Teoria della relatività-3 5 agosto 2014

1. Teoria della relatività-35 agosto 2014 Trasformazione della velocità La velocita` della luce come velocita` limite Invarianza della velocita` della luce Trasformazione dell’accelerazione Effetto Doppler

2. y y’ v x x’ z z’ Trasformazione della velocità • La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo • In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono S’ S 2 2

3. Trasformazione della velocità • Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti • Sia ux la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 3 3

4. Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità 4 4

5. La somma di due velocità minori di c è minore di c • Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano paralleli a x • Se -c < v < c ,-c < ux < c, allora anche -c < ux’ < c • Infatti, se -c < v < c, ux’ è funzione crescente di ux , e quindi assumera` un valore minore di quello assunto per ux=c, che vale • e maggiore di quello assunto per ux=-c, che vale 5 5

6. La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria e` consistente • Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di luce in verso positivo ux = c o negativo ux = -c otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio luminoso e` uguale agli estremi appena trovati 6 6

7. Trasformazione della velocità • Sia uy la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 7 7

8. Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità • E similmente per la componente lungo z 8 8

9. La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e` diretta lungo y, allora • In S’ le componenti saranno • E il modulo della velocita` 9 9

10. La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione • inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’ 10 10

11. Trasformazione dell’accelerazione • Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni 11 11

12. Trasformazione dell’accelerazione • E analogamente per le componenti y e z 12 12

13. y   x z Effetto Doppler per onde e.m. • Sia dato un SdRI S in cui una sorgente a riposo emette un’onda e.m. piana monocromatica F(,t) di lunghezza d’ondale periodo T • che si propaga nella direzione  di una retta che giace nel piano xy e forma un’angolo  con l’asse x • La relazione tra , x e y è • Inoltre la velocità della luce si può esprimere come S 13

14. y y’ ' ' x x’ z z’ Effetto Doppler per onde e.m. • Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto a S, l’onda avrà lunghezza d’ondal’, periodo T’ e forma • ove ’ è dato da • Inoltre la velocità della luce si può esprimere come S S’ v 14

15. Effetto Doppler per onde e.m. • Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla fase (divisa per 2) di F’ nel sistema S’ • Questa espressione deve coincidere con la fase (divisa per 2) dell’onda F nel sistema S, perche’ la fase non dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata • Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due espressioni 15

16. Effetto Doppler per onde e.m. • Otteniamo • Dal rapporto delle prime due eqq. ricaviamo la relazione tra gli angoli di propagazione dell’onda nei due sistemi • e la relazione inversa 16

17. Effetto Doppler per onde e.m. • L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze (f=1/T) nei due sistemi • e tra le lunghezze d’onda • Le relazioni inverse sono 17

18. Effetto Doppler per onde e.m. y’ x’ • Per (il SdR si muove nello stesso verso dell’onda) • Per (il SdR si muove in verso opposto all’onda) z’ Spostamento verso il rosso y’ x’ z’ Spostamento verso il blu v v 18

19. Effetto Doppler trasverso • Confrontando questa espressione con quella ottenuta nel caso classico • troviamo una perfetta corrispondenza per piccole velocità ( ) • Una notevole differenza si ha a grandi velocità per per cui classicamente ma relativisticamente (effetto Doppler trasverso) 19