Unidade I

1. Unidade I Introdução à Matemática Computacional Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN

2. Índice Vetores no R2, R3, Rn Espaço Vetorial Combinação linear Vetores LI e LD Base Resolução de sistemas lineares Determinação da Inversa de uma matriz

3. Vetores no R2 Representação:

4. (2, 4, 3) Vetores no R3 Representação:

5. Vetores no Rn Representação: Operações e Adição: Multiplicação por escalar:

6. E devem satisfazer, para quaisquer e 5) 1) As seguintes propriedades: 6) 2) 7) 3) Existe tal que 8) 4) Existe tal que Espaço Vetorial Definição: Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas operações Soma: Mult. por escalar:

7. Combinação Linear R³ Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), e reais (ou complexos). Então, é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de Ex:

8. Dependência e Independência Linear Definição: Sejam V um espaço vetorial e . Dizemos que o conjunto é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I, se a equação . Caso exista algum dizemos que Implica que é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D. Exemplo O conjunto é LD ou LI ?

9. De ( II ) vem que Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com e Fazendo, por exemplo, obtemos Encontramos a seguinte combinação linear Logo, o conjunto é LD. é LD ou LI ? Solução: O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre.

10. Base ( i ) é LI, e ( ii ) Exemplo: é uma base de ? Solução: Temos que verificar se ( i ) é LI, e ( ii ) ( i ) Logo, é LI Definição: será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se: Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos

11. Base Portanto, Logo, é uma base de . Exemplo:

12. Resolução de sistemas lineares Seqüência de operações elementares Matriz ampliada do sistema Forma escada reduzida por linha Portanto, o sistema é possível e determinado com solução única Ex.:

13. Resolução de sistemas lineares Seqüência de operações elementares Matriz ampliada do sistema Ex.:

14. Como o número de variáveis é igual ao número de equações. O sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única. Neste caso, o número de variáveis é maior que o número de equações. O sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que uma das variáveis , a variável livre, receberá um valor arbitrário. Neste caso a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =. Soluções do sistema (método do escalonamento) Ex.:

15. Determinação da Inversa de uma matriz A I Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.

17. I A-1 Portanto,

18. A I  I Quando A não admite inversa. Exemplo: Como a forma escada não é a identidade, a matriz Anão tem inversa.

19. Bibliografia - BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA

20. Ex.: Ex.: Operações elementares 1) (permutar duas linhas) Ex.: 2) e 3) voltar

21. Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F   (1) V   (1) F

22. Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F   (1) V   (1) F   (2) V   (2) F

23. Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F   (1) V   (1) F   (2) V   (2) F   (3) V

24. Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F   (1) V   (1) F   (2) V   (2) F   (3) V   (4) V