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

37. Primjer 4. Odredite optimalno rješenje problema transporta danog tablicom

38. Primjer 5. U tri pogona jedne tvornice proizvodi se proizvod koji se prevozi u četiri centra distribucije. Pogoni P1, P2, P3 mjesečno proizvode 12, 17 i 11 pošiljaka tog proizvoda. Svaki centar distribucije treba primiti točno 10 pošiljaka robe. Poznate su udaljenosti između pogona i centara distribucije ( u km) i dane u tablici.

39. Koliki su najmanji troškovi transporta? Vozarina za svaku pošiljku iznosi 100 kuna uvećana za 0.5 kuna po kilometru.