КОМПЮТЪРНА ТОПОЛОГИЯ 200 9/2010 ЛЕКЦИЯ 6- част 1

КОМПЮТЪРНА ТОПОЛОГИЯ2009/2010ЛЕКЦИЯ 6-част 1 Димитрина Ставрова “И да разбираш и да не разбираш, нещата са такива, каквито са“ Дзен поговорка

СимплициалниКомплекси • Чрез симплициалните комплекси ние отделяме топологията на едно пространство от неговата геометрия. Когато ни е дадено крайното комбинаторно описание на едно пространство ние сме в състояние да изчисляваме. • Геометрична дефиниция • Започваме с една дефиниция на симплициален комплекс, която съчетава геометрия и топология. Комбинаториката ни дава възможност да представим области от едно пространство с много малко точки. С други думи, дава ни възможност да опишем простите/основни/базисни клетки, които ще ни служат по-нататък като строителни блокчета за построяване/представяне на по-сложни пространства. • Дефиниция 1.(Комбинации) • Нека S = {p0, p1, . . . , pk}Rd. Линейна комбинация на тези точки наричаме точкатаx = Σki=0 λipiот Rd за някои λi от R.(т.е. нейните координати са линейни комбинации на съответните координати на точките S = {p0, p1, . . . , pk}). • Дефиниция 2.(Независимост) • Едно множество S = {p0, p1,...,pk}  Rd от точки е линейно (афинно) независимо ако никоя точка от S не е линейна комбинация на други точки от S.

Изпъкнала Обвивка От геометрията знаем, че множеството на линейните комбинации на три афинно независими точки в R3 съвпада с цялото пространство: Афинна комбинацияна S = {p0, p1, . . . , pk} наричаме линейната комбинация, за коятоΣki=0 λi =1. Множеството на афинните комбинации на три афинно независими точки в R3 запълват равнината определена от тези три точки. Изпъкнала комбинация на същите точки е афинна комбинация, за коятоλi ≥ 0, за всяко i. Множеството от всички изпъкнали комбинации на точки от дадено множество се нарича изпъкнала обвивка на това множество. Изпъкналата обвивка на три афинно независими точки в R3 е триъгълника определен от тези три точки.

ИзпъкналаОбвивка Mножеството на линейните комбинации на три афинно независими точки в R3: съвпада с цялото пространство. Множеството на афинните комбинации на три афинно независими точки в R3: равнината определена от тези три точки. Изпъкналата обвивкана три афинно независими точки в R3: триъгълника определен от тези три точки. Още един пример на изпъкнала обвивка на афинно зависими точки:

Няколко примера за симплекси, преди общата дефиниция: Нулмерният симплекс е просто една точка: Едномерен симплекс е отсечката между две точки: Тримерен симплекс е тетраедър: Двумерен симплекс е триъгълник: Пристъпваме към дефиницията на нашите основни „строителни” блокчета.

k-симплекс, стена, костена Дефиниция 3 (k-симплекс) k-симплекс е изпъкналата обвивка на k+1афинно независими точкиS={v0,v1,...,vk}. Точките от S се наричат върхове на симплекса. k-симплекса е k-мерно подпространство на Rd с размерност dim= k. Тъй като всички точки, които дефинират един симплекс са афинно независими такива са и които и да е по-малък брой от тях. Това е причината симплексада има интересна структура: той е съставен от симплекси с по-малка размерност, или както се казва – от своите стени. Дефиниция 4. (Стена, Костена) Нека е симплекс дефиниран от S = {v0, v1, . . . , vk}. Симплекса , дефиниран от T S се нарича стенанаи имакато костена. Релацията стена-костена се означава с ≥или ≤. Да отбележим, че ≤  и също естествено ≥(т.е. по дефиниция симплекса е своя стена и костена).

Стена, Костена Тръгилника АВС е стена на тетраедъра. Тръгилника АВС има за своя костена тетраедъра. Ръбът СD е също стена на тетраедъра. Ръбът СD има за своя костена също тетраедъра. Но симплексите сами по себе си не са достатъчни за да можем да апроксимираме необходимите ни основни пространства (които са някакъв вид компактни повърхнини). Затова ще комбинираме по определен начин симплекси за да представим дадени пространства. Това „залепване” прилича много на сглобяването на пъзел или Лего: основното правило ще бъде, че ни се разрешава да съединим/сглобим заедно само блокчета, които имат подхождащи/пасващи си повърхности/краища. По аналогичен начин, можем („разрешено” ни е) дасъединяваме симплекси само чрез/по продължение на специални техни „части”, а именно – стените им. Следната дефиниция дава формално описание на образуването на такива нови структури, които ще наричаме (симплициални) комплекси. Върхът А е също стена. Върхът А има тетраедъра за костена.

Симплициален Комплекс Дефиниция 5.(Симплициален комплекс) Симплициален комплексще наричаме такова крайно множество K от симплекси, че са изпълнени следните условия: 1. є К, ≤ є К. 2. , ’є К ’ ≤, ’или ’= . Всичко, което тази доста сложна на пръв поглед дефиниция казва е, че ако един симплекс е част от един комплекс, то всички негови стени също принадлежат на комплекса; и ако два симплекса се пресичат, сечението им също е част от комплекса (т.е. два симплекса от един и същи комплекс могат да се пресичат само по обща стена). Симплициални комплекси: Неимплициален комплекс:

Няколко примера Симплекси: Двумерен симплициален комплекс в тримерното пространство: Симплициален комплекс: Несимплициални комплекси:

Размерност Размерност на K е dimK = max{dim| K}. Върхове на K са всички нула-симплекси от K (т.е. тези с нулева размерност). Един симплекс се наричаглавен ако няма собствена костена в K. Тук понятието „собствен” е в теоретико-множествен смисъл т.е. няма подмножество лежащо в K, различно от самият него, което го съдържа като стена. АВС е главен симплекс АВСD е главен симплекс

Размер/големина на един симплекс Както вече споменахме, комбинаторната топология извлича своята сила от изчислението. Сега, след като имаме начин за едно крайнопредставяне на дадено пространство, ние можем лесно да смятаме. Да пресметнем броя на страните на един симплекс. Например, един ръб има два върха и един ръб като стени (да напомним, че един симплекс е стена на себе си). Тетраедърът има четири върха, шест ръба, четири триъгълника, и самият тетраедър като стени. Тези сметки са отразени в Таблица 1: Да напомним, че триъгълникът на Паскал всъщност ни дава биномните коефициенти: броят на различните комбинации от l обекта измежду k обекта – или - (kl) . Тук имаме k + 1 точки, представящи един k-симплекс, всеки l + 1 от които дефинират l-симплекс. За пълнота, дефинираме празното множество като един (-1)-мерен симплекс. Този симплекс е част от всеки друг симплекс и ни позволява да добавим колоната на 1-ците отляво в Таблица 1 за да получим триъгълника на Паскал. За да получим тоталната големина на един симплекс, ние сумираме всеки ред на триъгълника на Паскал. Един k-симплекс има (kl++11) стени от размерност l и kl=-1(kl++11)= 2k+1 стени изобщо. Така, че симплекса в изчислителен смисъл е един доста голям обект. Симплексите са много еднородни и прости по структура и следователно ни дават идеален начин за компютърно изчисление. Таблица 1 Какви ще бъдат числата за един 4-симплекс? Ако се вгледаме внимателно, може би ще усетим, че числата в таблицата изглеждат някак си познати. Написваме ги във следния вид: Ако прибавим по една 1 отляво на всеки ред, ще получим триъгълника на Паскал:

Абстрактна Дефиниция Нашия пример със размера/големината на един симплекс ни показва, че можем да гледаме на един симплекс като на едно множество заедно с множеството на всичките му подмножества (независимо, че такова разглеждане има смисъл за безкрайни множества, да си напомним, че всичко в компютрите е крайно и следователно б.о.о. можем тук да си мислим, че става дума за крайни множества). Такъв един поглед върху симплекса е много привлекателен защото ни позволява при подходяща дефиниция да забравим за геометричната му същност. Когато от контекста е ясно коя е колекцията S, ние просто ще използваме K за обозначаване на комплекса. Казваме, че е k-симплекс или, че има размерност k ако || = k + 1 . Ако , се нарича стена на , а  е костена на. Дефиниция 6. (Абстрактен Симплициален Комплекс) Абстрактен симплициален комплексще наричаме едно множество K, заедно с някаква колекция S от негови подмножества, елементите на която ще наричаме (абстрактни) симплекситакива, че следните условия са удовлетворени: 1. За всички K, {}  S. Ние наричаме тези множества {}върхове на K (т.е. S съдържа всички точки на K). 2. Ако S, тогаваS(т.е. S е такава фамилия от подмножества, която заедно с всеки свой елемент съдържа и всичките му подмножества) . Да отбележим, че тази дефиниция автоматично ни позволява  да бъде един (-1)-симплекс. Понякога също може да използваме S за означаване на комплекса. С тази абстрактна дефиниция ние на практика затвърждаваме факта, че нас ни интересува само как симплексите са свързани (локално), а не как са разположени в някакво Евклидово пространство. Сега нека съотнесем тази абстрактна теоретико-множествена дефиниция към геометричната, като извлечем комбинаторната структура извън/от (геометричния) симплициален комплекс. Абстрактен симплициален комплекс, който не е валиден симплициален комплекс:

Схема на върховете. Изоморфизъм Дефиниция 7. (Схема На Върховете) Нека K да е един симплициален комплекс с върхове V и нека S да е колекцията от всички онези подмножества {v0, v1, ..., vk} на V, такива, че върховете v0, v1, ..., vkса върхове на симплекс от K. Колекцията S се нарича схема на върховетеот K. Очевидно, множеството K и колекцията S съвместно образуват един абстрактен симплициален комплекс (V, S) . Това ни дава идея да сравняваме лесно симплициални комплекси като използваме изоморфност между множества. Дефиниция 8. (Изоморфизъм) Нека K1 и K2 да са два абстрактни симплициални комплекса с върхове V1, V2 и колекции от подмножества S1, S2, респективно. Изоморфизъм между K1 и K2,наричаме всяка биекция:V1V2 такава, че множествата в S1 и S2 са едни и същи с точност до пренареждане на върховете чрез  и неговото обратно. Така, че всеки абстрактен комплекс K е изоморфен на схемата на върховете на един симплициален комплекс S.

Изоморфизъм. Геометрична Реализация. Теорема 1. Всеки абстрактен симплициален комплекс S е изоморфен на една схема от върхове на някой симплициален комплекс K. Два симплициални комплекса са изоморфни тогава и само тогава, когато техните схеми на върховете са изоморфни като абстрактни симплициални комплекси. Дефиниция 9. (Геометрична Реализация) Ако симплексите на един абстрактен симплициален комплекс K1 са изоморфни на схемата на върховете на един симплициален комплекс K2 ние наричамеK2 геометрична реализация на K1. Тя е еднозначно определена с точност до изоморфизъм, който е линеен върху симплексите. С други думи ако абстрактният сиплициален комплекс S е изоморфен на схемата на върховете на симплициалния комплекс K, K наричаме геометрична реализация на S). След като сме конструирали крайни симплициални комплекси, ние ще ги разбием/разложим на топологични и геометрични компоненти. Първите ще са абстрактни симплициални комплекси – един чисто комбинаторен обект, който лесно може да се въведе и обработва в компютърна среда. А вторите са една карта на върховете на комплекса в пространството, в което този комплекс е реализиран. Отново – тази карта е крайна и може да бъде приблизително представена в паметта чрез плаваща репрезентация на точките.

Подкомплекси За удобство множеството от всички подмножества на дадено множество ще наричаме негова степен. Нека си спомним, че един симплекс е степен на множеството от своите симплекси. Аналогично, един естествен начин да интерпретираме един симплициален комплекс е като специално подмножество на степента на множеството на всички негови върхове . Това множество е специално поради изискванията на Дефиниция 6. Да разгледаме малкия комплекс на Фигура 3.6(а) – Фигура 3.6 Представяне на симлициалния комплекс като частично наредено множество – чнм (за кратко) Фиг. 3.6 б) чнм на малкия комплекс, с отбелязани главни симплекси Фиг. 3.6 а) малък комплекс Диаграма (б) показва как симплексите се свързват в комплекса: там има възел за всеки симплекс, и ръб, отбелязващ връзката – стена/костена. Отбелязаните главни симплекси са „върховете” на диаграмата. Тази диаграма в същност е чнм. Фиг. 3.6 (в) Едно абстрактно чнм: “морското ниво” на чнм се определя от главните подсимплекси

ЧНМ Да дадем сега формалната дефиниция на частично наредено множество. Дефиниция 10. (ЧНМ) Нека S е едно крайно множество. Частична наредбае бинарна операция „ ≤” върху S, която е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна. Т.е. за всички x, y, z  S имаме : 1. x ≤ x 2. x ≤ y и y ≤ x влече x = y, 3. x ≤ y и y ≤ z влече x ≤ z. Едно множество заедно с една частична наредба върху него се нарича частично наредено множество или накратко – чнм. От дефиницията на съотношението стена-костена между симплексите в един симплициален комплекс е ясно, че това е релация на частична наредба. Следователно, множеството на симплексите в един комплекс, заедно с релацията стена-костена образува чнм. Доста често абстрактно си представяме едно чнм както на Фигура3.6(в). Там множеството е „дебело” по средата защото броят(nk)на възможните симплекси е максимилизиран за k  n/2. Главните симплекси образуват ниво, под което трябва да включим всички симплекси. Следователно, ние можем да възстановим един симплициален комплекс просто чрез складиране на неговите главни симплекси. Този поглед ни дава също интуитивна представа за пренасяне на някои теоретико-множествени понятия за симплициални комплекси. На един симплициален комплекс може да се гледа като на затворено множество (той наистина е затворено множество ако е реализиран геометрично).

Подкомплекс, звезда, свръзка Фигура 3.6 (а)малък комплекс Дефиниция 11.(Подкомплекс, звезда, свръзка) Ако K е симплициален комплекс и LK е симплициален комплекс, то L наричаме подкомплексна K. Ако LK е произволно подмножество, то най-малкия подкомплекс на K съдържащ множеството L се нарича затворена обвивка на L: Cl L= {  K |  ≤   L}. При затворената обвивка всичко „по-надолу” от в комплекса е включено: (демонстрираме тези понятия за комплекса от Фигура 3.6) Фигура 3.7 (а)Cl{bc, d} Фигура 3.7(b) St{c, e}(в светло), ClSt{c, e} (в тъмно) Фигура 3.7 (c) Lk {c, e} Свръзкатана L е границата на неговата звезда, Lk L = Cl St L – St (Cl L - {}) Звездата на L се състои от всички костени на L в K – St L = {  K |  ≥   L}. При звездата всичко „по-нагоре” от L в комплекса K е включено: Звездата е аналог на отворено множество.

Един Пример Два симплекса(жълти) и тяхната затворена обвивка(в зелено) Един симплекс(жълт) и неговата звезда (в зелено) Един симплекс(жълт) и неговaтaсвръзка (в зелено)

Подкомплекс, звезда, свръзка Фигура 3.7(b) St{c, e}(в светло), Cl St{c, e} (в тъмно) Фигура 3.7 (а)Cl{bc, d} Фигура 3.6 (а)малък комплекс И така подкомплекса е аналог на подмножество. Ако ни е дадено множество от симплекси в комплекса, ние взимаме всички симплекси „по-долу” (по отношение на релацията „стена-костена”) от него в комплекса и получаваме затворената му обвивка и всички симплекси „по-горе” от него и получаваме неговата звезда. В повечето случаи звездата на едно множество е отворено множество (при подходящо разгледана топология) и сама за себе си не е симплициален комплекс. Звездата съответства на понятието околност за един симплекс, и както околността, тя е отворена. Ако към нея обаче приложим операцията за затворена обвивка получаваме вече симплициален комплекс (Фигура 3.7 ((b)). Закачването ни дава граница. В нашия по-горен пример (Фигура 3.7) , Cl{c, e} - = {c, e}, така, че ние махаме симплексите от светлите региони от тези, в тъмните региони в (b) за да получим закачването в (c). Следователно, закачването на {c, e} е ръба ab и върха d. Вижте на Фигура 6 (а) дали това съответства на вашата интуитивна представа какво би трябвало да представлява границата. Фигура 3.7 (c)Lk {c, e}

Триангулации Най-основната причина, поради която изучаваме симплициални комплекси е да получим (компютърно) представяне на многообразията. Дефиниция 12. (Базисно Пространство) Базисно пространство |K| на един симплициален комплекс K наричаме |K|= {|  K}. Да отбележим, че |K| е топологично пространство. Дефиниция 13 (Триангулация) Триангулацияна едно топологично пространство X е симплициалния комплекс K такъв, че |K|X. (напомняме – това е хомеоморфизъм!). Триангулация на куба (разглеждан като симплициален комплекс)

Триангулации Фигура 3.8 Например, границата на един 3-симплекс (тетраедър) е хомеоморфна на сфера и е триангулация на сферата, както е показано на Фигура 3.8, защото найното базисно пространство е хомеоморфно на сферата. Да отбележим, че терминът „триангулация” се използва в различни области с различно значение. Например, в компютърната графика, този термин най-често означава „триъгълно” описание на повърхностите. Понякога, в дискретната математика те се наричат „мрежи” и разрешават използването и на други елементи, като например четириъгълници, за базисни елементи. В някои области, тримерните мрежи образувани от тетраедри се наричат „тетраедъризация”. В рамките на контекста на топологията, триангулация ще се използва по отношение на комплекси от всякаква размерност. Нека дадем един пример за това, как се използват триангулациите при реконструиране на образи. Въпросът опира често до това, като са ни дадени точкови данни, как да съставим триангулация, доближаваща се до реалния обект. Следния подход е на Daniel D. Morris и Takeo Kanade от Robotics Institute, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA.

Триангулации Ако ни е дадено едно множество от точки в тримерното пространство, за които знаем, че лежат върху повърхнината на даден обект, ние можем да дефинираме много повърхнини минаващи през тези точки (съдържащи ги). Дори когато разглеждаме повърхнини, подлежащи на една триангулация, пак имаме прекалено много възможности. Разбира се, всяка триангулация ще доведе до различна възстановена повърхнина, свързваща тези точки: Искаме да избегнем по някакъв Начин тази двусмисленност и да намерим една определена повърхнина, която би била най- близко до истинския вид на повърхнината на обекта. И докато ние всъщност не знаем истинската повърхнина, ние имаме едно множество от образи на обекта, който искаме дареконструираме. Предлагаме да избираметакава триангулация, която се базира наконсистентността си множеството от образи на обекта, които имаме.Алгоритъма, който предлагаме за това, започва с една начална, грубатриангулация и я подобрява/рафинира докато се получи повърхнина,която най-добре отговаря на наличното множество от образи (снимки) наобекта, който искаме да възстановим.

Триангулации Възстановяване: Реконструкциите, получени въз основа на тези триангулации са показани по-долу: Нека ни е дадена една редица от образи: Една типична наивна, първоначална триангулация се получава чрез метода на Delaunay и впоследствие я подобряваме чрез нашия алгоритъм: Образуваме си 3D точков облак:

Ориентируемост Ние се запознахме вече с повече или по-малко интуитивно описание на понятието ориентируемост. Ще разширим това понятие до симплициални комплекси (които не са вече гладки повърхнини/многообразия). Това само ще ни подскаже отново, че ориентируемостта е топологично понятие не зависещо от гладкостта.Дефиниция 14. (Ориентираност) НекаК е един симплициален комплекс. Ориентация на един k-симплекс  K,={v0, v1, ..., vk} vi K с върхове {v0, v1, ..., vk} е клас на еквивалентност на наредбите на върховете на, където (v0, v1, ..., vk) ~ (v  (0), v (1), ..., v (k)) са еквивалентни наредби ако паритета на пермутацията е нечетен. Ние означаваме един ориентиран симплекс, т.е. симплекс с един клас на еквивалентни наредби чрез []. Нека напомним, че пермутация наричаме всяка биекция на едно множество върху себе си. Една пермутация на едно крайно множество обикновено се определя като укажем действието й върху всеки един от елементите. Например, може да означим пермутацията на множеството {1, 2, 3, 4, 5, 6} чрез (6, 5, 2, 4, 3, 1), където това означение значи, че пермутацията изпраща 1 в 6, 2 в 5 , 3 в 2 и т.н. После можем да получим нова пермутация чрез разместване: разменяйки реда на два съседни елемента. В нашия пример, (5, 6, 2, 4, 3, 1) е пермутация, която е се получава чрез един „ход” от (6, 5, 2, 4, 3, 1). Ние можем да разгледаме два вида пермутации на крайни множества, а именно:

Ориентируемост Теорема 2. (еднаквост)Всяка пермутация на едно крайно множество може да се представи като четен или нечетен брой размествания, но не и двете. В последния случай пермутацията се нарича нечетна, а в предния – четна. Да отбележим, че това понятие за ориентируемост произтича от факта, че пермутациите могат да се разделят на два еквивалентни класа. Ориентацията може да се покаже графично чрез стрелки, както е изобразено на Фигура 3.9. Ние можем да използваме ориентирани симплекси за да дефинираме понятието за ориентируемост на едно триангулирано d-многообразие. Фигура 3.9 k-симплекси, за всяко 0 k 3. Ориентацията на тетраедъра е показана върху страните му. Дефиниция 15. (Oтносителна ориентируемост) Два k-симплекса споделящи обща (k − 1)-стена  са еднакво ориентирани ако те индуцират различна ориентация върху . Едно триангулируемo d-многообразие е ориентируемоако всичките му симплекси могат да бъдат еднакво ориентирани. В противен случай d-многообразието се нарича неориентируемо. Една ориентация наричаме съгласувана по продължение на един ръб свързващ два триъгълника ако те са еднакво ориентирани: Пример 3.1 (представяне) Повърхнината на един тримерен обект е 2-многообразие и може да се моделира чрез триангулация в компютър. В компютърната графика, тези триангулации се представят чрез използване на светлинни модели, които съпоставят определен цвят на всеки триъгълник в съответствие с неговото разположение по отношение на светлината на разглежданата сцена и наблюдателя. За да направи това на компютъра му е нужно да знае нормалата към всеки триъгълник. Но всеки триъгълник има две нормали сочещи в противоположни посоки. За да получим коректно представяне, ние имаме нужда от еднакво ориентиране на нормалите. Фигура 10.Съгласувана и несъгласувана ориентация Една повърхнина се нарича ориентируемаако на съставящите я триъгълнициможе да се даде такава ориентация, че всички съседни (т.е.имащи общиръбове) триъгълници да сасъгласувано ориентирани. В миналаталекция ние се запознахме с две базисни неориентируеми 2-многообразия:Бутилкатана Клайн и проективната равнина. връх а ръб [a,b] триъгълник [a,b,c] тетраедър [a,b,c,d]

Ойлерова характеристика Нека припомним понятието за топологичен инвариант:Дефиниция 16. (Топологичен Инвариант) (Топологичен)инвариант ще наричаме всяко изображение, което съпоставя един и същ обект на пространства от един и същ топологичен тип (т.е. на хомеоморфни пространства). Да отбележим, че един инвариант може да съпоставя един и същ обект на пространства с различен топологичен тип. Най-общо казано, тази особеност на инвариантите ги прави „добри” за разсъждения от тип „допускане на противното” (отрицание): ако на две пространства се съпоставя различни обекти, то от тук ще следва, че те имат различен топологичен тип. От друга страна, ако на две пространства се съпоставя един и същ обект, ние обикновено нищо не можем да заключим по отношение на техния топологичен тип. Нека формално запишем тези разсъждения за един инвариант :X Y   (X) = (Y)(X) (Y)  Xне е Y (нехомеоморфност, нееднаквост) (X) =(Y)  нищоЕдин „добър” инвариант би трябвало да има достатъчна разделителна „сила” за да може да бъде използван във втория вид разсъждения (от противното). Сега ще дефинираме един много важен и известен инвариант – така наречената Ойлерова Характеристика: Въпреки, че се дефинира за симплициален комплекс, Ойлеровата характеристика ецялочислов инвариант за |K|, базисното множество за комплекса K. Ако ни е дадена произволна триангулация на едно пространство M, ние винаги получаваме едно и също цяло число, което наричаме Ойлерова характеристика на това пространство – (M). Този факт използваме при изчисление на Ойлеровата характеристика, като всеки път си избираме подходяща триангулация. Дефиниция 17. (Ойлерова характеристика) Некае K един симплициален комплекс с siна брой i-симплекси т.е. si = |{ K: dim = i}|. Ойлерова характеристика на този комплекс е числото:(K) = i=0dimK (-1)isi = K-{}(-1)dim.

2-многообразия Въоръжени с триангулациите, ориентируемост и Ойлерова характеристика, можем да преработим нашето екзистенциално доказателство в компютърно (изчислимо, пресметваемо). Започваме с изчисляване на Ойлеровата характерситика за базисните повърхнини от миналата лекция. Имаме една триангулация на сфератаS2 дадена на Фигура 3.8, така че (S2) = 4– 6+ 4 = 2. За да пресметнем Ойлеровата характеристика на другите многообразия, трябва да построим техни триангулации. Това е просто за постигане, чрез триангулиране на диаграмите за за построяване на плоски 2-многообразия, които разгледахме миналия път, като на Фигура 3.10. Фигура 3.10 Триангулация на диаграмата на тора T2 б) Ойлерова характеристика на базисните 2-многообразия a) Една триангулация на диаграма на тора T2 Тази триангулация ни дава, че (Т2) = 9 -18 + 27 = 0. Можем да попълним таблицата на Фигура 3.10 (б) по подобен начин. Тъй като (Т2) = (К2) = 0, виждаме, че Ойлеровата характерситика сам за себе си не е достатъчна за да правим по-финна разлика между повърхнините.

2-многообразия В предната лекция ние също така дефинирахме как можем да получаваме по-сложни повърхности, използвайки понятието за свързана сума на многообразия. Да предположим, че образуваме свързаната сума на две повърхниниМ1,М2, чрез премахването на един единствен триъгълник(все едно кръгче) от всяка една и идентифицирайки двете граници. Очевидно, Ойлеровата характеристика ще бъде сума от Ойлеровите характеристики на двете повърхности, намалена с 2 заради двата липсващи триъгълници. В действителност, това е вярно и ако махнем произволни кръгове, а именно:Теорема 3. За компактните повърхнинМ1,М2 имаме, че (М1 # М2) = (М1) + (М2) - 2.За една компактна повърхнина М, нека gМ бъде свързаната сума на g копия на М. Комбинирайки тази теорема с таблицата на Фигура 3.10(б) получаваме следното:Следствие 3.1(gT2) = 2 - 2gи (gRP2) = 2 – g. Тези повърхнини, заедно със сферата, образуват класовете от еквивалентни многообразия дискутирани в предната лекция.

2-многообразия Дефиниция 18. Свързаната сума на g торове се нарича повърхнина с g дръжки, а образуването на свързана сума на g проективни равнини се нарича лепене на g Мьобиусови листа(защото проективната равнина с изрязано кръгче, както видяхме е еквивалентна на Мьобиусов лист). Броят на дръжките, на практика ни индикира колко „дупки” има тази повърхнина. Интересно е да се отбележи, че съгласно нашата класификационна теорема свързаната сума на тор и проективна равнина (която ще бъде очевидно неориентируема повърхност) трябва да е хомеоморфна на свързаната сума на няколко проективни повърхнини. Може да се докаже, че: Лема 1. Свързаната сума на един торT2 и една проективна равнина RP2 – T2#RP2е хомеоморфна на свързаната сумана три проективни равниниRP2 #RP2 #RP2. Въпросът може да се постави и за свързана сума на повече броя торове и проективни равнини, но вече не е толкова прост като отговор. Сега сме готови да дадем окончателен отговор на проблема за хомеоморфността между затворените компактни 2-многообразия.

2-многообразия Теорема 3. (хомеоморфност на компактните 2-многообразия) Затворените компактни повърхнини М1,М2 са хомеоморфни, т.е. М1 М2 ако и само ако 1. (М1) = (М2) и 2. или и двете повърхнини са ориентируеми или и двете са неориентируеми.Нека да отбележим изрично, че това е характеристика (ако и само ако). Лесно можем да пресметнем Ойлеровата характеристика на всяко 2-многообразие. Пресмятането на ориентируемостта е също лесно, като почнем с ориентацията на един триъгълник и „разнесем” ориентацията по цялото многообразие ако то е ориентируемо. Следователно, имаме един напълно изчислим, реализуем в компютър метод за разпознаване на топологията на 2-многообразията. Както ще видим по-нататък този проблем е доста по-труден в по-високите размерности и трябва да използваме там по-сложни методи.

КОМПЮТЪРНА ТОПОЛОГИЯ 200 9/2010 ЛЕКЦИЯ 6- част 1