Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 5. Z-transformation Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

2. Repetition Basis signaler: Unit sample og Unit step

3. Repetition Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim

4. LTI egenskaber:Stabilitet og impuls responsen Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis

5. Stabilitet • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset • Bounded input Bounded output (BIBO) Givet

6. Repetition Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne • Differentialligninger har ikke unikke løsninger • Lineart hvis systemet initialiseres ved hvile ved n=0

7. Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

8. Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

9. Hvorfor z-transformation • Z-transformationen giver analytiske fordele • Hurtig foldning mellem signaler • Kan bruges på den stor gruppe af signaler

10. Z-transformation Im 3 • z-transformation • Hvor z er et komplekst tal F.eks. z=2+j3 z 2 1 Re 1 2

11. Simple eksempler

12. Konvergens af z-transformation • z transformationen må repræsentere en endelig værdi for en givet z. • Hvilket kræver at z transformationen summen konvergere Derfor skal z ligge i det som hedder region of convergence

13. Simple eksempler ROC: Hvis k>0

14. Z-transformation og konvergens Im 3 • z-transformation • Z på polar form 2 1 r ω Re 1 2

15. Konvergens af z-transformation afhængig af |z| • Da • Da det er r-n ledet som afgør konvergens er |z| afgørende for konvergens i z-transformationer

16. z-transformation af unit step (1/2) Konvergere summen? (Hvis du kender z) Ja hvis |z|>1

17. z-transformation af unit step (2/2) • Husk at: Hvor • Derfor bliver z-transformationen af unit step • Hvis r>1 (eller |z|>1) konvergere z- transformationen af unit step responsen

18. Regionen af konvergens (ROC) Im 3 • Da konvergensen kun afhænger af amplituden af |z| og er uafgængi af fasen vil værdierne af z som opfylder konvergens formes som en cirkel i det komplekse plan • Altså hvis |z|>1 som vi fandt ved Unit step signalet 2 1 Re 1 2

19. Regionen af konvergens (ROC) Im 3 • Hvis|z|<0.7 2 1 Re 1 2

20. Eksempel • Højresiddet eksponentiel signal • Z-transformation: • For at konverger skal • Det vil sige hvilket sker når • Hvis |z|>a kan vi bruge vores geometriske rækker Im 1 1 Re * a

21. Eksempel • Venstre eksponentiel signal • Z-transformation: • For at konverger skal hvilket sker når • Hvis |z|<a kan vi bruge vores geometriske rækker Im 1 1 Re * a

22. ROC og signal typer • Kausal eksponentiel

23. ROC og signal typer • Ikke Kausal eksponentiel (Venstre sidet)

24. Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

25. Z transformationer som en rationel funktion • Det vil sige en ratio mellem 2 polynomiske funktioner Hvor P(z) og Q(z) er polynomier

26. Nuller og Poler • Nuller • Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller • Hvilket er rødderne til tæller polynomiet • Poler • Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler • Hvilket er rødderne til nævner polynomiet • ROC kan ikke indeholde polerne

27. Nuller og Poler i vores tidligere eksempler • Nuller: X(z)=0 når z=0 • Poler: X(z)=∞ når z=a Højresiddet eksponentiel signal: Im 1 1 Re * a

28. Z-transformation Eksempel • Kombination af to eksponentielle signaler Im 1 1 Re *1/2 *1/3

29. Egenskaber ved ROC • Egenskab 1: • ROC er en ring eller skive centeret i z-planet • Egenskab 2: • Fourier transformationen konvergere kun hvis enhedscirkelen er inkluderet i ROC • Egenskab 3: • ROC indeholder ingen poler

30. Egenskaber ved ROC • Egenskab 4: • Når x[n] er afgrænset fylder ROC hele z-planet på nær z=0 og z=∞ Im 1 1 Re a

31. Egenskaber ved ROC • Egenskab 5: • Når x[n] er højre siddet (Kausalt) er ROC er en ring som forsætter fra den største pol til z=∞ Im 1 1 Re a *

32. Egenskaber ved ROC • Egenskab 6: • Når x[n] er venstre siddet (ikke Kausalt) er ROC er en skive som afgrænses af den mindste pol Im 1 1 Re a *

33. Egenskaber ved ROC • Egenskab 7: • Når x[n] er to siddet er ROC er en ring som afgrænses af den mindste pol som bidrager til n<0 og den største pol som bidrager til n>0. Im 1 a2 a1 * * 1 Re

34. Egenskaber ved ROC • Egenskab 8: • ROC er en sammenhængende region

35. Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

36. Formel Invers z-transformation Im 1 Hvor C er mod uret integrering over en cirkel som omgrænser alle poler 1 Re * * a *

37. Invers z-transformation praktisk • Inspektions metode • Partialbrøks-opspaltning • Potensrække ekspansion (power series expansion)

38. Invers z-transformation Inspektions metode • Genkendelse af kendte transformations par. • Kig i tabel 3.1 i bogen • Eksempel. Vi ved at • Så når vi ser en z-transformation som ser sådan ud • Kan vi se at:

39. Fra z-transformation til tidsdomæne Z-transformation Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion Inspektion Tidsdomænet

40. Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning • Når vi ikke umiddelbart kan finde funktions led i tabeller. Kan vi måske simplificere funktionen med PartialbrøksopspaltningEn rationelt funktion som denne • Kan faktoriseres Hvor ck er ikke nul nuller og dk er ikke nul poler

41. Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning • Hvis M<N kan • Ekspanderes som • Hvor Ak kan findes: Hvis M≥N kan antallet af nuller (M) reduceres med polynomiedivision

42. Partialbrøksopspaltningeksempel (1/4) Z transform: Vi har anden orden poler og nuller alstå M=N. Derfor reducere vi antallet af nuller med polynomiedivision

43. Partialbrøksopspaltning eksempel (2/4) Fra forrige side Poler: zk Faktoriseret udgave Ekspansion:

44. Partialbrøksopspaltning eksempel (3/4) Beregning af A1: Hvor vi ved fra forrige side: A1 er derfor: Når z=1/2 er A1 derfor:

45. Partialbrøksopspaltning eksempel (4/4) • A2 findes på samme måde • Derfor er • Ved inspektion og ved hjælp fra tabel 3.1

46. Invers z-transformation Potensrække ekspansion • Det inverse af hvad vi gør med de geometriske rækker: • Ved hjælp af Inspektion finder vi:

47. Eksempel: på potensrække ekspansion • Her kan vi dividere brøken ud til summerings række, med polynomiedivision • Resultat ved hjælp af Inspektion

48. Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

49. Egenskaber ved z- transformation • Z-transformationen er Lineær

50. Egenskaber ved z- transformation • Tids skifte x[n-n0]: • Bevis: Z-transformation: Substituer: m=n-n0