METODE OPTIMIRANJA

1. METODE OPTIMIRANJA nv problemih odločanja nastopa veliko možnosti postavimo matematični model, ki ga sestavljajo : spremenljivke ciljna funkcija(kriterijska funkcija) omejitve

2. Problem Zgraditi moramo jamo v obliki kvadra , ki bo držala 81 . Širina jame mora biti polovica dolžine, jama pa naj bo na vrhnji strani odprta. Izdelava dna jame stane 4000 , medtem ko izdelava stranskih ploskev stane 3000 Kako moramo določiti dimenzije jame (dolžina , širina in višina ), da bodo stroški izgradnje čim manjši ?

3. Postavitev modela spremenljivke dolžina širina višina

4. ciljna funkcija omejitve

5. Problem Tovarna umetnih gnojil nabavlja nitrate, fosfate , pepeliko in apnenec po cenah 1500$, 500$, 1000$ in 100$ po toni. Iz njih pa z različnimi sestavnimi mešanicami proizvaja 4 vrste gnojil A, B, C in D. Proizvodni stroški, prodajna cena in sestava vseh štirih vrst gnojila so podani v naslednji tabeli

6. procent udeležbe sestavin v gnojilih gnojila stroški proizvodnje na tono prodajna cena na tono nitrati fosfati pepelika apnenec A 100 350 5 10 5 80 B 150 550 5 15 10 70 C 200 450 10 20 10 60 D 250 700 15 5 15 65

7. V enem tednu lahko nabavijo največ 1000 ton nitrata, 2000 ton fosfata in 1500 ton pepelike. Po pogodbah mora tovarna v enem tednu izdelati najmanj 5000 ton gnojila A in 4000 ton gnojila D. V ostalem pa lahko proizvaja gnojila v poljubnih količinah Sestavite proizvodni program tako, da bo dobiček največji !

8. Postavitev modela Spremenljivke potrebna količina gnojila A potrebna količina gnojila B potrebna količina gnojila C potrebna količina gnojila D

9. Omejitve 1. nitrat 2. fosfat 3. pepelika

10. Stroški surovin(nitrat,fosfat,pepelika,apnenec):

11. Ciljna funkcija

12. Problem zahtevani čas v minutah razpoložljivi čas na teden v minutah stroj strojni del I strojni del II stružnica 10 5 2500 phalni stroj 4 10 2000 vrtalni stroj 1 1.5 450 dobiček na enoto v$ 150 100 Proizvodno podjetje izdeluje dva strojna dela. Pri tem uporablja stružnice, phalne stroje in vrtalne stroje. Za vsak del je poraba strojnih časov različna. Potrebne in razpoložljive strojne čase za vsak stroj, ter doseženi dobiček za vsak strojni del podaja naslednja tabela :

13. Določite število strojnih delov I in II tako, da bo dobiček največji ! Postavitev modela Spremenljivke število strojnih delov I število strojnih delov II ciljna funkcija : omejitve

14. Problem podjetje donos v % Portfelio izbira A 4 B 5 C 8 D 12 Investicijska družba ima na razpolago za investiranje 500000 DEM. Svet direktorjev je sklenil, da bodo investirali v štiri podjetja , kjer se pričakuje letni donos kot kaže naslednja tabela

15. Predsednik sveta direktorjev , zaradi določenih povezav z podjetjem A zahteva , da se investira v to podjetje vsaj 100000DEM. Ostali člani sveta se s tem strinjajo, če se v podjetji B in C investira vsaj toliko kot v podjetje A. Končno je svet direktorjev določil, da se v podjetje D ne investira več kot 200000 DEM. Predpostavlja se, da se stopnje donosnosti v prihodnje ne bodo spreminjale. Kako investirati v izbrana podjetja, da bo skupni letni donos največji ?

16. Postavitev modela Spremenljivke investicijski znesek v podjetje A investicijski znesek v podjetje B investicijski znesek v podjetje C investicijski znesek v podjetje D Ciljna funkcija skupni letni donos Omejitve

17. Problem material tipični proizvodni problem izdelek I II III A 2.0 3.5 4.0 B 4.0 2.0 1.0 C 2.5 2.0 3.0 D 1.0 3.5 2.5 Proizvodno podjetje izdeluje štiri izdelke iz treh vrst materiala. Količina potrebnega materiala v kg za vsak izdelek prikazuje naslednja tabela

18. Nadalje je potrebnih 5 delovnih ur na človeka za izdelavo izdelka A, število potrebnih delovnih ur na človeka za izdelke B,C in D pa znaša 4,3 in 6. Podjetje razpolaga z 200 kg materiala I, 300 kg materiala II in 400 kg materiala III, ter ima na razpolago 300 človek-delovnih ur v planskem obdobju. Podjetje ustvari na enoto izdelkov A,B,C in D 7 DEM, 10 DEM, 5 DEM in 6 DEM dobička. Koliko enot posameznega izdelka naj podjetje izdela, da bo imelo največji dobiček ?

19. Postavitev modela Spremenljivke število enot izdelka A , ki ga moramo izdelati število enot izdelka B , ki ga moramo izdelati število enot izdelka C , ki ga moramo izdelati število enot izdelka D , ki ga moramo izdelati Ciljna funkcija

20. Omejitve material I material II material III človek-ure

21. Problem Mešanica hrane(obrok) mora vsebovati najmanj 8 dag hranilne snovi A, najmanj 10 dag hranilne snovi B in najmanj 22 dag hranilne snovi C. Željeni obrok moramo sestaviti iz prehrambenih artiklov F1,F2 in F3, ki vsebujejo v določenih količinah zahtevane hranilne snovi A,B in C. Enota prehrambenega artikla F1 stane 50 SIT, F2 80 SIT in F3 60 SIT. Enota artikla F1 vsebuje 5 dag hranilne snovi A,2 dag hranilne snovi B in 1 dag hranilne snovi C, medtem ko artikel F3 vsebuje 0 dag snovi A, 1 dag snovi B in 4 dag hranilne snovi C.

22. Kakšne količine prehrambenih artiklov F1,F2 in F3 moramo kupiti, da bo obrok vseboval predpisane količine hranilnih snovi A,B in C , ter da bodo stroški nakupa najmanjši ? Postavitev modela Spremenljivke število enot izdelka prehrambenega artikla F1 število enot izdelka prehrambenega artiklaF2 število enot izdelka prehrambenega artikla F3

23. ciljna funkcija omejitve hranilna snov A hranilna snov B hranilna snov C

24. Problem transportni problem Transportno podjetje Ferk-Company prevaža vsak mesec blago iz dveh skladišč v tri trgovine. Iz različnih razlogov, kot so različne oddaljenosti, različni načini prevoza, so stroški prevoza na enoto proizvoda odvisni tako od skladišča iz katerega se vozi blago , kakor tudi trgovine v katero se blago vozi. Vsako skladišče ima omejene kapacitete skladiščenja in vsaka trgovina zahteva le določeno kooličino enot proizvodov na mesec. Naslednja tabela podaja stroške prevoza, kapacitete skladišč in potrebe trgovin .

25. transportni stroški na enoto (trgovine) skladišča 1 2 3 kapacitete 1 9 8 6 100 2 7 4 3 potrebe trgovin 140 50 110 300 200 Ugotoviti moramo, koliko enot proizvodov moramo pripeljati iz vsakega skladišča v vsako trgovino, da bodo stroški transporta najmanjši ?

26. Postavitev modela število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 1 v trgovino 1 število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 1 v trgovino 2 število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 1 v trgovino 3 število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 2 v trgovino 1 število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 2 v trgovino 2 število prepeljanih enot izdelka iz skladišča 2 v trgovino 3

27. Ciljna funkcija Omejitve

28. Splošni problem optimiranaja lahko postavimo na naslednji način : Poiskati je potrebno ki minimizira funkcijof(X)in so izpolnjeni pogoji

29. X vektor spremenljivk f(X) ciljna funkcija omejitve Nalogo imenujemo optimizacijski problem z omejitvami

30. Linearno programiranje Ciljna funkcija in omejitve so v obliki linearnih enačb ali/in neenačb.Standardna oblika se glasi pri pogojih

31. V matrični obliki pri pogojih a.X = b X 0 Pri tem je

32. Značilnosti linearnega programa v standardni obliki : 1. Ciljna funkcija tipa minimum 2. Vse omejitve so v obliki enačb 3. Vse spremenljivke so nenegativne. Vsak problem linearnega programiranja lahko predstavimo v standardni obliki

33. Problem maksimumaje ekvivalenten problemu mimimuma : ekvivalentno Če v problemu dopuščamo tudi negativne vrednosti spremenljivk, ki pa v linearnem programu niso dovoljene, lahko vsako tako spremenljivko izrazimo kot razliko dveh nenegativnih spremenljivk pri tem velja in

34. Kadar so omejitve podane v obliki neenačbe tipa "manj ali enako" vpeljemo dodatno nenegativno dopolnilno spremenljivko, in dobimo enačbo Podobno postopamo, če je omejitev podana v obliki neenačbe tipa "več ali enako" V tem primeru pa nenegativno dopolnilno spremenljivko odštejemo in dobimo enačbo

35. Geometrijska predstavitev linearnega programa Možna predstava le za problem z dvema spremenljivkama Omejitve določajo mnogokotnik v ravnini neodvisnih spremenljivk Ciljna funkcija določa ploskev v trorazsežnem prostoru Optimalno rešitev je v tem primeru možno poiskati grafično .

37. Primer Ciljna funkcija omejitve

38. Definicije in izreki linearnega programiranja Dopustna rešitev Vsaka rešitev problema linearnega programa, ki ustreza pogojem se imenuje dopustna rešitev.

39. Bazna rešitev V sistemu m enačb z nneznakami ( n > m ) imenujemo bazno rešitev tisto, ki jo dobimo, če postavimo n - m neznank enakih nič in nato rešimo simultano sistem m enačb z m neznankami. Baza Skupnost spremenljivk ki jih ne izenačimo z nič, da dobimo bazno rešitev, imenujemo bazo. Dopustna bazna rešitev To je bazna rešitev, ki ustreza zahtevam

40. Nedegenerirana dopustna bazna rešitev To je dopustna bazna rešitev, ki ima natanko m pozitivnih vrednosti Optimalna rešitev Dopustna rešitev, ki optimira ciljno funkcijo se imenuje optimalna rešitev. Optimalna bazna rešitev Dopustna bazna rešitev pri kateri je ciljna funkcija optimalna , se imenuje optimalna bazna rešitev

41. Konveksna množica Konveksna množica je skupnost vseh tistih točk, za katere velja , da za vsaki njeni dve točki in veja, da daljica, ki povezuje ti dve točki celoti pripada tej množici. Matematično se ta definicija zapiše Za vsaki dve točki iniz konveksne množice S velja, da je v S tudi točka X za katero velja Ogljišče To je točka konveksne množice, ki ne leži na nobeni daljici, ki bi povezovala dve drugi točki te množice.

42. Izrek Presek konveksnih množic, je konveksna množica Izrek Dopustno območje problema linearnega programa je konveksna množica Izrek Vsaka dopustna bazna rešitev je ogljišče dopustnega območja Izrek. Če je S zaprta konveksna množica, potem linearna funkcija na njej zavzame ekstrem v ogljišču.