Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 7. Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

2. Agenda • Amplitude og fase respons plots fortsat. • Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre • Matlab

3. Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

4. Repetition IIR og FIR filter • IIR • Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) • FIR • Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

5. Repetition ROC af differentiel funktioner Im 3 • Hvis systemet er kausalt • Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet 2 1 Re 1 2 * * Im 3 2 1 Re * * 1 2 5

6. Stabilt system • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset ”Bounded input Bounded output (BIBO)” • I tids domænet: • Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis • Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt • Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen

7. Repetition Amplitude og fase respons • Amplitude output : • Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

8. Repetition Amplitude og fase respons: Ideelle delay system • Ideelle delay system: • Frekvens respons • Amplitude respons • Fase respons

9. Repetition Group delay • Forskydning opgivet i samples (tid) • Idelledelay: Group delay:

10. Repetition Ideelt gruppe delay • I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser • Da • forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.

11. Agenda • Amplitude og fase respons plots fortsat. • Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre • Matlab

12. Frekvens respons af LTI systemer Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet

13. Amplitude og fase respons • Amplitude output : • Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

14. EKG filteret med et filter med ikke linear fase

15. Frekvens respons af rationelle systemer • Ved at substituere z=ejω

16. Amplitude respons af rationelle systemer Amplitude respons: Amplitude respons: multiplikation/division af absolutte faktorer

17. Fase respons af rationelle systemer Fase respons: Gruppe delay: Addering/substrahering af absolutte faktorer

18. Amplitude respons i dB • Amplitude respons i dB: • Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering

19. Generaliseret lineær fase Hvor A er en reel funktion til ω Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter

20. Eksempel på Generaliseret lineær fase Z transform FT transform Sidste led er jævnfør bevis side 73 Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels

21. Symmetri af impulsresponser Sikkerhed for generel lineær fase hvis Symmetrisk impuls respons: Antisymmetrisk impuls respons:

22. Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer Type I: h[n]=h[m-n] (M Even) Type II, h[n]=h[m-n] (M odd) Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even) Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)

23. Agenda • Amplitude og fase respons plots fortsat. • Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre • Matlab

24. Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2) System z-domæne: System Fourier domæne • Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet • Fra vektor matematik ved vi: • Og da amplitude responsen er Nul vektor Derfor

25. Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

26. Polers virkning på amplitude responsen Et nul punkt og ingen pol: Ingen nul punkt og en pol Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude

27. Fase respons fra z-planet nul punkt System z-domæne: System Fourier domæne • Husk faser fra flere systemer skal adderes: • Derfor er • Da • Er

28. Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

29. Agenda • Amplitude og fase respons plots fortsat. • Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre • Matlab

30. Ideelle filtre Fjerner uønskede signaler Påvirker ikke det ønskede signal

31. Implusrespond for ideellet lavpas filter

32. Poler og nulpunkter

33. Fra lavpas til højpas filtere Invers Fourier Differrens funktion

34. Digital resonator • Poler tæt på enhedscirklen

35. Notch Filter Im 3 • Nul punkter tæt på enhedscirklen 2 1 Re o 1 2 o o

36. All-pass filter F.eks.

37. Agenda • Amplitude og fase respons plots fortsat. • Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre • Matlab

38. Test af digitalt system (A) • Find impuls responsen af system2.m

39. Test af digitalt system (A) • Er systemet lineært? • Er det tidsinvariant? • Er det kausalt? • Er det stabilt? • Er det et IR eller FIR system?

40. Lineært system Defineret ud fra superposition

41. Tidsinvariante systemer • Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) • Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år Ikke tidsinvariant system 20 år 45 år 70 år

42. Kausalitet • Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. • y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

43. Stabilitet • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset • Bounded input Bounded output (BIBO) • Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi Givet

44. FIR systemer • Finiteimpulseresponse (FIR) • Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen • Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige

45. IIR systemer • Infiniteimpulseresponse (IIR) • Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen • Kan være både stabilt og ustabilt • Eksempel på et stabilt system

46. Test af digitalt system (A) • Er systemet lineært? Ja • Er det tidsinvariant? Ja • Er det kausalt? Ja • Er det stabilt? Ja • Er det et IR eller FIR system? FIR

47. Test af digitalt system (B)systemB.m • System respons • Bestem poler og nul punkter • Find frekvensen responsen H(ej) analytisk • Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls responsen

48. Output af system • Bestem output hvis inputtet er • Bestem y[n] med ved hjælp af systemet • Bestem y[n] med foldning i mellem • Bestem y[n] med Fourier transform • Bestem y[n] med input output funktion (Differentiel funktion)