Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik 2(Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 12. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

2. IIR og FIR filtre • IIR • Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) • FIR • Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

3. IIR vs FIR filter • Hvorfor IIR filtre? • IIR filter har stejlere ”sidelobes” end et FIR filter med samme antal koefficienter. • Dermed hurtigere og mindre hukommelses krævende • Hvorfor ikke ? • Et IIR filter har ikke lineær fase • Et IIR filter kan være ustabilt • ET IIR filter er mere sensitivt i for hold til afrundingsfejl

4. Definitioner på filter

5. Navne af frekevnes variabler i kontinuær og diskret domæne T= samplings perioden

6. Design af digitale IIR filtre ved hjælp af IIR analoge filtre Specifikation af filteret i digitalt domæne Konverter specifikationer til analogt Design filteret i det analoge domæne Konverter det analoge filter til det digitale domæne Implementer filteret i det digital domæne

7. Stabile systemer in z og s domænet s: Poler skal være i venstre halvdel • Z: Poler skal være i enhedscirklen Im jΩ 1 1 1 1 σ Re *1/2 *1/2 *1/3 *1/3

8. 3 metoder til konvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre • Approksimation af afledte • Impuls invarians • Bilineær Transformation

9. Bilineær Transformation • Ved den Bilineær Transformation sættes s lig med • Det betyder at:

10. Karakteristika ved Bilineær Transformation • Poler fra højre side i s-planet ligger udenfor enhedscirkelen. • Modsat poler fra venstre side i s-planet som ligger indenfor enhedscirklen Im jΩ 1 1 1 1 σ Re

11. Karakteristika ved Bilineær Transformation (3) • Sammenhæng mellem ΩT og ω

12. Karakteristika ved Bilineær Transformation (4) Im jΩ 1 1 1 1 σ Re

13. Agend Design of Digital IIR filters • Design af lowpass filtre • Design af digitale Butterworth filtre • Design af digitale Chebyshev filtre • Design af digitale Elliptic filtre

14. Analogt lavpasButterworth filter • Er et ”all pole” filter • Kvadreret frekvens amplitude respons • N:filter orden • Ωc: 3dB knæk frekvens • Ωp: Anden knæk frekvens • ε: relateret til dæmpning ved knæk frekvens se figur. • Laplace transformation eller

15. Poler fra analogt Butterworth filter jΩ Ωc σ Polerne vil ligge spejlet omkring både den imaginære akse og den reelle akse.

16. Design af digitalt lavpassButterworth filter • Steps: • Konverter specifikationer fra digitale til analoge specifikationer (ω til Ω) Formel 7.26 • Beregn nødvendig filter orden. Formel 7.29- • Dan overførselsfunktionen H(s) ud fra poler i venstre halvplan • Bestem Gain ved Ω=0 • Transformer til z domænet med bilineær transformation. Formel 7.18 • Omskriv til simple rationel form (bk og ak koefficienter)

17. Konverter specifikationer fra digitale til analoge specifikationer (Step 1) • Hvis specifikationen er opgivet i Hz find den normaliserede vinkel hastighed • ωc=2πFc/Fs • Omdan knækfrekvensen ωc til Ωc • Samme procedure for andre vinkel hastigheder. F.eks. • Stopbånds frekvenser (ωs )

18. Bestem filter orden (Step 2) Ωckendt Ωc =3 dB cut off frequency • Hvis filter orden (N) er forud defineret forsæt til næste slide. • Hvis en given dæmpning (δ2) er påkrævet ved Ωs og Ωc findes N ved: δ2: dæmpning i stopbånd et vedΩc Obs: Hvis N ikke er et hel tal rundes op

19. Bestem filter orden (Step 2) Ωcukendt • Ωs: Stop bånd knæk frekvens • Ωp:Passbånd knæk frekvens • δ1: dæmpning i stopbånd et ved Ωp • δ2: dæmpning i stopbånd et vedΩs • Løs for Ωc • Ωc kan findes fra Obs: Hvis N ikke er et hel tal rundes op

20. Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3) • Beregn poler: • Opstil system funktion fra poler i venstre halv plan altså dem fra H(s)

21. Bestem gain (Step 4) • Normalt ønskes i gain på 1 ved DC. • Find G så H(0)=1;

22. Fra s domæne til z domæme (Step 5) • Brug bilinear transformation Bilinear transformation

23. Fra kompleks z transformation til tidsdomæne filter (Step 6) Simplificer Invers z-transformation

24. Eksempel • Konstruer et digitalt butterworthlavpas filter (fc=40 Hz, Fs=200 sps. og δ2=20dB dæmpning ved fs=60Hz)

25. Eksempel step 1 • Normaliserede vinkel hastighed: • Knækfrekevns • Stopbåndets hjørne frekvens • Fra digital til analog vinkel hastighed (T=1) ωc=2π 40/200=0.4 π ωc=2πFc/Fs ωs=2π 60/200=0.6 π

26. Eksempel: Bestem filter orden (Step 2) • Ønsket dæmpning ved Ωs 20dB Filter orden N=4

27. Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3) • Beregn poler: • Absolut værdi: • Vinkeler:

28. Bestem overførselsfunktionen fra poler i venstre side af s-planet (Step 3 forsat) Opstil system funktion fra poler i venstre halvplan 4 poler i venstre halvplan: 4 poler i venstre halvplan: Tip: multiplikation af kompleks konjugerede

29. Bestem gain (Step 4) • Find G så H(0)=1;

30. Fra s domæne til z domæme (Step 5) • Bilinear transformation Bilinear transformation

31. Fra kompleks z transformation til tidsdomæne filter (Step 6) Mål:

32. Test af eksempel • Test i matlab • Sammenlign med ”butter” i matlab b=[0.0464 0.1855 0.2782 0.1855 0.0464]; a=[1.0000 -0.7821 0.6800 -0.1827 0.0301]; freqz(b,a,1000,200) [b a]=butter(4,[40/100]) b =[0.0466 0.1863 0.2795 0.1863 0.0466] a =[1.0000 -0.7821 0.6800 -0.1827 0.0301]

33. Chebyshev filter type I • Overførselsfunktion • Hvor ε er relateret til ripples i pasbåndet • Hvor TN er et N ordens polynomium

34. Chebyshev filter type IPoler • Polerne ligger på en ellipse Hvor β er relateret til ε • Polernes location: Hvor vinklen φk er:

35. Chebyshev filter type II • Overførselsfunktion • Bemærk indeholder også nulpunkter • Hvor ε er relateret til ripples i stopbåndet • Hvor TN er samme Chebyshev polynomium

36. Bestem filter orden (N) på Chebyshev filter • Hvor • N: filter orden • ε:Ripple ipass bånd • δ2 : Dæmpning i stopbåndet • Ωs: Knæk frekvens • Ωp: Start på stopbånd • Hvor TN er samme Chebyshev polynomium

37. Transformationaf lavpas filtre til andre filter typer. • Transformer et eksisterende filter til ønskede egenskaber. Simple transformation Spejl poler omkring IMG. aksen

38. Transformation i analogt domæne Oprindelig knæk frekvens Laveste knækfrekvens Ny knæk frekvens Højeste knækfrekvens

39. Eksempel • Konverter vores lavpas filter til et højpas filter med knæk frekvens ved ωc=0.5 π

40. Test af eksempel i Matlab b=[4.4582 0 000]; a=[4.4582 44.0858 218.3620 632.8550 918.6960]; freqs(b,a)

41. Transformation i det digitale domæne

42. Eksempel digitalt • Konverter vores lavpas filter til et højpas filter med knæk frekvens ved ωc=0.5 π • Oprindelig knækfrekvens ωp=0.4π • Ny knækfrekvens ω’p=0.5π • Transformation:

43. Test af digitalt eksempel i Matlab b=[0.0754 -0.0801 0.1131 -0.1045 -0.0197]; a=[1.0000 0.9342 1.0437 0.4071 0.0419]; freqz(b,a,1000,200) Ups: lille fejl

44. Sammenligning mellem filtre • 4. ordens filter (fc=40 Hz, fs =80 Hz ,Fs=200 sps)

45. Update tilnæsteår • Mere fokus på transformation mellem filter typer • Mere fokus på Butterworth poler • Ny opgaver mindre bi linear