Onderzoeksvragen als uitgangspunt bij lineaire algebra

1. Onderzoeksvragen als uitgangspunt bij lineaire algebra

2. 1 Onderzoeksvragen als uitgangspunt • 2 Lineaire algebra

3. Modules ontwikkeld op het Coornhert Gymnasium Gouda • Auteurs: H. van Gendt en R. Dames • In opdracht van cTWO

4. Waarom wiskunde D? • Uitdagend voor de goede wiskundeleerling • Vernieuwend voor de docent • Toepassingen van wiskunde in praktijk • Ook aandacht voor wiskunde als wetenschap

5. Hoe zien wij wiskunde D? • Het liefst in complete modules (de hele stof in één keer) • Aansluitend bij andere Bètavakken • Aansluitend bij het hoger onderwijs • In een activerende en dus motiverende onderwijsvorm

6. Andersom werken • Einddoelen zijn uitgangspunten • Geformuleerd als onderzoeksvragen • Welke kennis is daarvoor nodig? • Basiskennis (voor alle onderzoeksvragen) • Specifieke kennis (per onderzoeksvraag) • Verschillende leerroutes (en eindpunten)

8. Onderzoeksvragen • formules bewijzen (Euler en De Moivre) • Homogene lineaire tweede orde d.v.’s • Tweede wet van newton als d.v. • RCL-serieschakeling • Fractals (in voorbereiding)

10. Voorbereidende opgaven

11. De eigenlijke opdracht

12. Samenwerkend leren • Weinig of geen klassikale instructie nodig • Wél begeleiding op afroep • Leerlingen bestuderen stof als groep • Voortgangstoets is groepstoets • Antwoorden onderzoeksvragen onderdeel van praktische opdracht • Individuele afsluitende toets

13. Ervaringen • Vorig jaar uitgeprobeerd in 5 NG en 5 NT • Leerlingen komen er als groep goed doorheen • Groepstoets stimuleert leren van elkaar • Resultaten individuele toets wisselend, maar over geheel ruim voldoende • Leerlingen vonden het leuk en “stoer” dat ze ”stof van de universiteit” snapten.

14. Voorbeeld: RCL-serieschakeling • Aansluiting bij natuurkunde • Aansluiting bij hoger onderwijs • Ruimte voor practicum • Uitdagend en motiverend

15. Waarom lineaire algebra • Breed onderwerp • Veel (wiskundige) toepassingen • Kennismaking abstracte(re) wiskunde • Nuttig als voorbereiding op hoger onderwijs

16. Module Lineaire Algebra • Opzet vergelijkbaar met die van complexe getallen • Twee hoofdstukken basisstof voor iedereen afgesloten met groepstoets • Uitbreidingsmodules in de overige hoofdstukken

17. Basisstof • 1 Inleiding eerstegraads vergelijkingen • 1.1 Inleiding • 1.2 Het oplossen van stelsels eerstegraads vergelijkingen • 1.3 Enkele afspraken en definities • 1.4 Het Gauss-Jordan algoritme • 1.5 Bijzondere situatie • 1.6 Homogene stelsels • 2 Inleiding matrixrekening • 2.1 Matrices • 2.2 Vierkante matrices • 2.3 Determinanten

18. Onderzoeksvragen • 3 Op weg naar een automatiseerbare oplossingsmethode • 3.5 De regel van Cramer • 4 Toepassingen in de ruimtemeetkunde (oude programma) • 4.5 Hoeken in de ruimte • 5 Lineair programmeren • 5.6 De Simplex-methode toegepast • 6 Lineaire transformaties (oude programma) • 6.5 De karakteristieke vergelijking van een matrix • Nog te ontwikkelen: basis en dimensie van deelruimtes; ruimtes van functies

19. Onderzoeksvraag hoofdstuk 6: Lineaire transformaties • In het platte vlak en de ruimte kunnen bepaalde afbeeldingen beschreven worden met behulp van matrices. In het platte vlak houden we ons eerst bezig met rotaties; in de ruimte gaan we vervolgens in op lineaire operatoren die in bepaalde richtingen alleen een verlenging of verkorting tot gevolg hebben. Je maakt hierbij kennis met eigenwaarden en eigenvectoren van matrices. • Toelichting: Ben je geïnteresseerd in meetkunde en berekeningen in de ruimte dan kan je kiezen voor deze onderzoeksvraag. Deelvragen zijn gegeven.

20. 6 Lineaire transformaties • 6.1 Inleiding • 6.2 Overgangsmatrices bij lineaire operatoren • 6.3 Rotatiematrices • 6.4 Eigenwaarden en eigenvectoren • 6.5 De karakteristieke vergelijking van een matrix

21. Wennen aan overgangsmatrices • De vector OP noemen we ook wel de plaatsvector van punt P. • Als je een 2 bij 2 -matrix loslaat op OP krijg je een nieuwe vector met OP‘ eindpunt P’. Zie desnoods ook hoofdstuk 2. • De matrix legt hiermee een afbeelding vast waarbij ieder punt (x,y) wordt afgebeeld op het punt (ax+by,cx+dy). • Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de x-as. • Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de y-as. • Bepaal de matrix die hoort bij een puntspiegeling in O(0,0) . • Bepaal de matrix die hoort bij een spiegeling in de lijn met vergelijking y=x. • Bepaal de matrix die hoort bij een rotatie om O over 90° linksom (tegen de wijzers van de klok in; zoek even op wat een rotatie is). • Bepaal de matrix die hoort bij een rotatie om O over 90° rechtsom.

22. 6.5 De karakteristieke vergelijking van een matrix • Zoek op het internet of in de pdf-bestanden die wij op It’s Learning hebben gezet wat er verstaan wordt onder de karakteristieke vergelijking van een matrix en bepaal met behulp hiervan de eigenwaarden en eigenvectoren van de volgende matrices: • Bewijs de volgende stelling: L heeft een eigenvector dan en slechts dan als det(L-λI)=0

23. Documenten voor leerlingen • De opdracht • Beschrijving • Beoordelingsmodel • Samenwerken • Rubrics • Evaluatieformulier • Het dictaat • De bronnen • Links • Pdf-bestanden