Notazione (simboli)

1. Notazione (simboli) • Obbiettivo: occorre che si ‘mantengano le tracce’ , in merito al punteggio, relativamente a che soggetto appartiene, a che tempo si riferisca, e a che gruppo appartiene il soggetto. Pertanto servono 3 deponenti. • Occorre porre attenzione, poiché i testi talvolta usano notazioni diverse • Yikj • k indica il gruppo, con k che varia da 1 a K (k=1,..,K) • i è il soggetto, con i che varia da 1 a M (i=1,..,M) • (I1=68, I2=67) • j è il tempo, con j che varia da 1 a J (j=1,..,J) Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

2. Esempio • Si considerano 68 persone che si preparano per l’esame di ammissione. Ognuna fornisce informazioni sull’ansia nel mese precedente l’esame. • Per ogni soggetto, si calcolano 4 punteggi nel corso di ogni settimana relativi al livello d’ansia • Si inserisce un gruppo ‘di controllo’ di 67 soggetti che non devono sostenere esami, e lo si sottopone al medesimo test per l’ansia con la medesima cadenza settimanale • k indica il gruppo, con k che varia da 1 a 2 (k=1,2) • i è il soggetto, con i che varia da 1 a M1 (i=1,.., 68) e M2 (i=1,.., 67) • (M1=68, M2=67) • j è il tempo Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

3. Strumenti analitici: valori attesi • Yikj è una variabile casuale (v.c.). La lettera latina minuscola indica, come usuale, la singola determinazione o realizzazione. • Sovente è prudente pensare ad una possibile distribuzione ancor prima di raccogliere i dati • Fra i valori che caratterizzano la distribuzione della (v.c.) ricordiamo: • Valori minimo e massimo • Valore atteso • Variabilità attesa Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

4. Regole per gli operatori ‘valori attesi’ • E(X)=mx è il momento primo, la media della v.c. X • Sia c una costante (un numero reale) • E(c*X) = c*E(X) = c*mx • E(X+c) = E(X)+c = mx+c • Sia Y un’altra v.c. • E(X+Y) = E(X)+E(Y) = mx + my • E(X-Y) = E(X)-E(Y) = mx - my • Considerando entrambe le v.c. X e Y, risulta: • E(`X) = E[(X1+X2)/2] =(m1 + m2)/2 = ml valore atteso della media di due v.c. è la media dei loro valori attesi Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

5. Varianze attese • E[(X-mx)2] = V(X)= sx2 • Sia c una costante (numero reale) • V(c*X) = c2*V(X) • V(X+c) = V(X) • Sia Y un’altra (v.c.) indipendente da X • V(X+Y) = V(X)+V(Y) = sx2 + sy2 • V(X-Y) = V(X)+V(Y) = sx2 + sy2 • In generale, siano Y e X due (v.c.) con covarianza nota, • Cov(X,Y) = E[(X-mx)(Y-my)] = sxy=sxsy rxy • V(aX+bY) = a2 V(X)+b2 V(Y) + 2ab Cov(X,Y) = a2 sx2 +b2 sy2 + 2ab sx sy rxy Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

6. Esempio Numerico • Valore atteso, varianza e deviazione standard nel campione dei 68 candidati agli esami di ammissione risultano pari a: • Y•13 = 1.658, .789, .888 • Y•14 = 1.979, .805, .897 • Se si aggiunge 10 a ciascun punteggio, i risultati sono • Y•13 = 11.658, .789, .888 • Y•14 = 11.979, .805, .897 • Se, invece, si moltiplica ogni punteggio per 10, i risultati sono • Y•13 = 16.58, 78.9, 8.88 • Y•14 = 19.79, 80.5, 8.97 Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

7. Strumenti analitici : richiami di algebra matriciale • ‘Liste ordinate’ di numeri sono dette vettori • ‘Liste ordinate’ di vettori sono dette matrici • E.g. Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

8. Definizioni e operazioni sui vettori • Definizione: un vettore è una lista ordinata di numeri • : aT = [a1 a2 ... ap] • Trasposta • Se a è un vettore con p elementi in colonna, allora aT è un vettore con gli stessi elementi disposti in riga. • Somma vettoriale • Se a e b sono due vettori con p elementi, (ai, bi), allora a+b è un nuovo vettore con p elementi dati dalla somma dei rispettivi elementi. • [a+b]i = [ai + bi] Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

9. Definizioni e operazioni sui vettori • Moltiplicazione vettoriale • Se a e b sono due vettori con p elementi, (ai, bi)allora aTb = S aibi = a1b1+a2b2+... + apbp • Esempio • aT = [0 0 –1 1] • Y = [Y1 Y2 Y3 Y4] • Then, aTY = Y4 – Y3 • Questo è un esempio di un vettore contrasto Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

10. Operazioni matriciali Definizione di matrice • Una matrice può essere considerata una collezione di vettori • E.g.. Una matrice di dati si compone di n righe di p variabili • La trasposta di una matrice fa divenire colonne le righe e viceversa • Somma matriciale • [A+B]ij = [aij + bij] • Sottrazione di matrici • Matrix [A-B]ij = [aij - bij] Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

11. Moltiplicatione di matrici • Una matrice Identità, I, è una matrice quadrata con valori unitari sulla diagonale principale e altrove. • A*I = A • Se A è una matrice quadrata e di rango pieno (non singolare), allora esiste la sua inversa A-1 tale che • A*A-1 = I Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004

12. Alcune osservazioni sulle moltiplicazioni matriciali • In generale, AB ~= BA • La proprietà commutativa non è soddisfatta • Quando A e B sono quadrate e di rango pieno • (A*B)-1 = B-1*A-1 • E’ soddisfatta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma • A(B+C) = AB + AC • Una matrice A può essere moltiplicata per un numero c, detto scalare, che stabilisce l’unità della nuova matrice: • cA = [cAij] Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/2004