540 likes | 710 Views
Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer) . Session 5 . Z-transformation Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk. http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/. Repetition. Basis signaler: Unit sample og Unit step. Repetition. Impuls respons. T{ ∙ }.
E N D
Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 5. Z-transformation Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/
Repetition Basis signaler: Unit sample og Unit step
Repetition Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim
LTI egenskaber:Stabilitet og impuls responsen Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis
Stabilitet • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset • Bounded input Bounded output (BIBO) Givet
Repetition Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne • Differentialligninger har ikke unikke løsninger • Lineart hvis systemet initialiseres ved hvile ved n=0
Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:
Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation
Hvorfor z-transformation • Z-transformationen giver analytiske fordele • Hurtig foldning mellem signaler • Kan bruges på den stor gruppe af signaler
Z-transformation Im 3 • z-transformation • Hvor z er et komplekst tal F.eks. z=2+j3 z 2 1 Re 1 2
Konvergens af z-transformation • z transformationen må repræsentere en endelig værdi for en givet z. • Hvilket kræver at z transformationen summen konvergere Derfor skal z ligge i det som hedder region of convergence
Simple eksempler ROC: Hvis k>0
Z-transformation og konvergens Im 3 • z-transformation • Z på polar form 2 1 r ω Re 1 2
Konvergens af z-transformation afhængig af |z| • Da • Da det er r-n ledet som afgør konvergens er |z| afgørende for konvergens i z-transformationer
z-transformation af unit step (1/2) Konvergere summen? (Hvis du kender z) Ja hvis |z|>1
z-transformation af unit step (2/2) • Husk at: Hvor • Derfor bliver z-transformationen af unit step • Hvis r>1 (eller |z|>1) konvergere z- transformationen af unit step responsen
Regionen af konvergens (ROC) Im 3 • Da konvergensen kun afhænger af amplituden af |z| og er uafgængi af fasen vil værdierne af z som opfylder konvergens formes som en cirkel i det komplekse plan • Altså hvis |z|>1 som vi fandt ved Unit step signalet 2 1 Re 1 2
Regionen af konvergens (ROC) Im 3 • Hvis|z|<0.7 2 1 Re 1 2
Eksempel • Højresiddet eksponentiel signal • Z-transformation: • For at konverger skal • Det vil sige hvilket sker når • Hvis |z|>a kan vi bruge vores geometriske rækker Im 1 1 Re * a
Eksempel • Venstre eksponentiel signal • Z-transformation: • For at konverger skal hvilket sker når • Hvis |z|<a kan vi bruge vores geometriske rækker Im 1 1 Re * a
ROC og signal typer • Kausal eksponentiel
ROC og signal typer • Ikke Kausal eksponentiel (Venstre sidet)
Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation
Z transformationer som en rationel funktion • Det vil sige en ratio mellem 2 polynomiske funktioner Hvor P(z) og Q(z) er polynomier
Nuller og Poler • Nuller • Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller • Hvilket er rødderne til tæller polynomiet • Poler • Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler • Hvilket er rødderne til nævner polynomiet • ROC kan ikke indeholde polerne
Nuller og Poler i vores tidligere eksempler • Nuller: X(z)=0 når z=0 • Poler: X(z)=∞ når z=a Højresiddet eksponentiel signal: Im 1 1 Re * a
Z-transformation Eksempel • Kombination af to eksponentielle signaler Im 1 1 Re *1/2 *1/3
Egenskaber ved ROC • Egenskab 1: • ROC er en ring eller skive centeret i z-planet • Egenskab 2: • Fourier transformationen konvergere kun hvis enhedscirkelen er inkluderet i ROC • Egenskab 3: • ROC indeholder ingen poler
Egenskaber ved ROC • Egenskab 4: • Når x[n] er afgrænset fylder ROC hele z-planet på nær z=0 og z=∞ Im 1 1 Re a
Egenskaber ved ROC • Egenskab 5: • Når x[n] er højre siddet (Kausalt) er ROC er en ring som forsætter fra den største pol til z=∞ Im 1 1 Re a *
Egenskaber ved ROC • Egenskab 6: • Når x[n] er venstre siddet (ikke Kausalt) er ROC er en skive som afgrænses af den mindste pol Im 1 1 Re a *
Egenskaber ved ROC • Egenskab 7: • Når x[n] er to siddet er ROC er en ring som afgrænses af den mindste pol som bidrager til n<0 og den største pol som bidrager til n>0. Im 1 a2 a1 * * 1 Re
Egenskaber ved ROC • Egenskab 8: • ROC er en sammenhængende region
Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation
Formel Invers z-transformation Im 1 Hvor C er mod uret integrering over en cirkel som omgrænser alle poler 1 Re * * a *
Invers z-transformation praktisk • Inspektions metode • Partialbrøks-opspaltning • Potensrække ekspansion (power series expansion)
Invers z-transformation Inspektions metode • Genkendelse af kendte transformations par. • Kig i tabel 3.1 i bogen • Eksempel. Vi ved at • Så når vi ser en z-transformation som ser sådan ud • Kan vi se at:
Fra z-transformation til tidsdomæne Z-transformation Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion Inspektion Tidsdomænet
Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning • Når vi ikke umiddelbart kan finde funktions led i tabeller. Kan vi måske simplificere funktionen med PartialbrøksopspaltningEn rationelt funktion som denne • Kan faktoriseres Hvor ck er ikke nul nuller og dk er ikke nul poler
Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning • Hvis M<N kan • Ekspanderes som • Hvor Ak kan findes: Hvis M≥N kan antallet af nuller (M) reduceres med polynomiedivision
Partialbrøksopspaltningeksempel (1/4) Z transform: Vi har anden orden poler og nuller alstå M=N. Derfor reducere vi antallet af nuller med polynomiedivision
Partialbrøksopspaltning eksempel (2/4) Fra forrige side Poler: zk Faktoriseret udgave Ekspansion:
Partialbrøksopspaltning eksempel (3/4) Beregning af A1: Hvor vi ved fra forrige side: A1 er derfor: Når z=1/2 er A1 derfor:
Partialbrøksopspaltning eksempel (4/4) • A2 findes på samme måde • Derfor er • Ved inspektion og ved hjælp fra tabel 3.1
Invers z-transformation Potensrække ekspansion • Det inverse af hvad vi gør med de geometriske rækker: • Ved hjælp af Inspektion finder vi:
Eksempel: på potensrække ekspansion • Her kan vi dividere brøken ud til summerings række, med polynomiedivision • Resultat ved hjælp af Inspektion
Session 3. • Z-transform • Z transformationer som en rationel funktion • Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation
Egenskaber ved z- transformation • Z-transformationen er Lineær
Egenskaber ved z- transformation • Tids skifte x[n-n0]: • Bevis: Z-transformation: Substituer: m=n-n0