EL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Matemáticas preuniversitarias Lourdes Palacios y Norma Castañeda

2. El Teorema de Pitágoras. • Este teorema es de los más famosos de la geometría plana. • Hay más de 300 pruebas de este teorema. • Antes de enunciarlo procedemos a hacer un poco de historia acerca de Pitágoras.

3. Pitágoras • Nació en 572 a. de c. aproximadamente. • En la isla de Sames, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales. • Es muy posible que haya sido su alumno.

4. Pitágora • Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo. • Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, asi como una fraternidad unida a ritos secretos y cavalísticos. • Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

5. Teorema de Pitágoras • En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa, tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. c a b c2=a2+b2

6. Esta es una forma de probar el teorema anterior. Considera la siguiente figura El área del cuadro verde es c2 El área del cuadro rojo es (a+b)2=a2+2ab+b2 b a{ c El área de cada tríangulo es (ab)/2, entonces la suma de las cuatro áreas es 2ab c c El área del cuadro verde más el área de los triángulos es igual al área del cuadro grande es decir, c2+2ab= a2+2ab+b2 c2= a2+b2 c b

7. Tenemos ahora otra prueba. Demostremos que en la figura (AB)2=(AC)2+(BC)2 • Iniciando en el triángulo ABC, trazamos la perpendicular BD a AB. • ABC y ABD tienen dos ángulos iguales (el recto y BAC = BAD) • ABC es semejante a ABD entonces: •  ABC =  ADB=  CDB (1) • (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y • AD=AC+CD

8. Utilizando las dos igualdades anteriores tenemos: • (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD) • (AC)(AC+CD)=(AB)2 • (AB)2=(AC)2+AC•CD • Por (1), ABCABD • AC/BC=BC/CD • CD=(BC)2/(AC) • (AB)2=(AC)2+(BC)2

9. Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a UNIVERSUM. • Las siguientes figuras te darán otras ideas para demostrar el Teorema de Pitágoras. c a{ b c a b

10. Ejemplo 1: Combate de incendios. Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como vemos en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?

11. Solución al ejemplo 1 • Los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo. Para calcular la distancia c del punto A al punto B se utiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a por 2,400 y b por 1,000, y despejando c. • a2+b2=c2 • 24002+10002=c2 • 6,760,000=c2 • c=2600 • Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia. Esa distancia es menor que la del alcance de los radios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

12. Ejemplo 2 Construcción de una vía rápida. En una ciudad, las calles van de norte a sur y las avenidas de este a oeste. Las calles y avenidas tienen 750 pies de separación entre sí. El gobierno de la ciudad desea construir una vía rápida desde el cruce de la Calle 21 con la avenida 4, hasta el cruce de la Calle 111 con la avenida 60. ¿Qué longitud tendrá la vía rápida?

13. Solución al ejemplo 2 • Podemos representar las calles de la ciudad con el sistema coordenado que se muestra en la figura, en que las unidades de cada eje representan 750 pies. Si representamos el extremo de la vía en la Calle 21 y Avenida 4 mediante el punto (x1,y1)=(21, 4), el otro extremo estará en (x2,y2)=(111, 60) • Ahora podemos emplear el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la vía rápida. • d2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 • d2=(111-21)2+(60-4)2 • d2=8100+3136 • d=106

14. Enunciemos ahora la conclusión a el ejemplo 2 • Como cada unidad representa 750 pies, la longitud de la vía es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500 entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en 15.056818. Es decir, la vía rápida tendrá aproximadamente 15 millas de longitud.

15. Problema • Una escalera con escalones de un metro de ancho por 50 cm de altura conducen a un muro de 8 m de altura. La idea es subir el muro con una escalera de 7 m de longitud (ver figura). • ¿Cuál de los puntos de apoyo (1 al 6) nos ofrece una menor distancia a la punta del muro? • ¿Qué altura alcanzara la escalera una vez colocada en el punto óptimo? • Suponiendo que la escalera tuviera escalones de 60 cm de ancho por 30 cm de altura, ¿cuál sería el punto de apoyo más adecuado?