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CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC). CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Transparências de apoio às aulas teóricas Critério de Nyquist. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal.

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CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

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  1. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC) CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Critério de Nyquist Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

  2. Sumário • Introdução ao Critério de Nyquist • Teorema de Cauchy • Desenho do diagrama de Nyquist • Diagrama de Nyquist e estabilidade • Margem de Fase e Margem de Ganho • Diagrama de Nyquist de sistemas com atraso Referências • G. Franklin, J.david Powell, Abbas Naeini, “Feedback Control of Dynamic Systems”, Prentice Hall, 6th Edition (Sections 6.2 – 6.6)

  3. Introdução • O que é o Critério de Nyquist ? • Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. • Que tipo de análise ? • Da resposta em frequência da f.t.c.a. Critério de Nyquist Estabilidade do sistema em cadeia fechada Resposta em frequência da f.t.c.a. Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eixo imaginário Resposta transitória Analogia com Root-Locus Erro em regime estacionário Root-Locus Localização dos pólos da f.t.c.f. Localização dos pólos da f.t.c.a.

  4. Introdução • O que é o Critério de Nyquist ? • Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. • Método gráfico • Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar explicitamente os pólos da f.t.c.f. • Dá indicações sobre estabilidade relativa • Margem de ganho • Margem de fase • Parte do conhecimento da f.t.c.a. • Usa resultados da teoria das funções complexas (Teorema de Cauchy) para estudar a existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito ou sobre o eixo imaginário.

  5. Nomenclatura sistema de controlo em cadeia fechada + _ por redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro situação que irá ser tratada + _ Nomenclatura f.t.cadeia acção = f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = f.t.cadeia retroacção = f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) = equação característica

  6. Teorema de Cauchy • F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, excepto num número finito de pontos. • A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno. • O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s). plano s plano F(s) F(s) v v Contorno A Contorno B descrito num determinado sentido descrito no mesmo sentido ou em sentido contrário ao contorno A

  7. Teorema de Cauchy: exemplos clockwise clockwise Contorno B não contém a origem 1 zero no exterior do contorno A counterclockwise Contorno B não contém a origem 1 pólo no exterior do contorno A clockwise Contorno B contém a origem 1 zero no interior do contorno A counterclockwise Contorno B contém a origem 1 pólo no interior do contorno A counterclockwise Contorno B não contém a origem 1 pólo e 1 zero no interior do contorno A

  8. Teorema de Cauchy: enunciado • Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio. • P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A • Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A • N = número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem.

  9. Teorema de Cauchy: interpretação plano s plano F(s) F(s) v x o o x v x Contorno B Contorno A • Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio • o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no exterior de A têm uma variação líquida de 0º • o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 360º. • o argumento dos vectores associados aos pólos no interior de A têm uma variação de 360º. s a percorrer o contorno A O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio

  10. Teorema de Cauchy: interpretação Z = zeros de F(s) no interior do contorno A P = pólos de F(s) no interior do contorno A Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio N = nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio

  11. raio Critério de Nyquist • Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da estabilidade da f.t.c.f. ? avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d. avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d. avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d. plano s plano F(s) v contorno de Nyquist v v estabilidade em c.f. inspecção inspecção P N nº de voltas em torno da origem (contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio) Z = P + N N = Z - P Teorema de Cauchy

  12. raio Critério de Nyquist • Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d. N = Z - P nº de zeros de 1+KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de 1+KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de voltas de 1+KG(s)H(s) em torno da origem = = = nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de voltas de KG(s)H(s) em torno de -1 v v contorno de Nyquist -1 v diagrama de Nyquist inspecção inspecção P N nº de voltas em torno de -1 Z = N + P

  13. Critério de Nyquist: enunciado • Estabilidade em cadeia fechada • Z=0 • - N = P Enunciado do critério de Nyquist Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é estável em cadeia fechada sse, quando o afixo de s percorre o contorno de Nyquist num determinado sentido, o número de voltas que o afixo de KG(s)H(s) percorre em torno do ponto –1 em sentido contrário é igual ao número de pólos da KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist.

  14. raio Diagrama de Nyquist • Como esboçar o diagrama de Nyquist ? contorno de Nyquist v v • função resposta em frequência da f.t.c.a. com representação polar • pode obter-se por análise do diagrama de Bode e sua representação na forma polar v v Simétrico, relativamente ao eixo real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eixo imaginário positivo • O contorno de Nyquist deve ser tal que: • Abarque todo o s.p.c.d. • A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno

  15. raio Diagrama de Nyquist • Como esboçar o diagrama de Nyquist ? contorno de Nyquist v v v v A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem • O contorno de Nyquist deve ser tal que: • Abarque todo o s.p.c.d. • A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno

  16. Diagrama de Nyquist: Exemplo 1 K>0 + _ contorno de Nyquist P=0 A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist v v x v KdB N=0 v K Z=N+P=0 -1 -1 v O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de K>0

  17. Diagrama de Nyquist: Exemplo 1 K<0 + _ contorno de Nyquist P=0 v v A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist x v v K -1 v Se K>-1  N=0  Z=0  sistema em c.f. estável Se K<-1  N=1  Z=P+N=1  sistema em c.f. instável

  18. x x x v Diagrama de Nyquist: Exemplo 2 zoom

  19. Diagrama de Nyquist: Exemplo 2 Código Matlab K=10; num1=[0 0 0 K]; den1=[1 6 11 6]; sys1=tf(num1,den1); nyquist(sys1)

  20. x x x Diagrama de Nyquist: Exemplo 2 P=0 N=0 Z=P+N=0 Para K=K1 sistema em c.f. é estável -1 N=2 Z=P+N=2 Para K=K2 o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável -1

  21. x x x Diagrama de Nyquist: Exemplo 2 P=0 -1 • Qual o valor de K para o qual este ponto se torna igual a –1? • Que ponto é este ? • É o ponto com fase de –180º • Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade

  22. Diagrama de Nyquist: Exemplo 3 K>0 + _ P=1 x 1 K=3 -1 N=-1 Sistema em cadeia fechada estável para este valor de K Z=P+N=0

  23. semi-circunferência Critério de Nyquist:Exemplo 4 + _ sistema tipo 1 • O contorno de Nyquist deve ser tal que: • Abarque todo o s.p.c.d. • A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno K>0 Contorno de Nyquist – duas hipóteses < < C C x x x x x x B B A A < < P=0 P=1

  24. Critério de Nyquist: Exemplo 4 contorno de Nyquist contorno de Nyquist < < C C x x x x x x B B A A < < v v diagrama de Nyquist não desenhados à escala

  25. Critério de Nyquist: Exemplo 4 contorno de Nyquist contorno de Nyquist < < C C x x x x x x B B A A < < semi-circunferência de raio infinitesimal contorno de Nyquist contorno de Nyquist A B C A B C Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito argumento -q diagrama de Nyquist diagrama de Nyquist

  26. Critério de Nyquist: Exemplo 4 + _ sistema tipo 1 K=1 diagramas de Nyquist desenhados à escala K=3

  27. Critério de Nyquist: Exemplo 4 análise de estabilidade v v ponto de intersecção com o eixo real ?

  28. Critério de Nyquist: Exemplo 4análise de estabilidade < < x x x x x x < < P=0 P=1 v v -K/2 -K/2 diagrama de Nyquist não desenhados à escala N=0 N=-1 Z=P+N=1-1=0 Z=P+N=0 sistema estável Z=P+N=2 N=2 N=1 Z=P+N=1+1=2 sistema instável

  29. Critério de Nyquist: Exemplo 5 < C B x x x A < P=0 qual é a imagem desta semi-circunferência ? Dois pólos excluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero duas semi-circunferências com raio a tender para infinito Qual é o correcto? Só esta análise não chega para desambiguar

  30. Critério de Nyquist: Exemplo 5 qual é a imagem desta semi-circunferência ? < C B x x x A D < P=0 D’ v N=2 v C’ -1 B’ A’ Z=P+N=2 O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K < A’ = imagem de A Confirme com o Root-Locus

  31. Critério de Nyquist: Exemplo 6 + _ Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab P=0 N=? • Chegou a Z=1? • Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o diagrama de Nyquist • Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.

  32. Critério de Nyquist: Exemplo 6 + _ K=1 P=0 N=? K=1 P = 0 N = 2 Z = 2 > Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab < Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para K>2/3

  33. Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase + _ K=1 Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável P=0, N=0, Z=0 Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ? • Pergunta: • O sistema torna-se instável com o aumento do ganho ? • Resposta • Sim – ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist Root-locus

  34. + _ Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase K=1 P=0, N=0, Z=0 c.f. estável P=0, N=2, Z=2 c.f. instável K=15

  35. Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ? qual é o ganho quando a frequência=180º ? -15dB 0.177 qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário ? O ganho pode aumentar de até que o sistema em c.f. se torne instável

  36. Nyquist Diagrams From: U(1) 8 K=5.63 6 4 2 K=1 Imaginary Axis To: Y(1) 0 -2 -4 -6 -8 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Real Axis 40 20 0 K=5.63 -20 -40 K=1 -60 -80 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10 0 -45 -90 -135 -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10 Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ? -1

  37. Margem de Ganho e Margem de Fase • Até aqui o diagrama de Nyquist foi usado para avaliar a estabilidade absoluta • Diagrama de Nyquist permite também avaliar estabilidade relativa • proximidade do sistema relativamente à situação de instabilidade • quão próximos do eixo imaginário estão os pólos do sistema em cadeia fechada • Proximidade do diagrama de Nyquist do ponto -1

  38. Margem de Ganho e Margem de Fase • Margem de ganho– (MG) - é a variação, expressa em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável • Margem de fase– (FM) – é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável. O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e., para sistemas em cadeia aberta estáveis.

  39. Margem de Ganho e Margem de Fase • Margem de Ganho – é o inverso do módulo da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. introduz uma rotação de 180º • Margem de Fase – é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1 • Determinação das margens de estabilidade • Diagrama de Nyquist • Diagrama de Bode

  40. Nyquist Diagrams From: U(1) 1.5 K=1 1 0.5 To: Y(1) 0 Imaginary Axis -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis Margem de Ganho e Margem de Fase + _ MGdB FM

  41. Margem de Ganho e Margem de Fase • Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa • 30º<FM<60º • MG>6dB

  42. Margem de Ganho e Margem de Fase P=0 1/MG • Condições de estabilidade: • Se MG>1 – sistema em c.f. estável • Se MG<1 – sistema em c.f. instável • Se MG=1 – sistema em c.f. marginalmente estável • Se FM>0º – sistema em c.f. estável • Se FM<0º – sistema em c.f. instável • Se FM=0º – sistema em c.f. marginalmente estável 1/MG fM <

  43. Margem de Ganho e Margem de Fase Exemplo • Sistema com retroacção unitária. • Qual é o valor de K para o qual a margem de fase é de 45º? • Desenhe o diagrama de Nyquist • Calcule o valor da margem de ganho para esse valor de K • Identifique o sistema em cadeia aberta

  44. Margem de Ganho e Margem de Fase • Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e FM>0º • É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto –1+j0. • Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em que não existe cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG é sempre infinita. • Caso 2– Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo. • Caso 3– Sistemas em c.a. de fase não mínima Há 3 valores de frequência para os quais a fase da f.t.c.a. é de 180º

  45. Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento • Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase (especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do tempo) na resposta ao escalão? G(s) + _ f.t.cadeia fechada Margem de fase

  46. Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento Retirado de G.Franklin, J. Powell, A. Naeini Feedback Control of Dynamic Systems

  47. d Sistemas com um atraso Retirado de E. Morgado Controlo – Texto de apoio • Em qualquer dos casos surge um atraso • Condução do carro – atraso = tempo de reacção do condutor • Produção fibra óptica – atraso de transporte – a acção de controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica • Atraso t traduzido por produção de fibra óptica Ajuste do diâmetro do orifício da fieira De que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada ?

  48. Sistemas com um atraso: Exemplo + _ função resposta em frequência O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência O atraso introduz na fase uma componente que varia linearmente com w A margem de fase diminui A margem ganho diminui

  49. Sistemas com um atraso: Exemplo + _ K=1, t=1 • Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso • O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de K

  50. Sistemas com um atraso: Exemplo + _ K=1 t=1 K=1 t=0

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