La sezione aurea

1. La sezione aurea Di Luca Bartolomei Classe II sez. E anno scol. 2005-’06 Luca Bartolomei II E

2. Cos'è la sezione aurea Cos’è la bellezza? È nell’occhio di chi guarda, quindi soggettiva, o è ancorata a canoni classici? E che rapporto c’è tra la bellezza umana e quella di un dipinto o di un paesaggio? La risposta potrebbe essere affidata alla matematica. Il segreto della bellezza universale sarebbe tutto riconducibile ad un rapporto: il rapporto aureo. La spiegazione sarebbe dovuta a meccanismi neurologici: il nostro cervello mostrerebbe una naturale preferenza verso linee e forme disegnate che richiamano quel rapporto matematico. Un rapporto che compare ovunque, nei modi più impensati, e che non poteva non colpire matematici architetti, scultori ed artisti Luca Bartolomei II E

3. La sezione aurea in matematica Matematicamente per SEZIONE AUREA si intende un segmento che sia medio proporzionale tra la lunghezza di tutto il segmento intero e la parte rimanente. Dato un segmento AB, se lo dividiamo in due parti, AP e PB, tali che la parte maggiore AP sia media proporzionale tra l’intero segmento AB e la parte restante PB, si dice che AP è la sezione aurea del segmento AB. In tal caso il rapporto fra AP ed AB risulta essere uguale a 0,618. Per trovare la sezione aurea di un segmento basta moltiplicare la lunghezza del segmento dato per il numero 0,618. Luca Bartolomei II E

4. Si può dimostrare che il rapporto aureo φ = 1,6180339887…, è un numero irrazionale, ovvero un numero decimale con infinite cifre decimali, e senza periodo. RICAPITOLANDO: AB / AC = 0,618 AC / AB = 1,618 Questo numero è detto "numero d'oro" per le sue molteplici proprietà. E’ chiamato RAPPORTO AUREO e viene indicato con la lettera φdell’alfabeto greco, in onore dello scultore Fidia, del cui nome è l’iniziale . Luca Bartolomei II E

5. La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici (seguaci della scuola filosofica fondata da Pitagora). Essi scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio. Costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di ricoscimento. Questo si ottiene proprio dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no. Nella stella a cinque punte ogni segmento AC è sezione aurea di tutta la parte AB. Luca Bartolomei II E

6. Leonardo Fibonacci:era un matematico pisano ricordato soprattutto per via della sua serie numerica divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri: 0,1,1,2,3,5,8,13,21…. Tra i numeri di questa successione esiste questa relazione: ogni termine successivo è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti. Più importante dal nostro punto di vista è il fatto che il rapporto tra due termini successivi si avvicini molto rapidamente a 0,618: 1:2=0,500 8:13=0,615 2:3=0,667 13:21=0,6193:5=0,600 21:34=0,6185:8=0,625 34:55=0,618 Luca Bartolomei II E

7. Costruzione geometrica della sezione aurea COSTRUZIONE DEL SEGMENTO AUREO Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M (punto medio) . Dall'estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino a ottenere CB = MB. Dal punto C, e con apertura CB, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si ottiene il punto E che divide il segmento AB in due parti in proporzione aurea AB / AE = 0,618 AB : AE = AE : EB Luca Bartolomei II E

8. TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno origine a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente. Luca Bartolomei II E

9. TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che: AC:BC=BD:DC  e dunque:        AC:AD=AD:DC Luca Bartolomei II E

10. PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo. Luca Bartolomei II E

11. RETTANGOLO AUREO Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando A’ il punto medio. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:EB=AB:AE Luca Bartolomei II E

12. SPIRALE AUREA Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua. Luca Bartolomei II E

13. Applicata all'architettura Non è nota l'origine della conoscenza della sezione aurea, ma  esempi della sua applicazione  si possono trovare nella proporzione di numerose opere architettoniche del passato. Luca Bartolomei II E

14. MEGALITI DI STONEHENGE Il rapporto tra gli elementi, sempre di 1.6, fa sì che ci sia una giusta proporzione, per esempio, tra la larghezza e l’altezza delle aperture o tra un cerchio di pietre e l’altro. Questo fa sì che, stando all’interno del monumento, ci si senta a proprio agio e non si avverte minimamente l’incombenza della struttura, come ci si potrebbe invece aspettare, data la mole delle pietre che lo compongono. Luca Bartolomei II E

15. PARTENONE DI ATENE Anche i matematici e gli architetti greci (da Pitagora, a Euclide e a Fidia) conoscevano la sezione aurea. La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte. Luca Bartolomei II E

16. ARCO DI COSTANTINO E' il più importante degli archi trionfali romani, innalzato per celebrare la vittoria dell'imperatore Costantino su Massenzio. Fu costruito nel 313 d.C. L'altezza dell'arco divide l'altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la base e il listello inferiore. Luca Bartolomei II E

17. Applicata alla pittura Durante il soggiorno  a Milano, presso la corte sforzesca di Ludovico il Moro, Leonardo ebbe modo di conoscere il matematico Luca Pacioli, al quale egli fu legato anche da profonda amicizia e da reciproca collaborazione.  Infatti nella stesura del trattato “ de Divina Proportione ", che il Pacioli  compose attorno al 1498, Leonardo diede la propria collaborazione realizzando ben sessanta  disegni esplicativi. LEONARDO DA VINCI(1452-1519) Questo libro fu poi pubblicato a Venezia nel 1509 ed influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo, ma anche delle epoche successive. Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine e di armonia. Luca Bartolomei II E

18. Nella Donna scapigliatala testa  è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli. Anche l'inclinazione del capo non è casuale ma segue la diagonale del quadrato. Nella Gioconda possiamo individuare la figura di un rettangolo aureo nella disposizione del quadro e nelle dimensioni del viso. La figura può essere inoltre racchiusa in un triangolo aureo nel quale il braccio destro segue la direzione della bisettrice dell'angolo di base, che, a sua volta, divide il lato opposto in un rapporto aureo. Luca Bartolomei II E

19. Nell’Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, essendo racchiuso in un rettangolo aureo. Luca Bartolomei II E

20. Nell'Annunciazione, la figura e la postura dell'angelo sono in proporzione aurea rispetto alla sua distanza dalla Vergine. Luca Bartolomei II E

21. Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea applicate al corpo umano. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo secondo il rapporto aureo. Vitruvio nel De Architectura scrive: "Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi". Luca Bartolomei II E

22. La sezione aurea affascinò altri pittori, come Botticelli (1445-1510) e la rappresentò ne La Venere. Infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva di Venere il loro rapporto risulterà 0.618. Così anche il rapporto tra  la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza di tutto il braccio.  Luca Bartolomei II E