Valgkampens og valgets matematik

1. Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet

2. Disposition • Meningsmålinger • Hvorfor kan vi stole på dem? • Hvad er usikkerheden? • Et eksempel • Valgsystemet • Hvordan bliver stemmer til mandater?

3. 1 Meningsmålinger • Problemet: • En normal meningsmåling består som regel af ca. 1000 personer, som er blevet stillet ét eller flere spørgsmål – fx hvilket parti, de vil stemme på ved valget. Hvordan kan vi overhovedet sige noget om hele befolkningen ud fra kun 1000 personer? • Svaret: • Sandsynlighedsteori

4. 1.1 Notation • Et eksempel: • Epinion giver S 29,3% af stemmerne = en andel på 0,293 • Men hvad er S stemmeandel i hele kommunens befolkningen? • π = Andelen i hele befolkningen (populationsparameteren) • = Stikprøvens estimat af andelen i befolkningen • n = Stikprøvens størrelse

5. 1.2 Det sandsynlighedsteoretiske grundlag • Andelen i en given stikprøve er et stikprøvemål – dvs. noget der er beregnet på baggrund af en stikprøve • Hvis man udtager mange stikprøver og beregner det samme mål, vil der være en vis variation i dem • Man kan derfor vise dem i et stolpediagram, hvor hver stolpe viser, hvor mange stikprøver, der har fået en given værdi for målet • Den fordeling, der herved fremkommer, kaldes stikprøvemålsfordelingen – og det er den vi er interesserede i

6. 1.2 Den centrale grænseværdisætning Hvis stikprøven er udtrukket simpelt tilfældigt, gælder det, at: Når n er tilstrækkelig stor, vil fordeling – uanset fordelingen i populationen – være omtrent normalfordelt med gennemsnit π og standardafvigelse (kaldes standardfejl)

7. 1.2 Den centrale grænseværdisætning • Simulation • http://www.vias.org/simulations/simusoft_cenlimit.html • Og hvad kan vi så bruge det til? • Vi kender ikke π, men vi ved, at når stikprøven er udtaget tilfældigt, så gælder CGS, og så følger stikprøvefordelingen normalfordelingen • For normalfordelinger kan det vises, at 95% af fordelingen ligger inden for en afstand på ± 1,96 gange standardfejlen af gennemsnittet

8. 1.2 Normalfordelingen 95% 2,5% 2,5% π

9. 1.3 Konfidensintervaller • Vores fordeling er en fordeling af stikprøvemål for andelen π • Dvs. hvis vi for hver stikprøve laver et interval på ± 1,96 gange standardfejlen rundt om estimatet af π, så vil det indeholde π i 95% af de gange, vi udtrækker en stikprøve • For den enkelte stikprøve siger man, at intervallet indeholder π med 95% konfidens (= sikkerhed) • Intervallet kaldes således et konfidensinterval og viser altså de værdier, hvor indenfor det er rimeligt sandsynligt, at π falder

10. 1.3 Princippet bag et 95% konfidensinterval for andelen 95% 2,5% 2,5% π

11. 1.3 En lille detalje • Beregning af standardfejlen forudsætter kendskab til π: • I praksis estimeres denne dog ud fra stikprøven, så standardfejlen beregnes som

12. 1.4 Konfidensinterval for andele: Definition • Et 95% konfidensinterval for π er defineret som • Vi opstiller altså et interval, hvori π befinder sig med 95% konfidens • Gælder som udgangspunkt kun for n>30 og 0,3 < π < 0,7

13. 1.4 Definition (forts.) • Generelt: n skal overstige 30 • For π < 0,3 eller π > 0,7: • Stikprøvemålsfordelingen skæv  skærpet krav til n: • Der skal mindst være 10 observationer både i den kategori vi måler andelen for – og i resten af gruppen – fx skal mindst 10 respondenter ville stemme på S og mindst 10 respondenter på alle andre partier til sammen

14. 1.5 Et eksempel • Fx: Rambøll i JP Århus i søndags: • Estimat: Andel S-vælgere = 0,293, n=1008 • Et 95% konfidensinterval for andelen af S-vælgere:

15. 1.6 Faktorer, der påvirker bredden af konfidensintervaller • Formlen igen: • Bredden påvirkes af to faktorer: • Tallet, der ganges med • Standardfejlen

16. 1.6.1 Tallet, der ganges med • Afgøres af konfidensniveauet • Kan principielt fastsættes, som man vil • Dvs. under vores kontrol • Konventionelt 95% eller 99% • Jo højere, jo større tal, og dermed jo bredere konfidensinterval • Mao.: Jo mere sikker man vil være, jo flere værdier er mulige, og jo mindre præcist kan vi udtale os

17. 1.6.2 Standardfejlen • Formlen igen: • To elementer heri: • Den estimerede populationsstandardafvigelse • n

18. 1.6.2.1 Standardafvigelsen • Populationsparameter  kan ikke ændres • Estimeres fra stikprøven • Formlen igen:

19. 1.6.2.2 n • Under vores kontrol! • Da , kræver dobbelt præcision (dvs. halv bredde på intervallet = halvering af standardfejlen) 4-dobbelt n (for et givet konfidensniveau):

20. 1.6.2.3 Eksemplet igen • 4-dobling af antallet af respondenter i Epinionmålingen: 1008  4032 • 95% konfidensinterval for S-andelen: • Dvs. ca. et spænd på 0,028 (= halvdelen af første interval)

21. 1.7 Onsdagens Epinion – nu med usikkerhed

22. 2 Valgsystemet • 2 bærende principper bag det danske valgsystem: • Partierne skal have nogenlunde lige så stor en andel af mandaterne i Folketinget, som de har fået stemmer på landsplan (proportionalitet) • De enkelte folketingsmedlemmer skal have en lokal base – de skal være knyttet til et bestemt geografisk sted

23. 2 Valgsystemet • Geografi – 3 niveauer: • 3 landsdele: Hovedstaden, Sjælland-Syddanmark og Midtjylland-Nordjylland • 10 storkredse: Københavns (15), Københavns Omegns (12), Nordsjællands (10) og Bornholms (2); Sjællands (20), Fyns (12) og Sydjyllands (18); Østjyllands (18), Vestjyllands (13) og Nordjyllands (15) Storkredse • 92 opstillingskredse • 2 typer af mandater: • 135 Kredsmandater: Bundet til en bestemt storkreds • 40 Tillægsmandater: Bruges til udjævning – bundet til en bestemt landsdel (10, 16, 14)

24. 2 Valgsystemet • Mandatfordelingen foregår i 6 trin: • Fordeling af kredsmandater, efter d’Hondts divisorrække • Kontrol af spærregrænsepassage • Overordnede nationale fordeling af mandater, efter største brøks metode • Tillægsmandater fordeles på partier inden for landsdelene, efter Sainte-Laguës divisorrække • Tillægsmandater fordeles på partier inden for storkredsene, efter danske divisorrække • Fordeling af mandater på personer

25. 2 Valgsystemet 1 Fordeling af kredsmandater: • Inden for hver storkreds divideres alle partiernes stemmetal med tallene 1, 2, 3, 4 osv., og kredsmandaterne fordeles til de højeste kvotienter 2 Kontrol af passage af spærregrænsen: • = adgang til tillægsmandater • 3 regler: Enten… • Mindst et kredsmandat • I to af tre landsdele mindst lige så mange stemmer som gennemsnitlige antal gyldige stemmer pr. kredsmandat • 2% af de afgivne stemmer på landsplan

26. 2 Valgsystemet 3 Overordnede nationale mandatfordeling: • Stemmetallene for de partier, der er over spærregrænsen lægges sammen og divideres med antal mandater til fordeling (oftest alle 175) • Det herved fremkomne tal (19593,47 i 2007) divideres så op i alle partiernes stemmetal • De herved fremkomne hele tal angiver antal mandater til hvert parti • Hvis der er mandater til overs, fordeles de til partierne efter størrelsen af decimalbrøkerne

27. 2 Valgsystemet 4 Tillægsmandaternes fordeling I – På partier inden for landsdelene: • Partiernes stemmetal i hver landsdel divideres med tallene 1, 3, 5, 7 osv. • Der ses så bort fra lige så mange kvotienter, som partierne har opnået kredsmandater • Blandt de resterende kvotienter fordeles tillægsmandaterne, indtil hver landsdel og hvert parti har fået opfyldt deres kvoter

28. 2 Valgsystemet 5 Tillægsmandaternes fordeling II – På partier inden for storkredsene: • Partierne stemmetal i hver storkreds divideres med tallene 1, 4, 7, 10 osv. • Der ses så bort fra lige så mange kvotienter, som partierne har opnået kredsmandater • Blandt de resterende kvotienter fordeles tillægsmandaterne, indtil hvert parti har fået opfyldt sin kvote i den pågældende landsdel

29. 2 Valgsystemet 6 Fordeling af mandater på personer: • Afhænger af opstillingsformen: • Sideordnet (m/u nominering) • Kredsvis • (Kredsvis med) Partiliste • Sideordnet: Hver kandidat får i hver kreds egne personlige stemmer + en andel af partistemmerne i kredsen, som svarer til deres andel af de personlige stemmer i kredsen. Mandaterne fordeles i rækkefølgen efter disse stemmetal • Partiliste: Mandaterne fordeles efter rækkefølgen på listen – med mindre en kandidat ’sprænger listen’ og får flere stemmer end fordelingstallet (partiets samlede stemmetal i kredsen/antal mandater+1) – så er man valgt umiddelbart