Notazione Complessa

1. Un numero complesso è espresso come: z=a +ib dove i=-1 , a è la parte reale di z e b è la parte immaginaria di z. In alternativa si può scrivere a=Re(z) e b=Im(z). In numeri complessi si possono rappresentare nel piano complesso (Argand): la parte reale a è la proiezione di z sull’asse reale x1 la parte immaginaria b è la proiezione sull’asse immaginario x2 . Dove rappresenta il modulo di z e  è la fase di z: Notazione Complessa • In molti campi della sismologia è di notevole utilità l’utilizzo della notazione complessa. In forma alternativa i numeri immaginari si possono rappresentare in forma polare:

2. Alternativamente si ha: Due numeri immaginari sono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. La somma di due numeri immaginari si ottiene sommando le parti immaginarie e le parti complesse: La moltiplicazione di due numeri immaginari si può effettuare utilizzando si la forma z=a+ib sia la forma polare di z: Il complesso coniugato di z si indica z* ed ha la stessa parte reale di z ma parte immaginaria di segno opposto: In forma polare quindi la moltiplicazione di due numeri complessi si realizza moltiplicando i moduli e sommando le fasi.

3. Il complesso coniugato di z ha lo stesso modulo ma fase opposta. Si ha anche: La formula di Eulero è data da: Utilizzando la formula di Eulero è possibile esprimere le funzioni trigonometriche utilizzando gli esponenziali complessi:

4. Nel caso più generale un sistema ad un grado di libertà (SDOF) può essere rappresentato da una massa m una molla di costate elastica k ed uno smorzatore c. Al sistema viene applicata una forza esterna funzione del tempo f(t). f(t) f(t) • L’equazione del moto può esser ottenuta imponendo l’equilibrio dinamico al sistema: fi sono le forze inerziali, fd le forze “viscose” e fs le forze elastiche. Sistemi a un grado di libertà

5. Queste forze possono essere espresse in funzione del moto della massa. Nel caso delle forze di inerzia: Dove u rappresenta lo spostamento della massa m. Le forze viscose sono proporzionali alla velocità della massa: Le forze elastiche sono espresse da: I parametri m c e k sono costanti di proporzionalità.

6. A) Vibrazioni libere non smorzate • In questo caso si ha c=0 e f(t)=0 Dividendo per m si ottiene: L’equazione D4 è una equazione differenziale di secondo grado lineare omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale): • Sostituendo otteniamo l’equazione del moto: L’equazione D2 è una equazione differenziale di secondo grado non omogenea coefficienti costanti  E’ una equazione lineare ed è possibile ottenere la soluzione in “forma chiusa”. La non-linearità può derivare, ad esempio, dalla dipendenza della rigidezza k dalla forza applicata f(t).

7. La soluzione generale della equazione D4 è data da: Le costanti A e B sono definite dalle condizioni iniziali: Da cui: Definendo: Da cui:

8. La soluzione dell’equazione del moto indica che la risposta del sistema è funzione delle sole condizioni iniziali (spostamento e velocità). L’ampiezza delle oscillazioni rimane costante e non si ha dissipazione di energia. Si definiscono le seguenti costanti:

9. Dividendo per m si ottiene: Definendo il coefficiente o fattore di smorzamento : Otteniamo: Anche l’equazione D9 è una equazione differenziale di secondo grado lineare omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale): B) Vibrazioni libere smorzate • In questo caso si ha f(t)=0

10. La soluzione generale della equazione D9 è data dalla combinazione lineare di due qualsiasi integrali particolari linearmente indipendenti: u1(t) e u2(t) sono indipendenti se è diverso da zero il determinante di: L’equazione caratteristica associata alla D9 è: Indicando con 1 e 2 le due radici dell’equazione di secondo grado, una coppia di soluzioni indipendenti è costituita da: L’esame del determinate  della equazione D10 mostra la possibilità che sussistano tre diverse alternative:  < 1 ( < 0)  SISTEMI DEBOLMENTE SMORZATI  > 1 ( > 0)  SISTEMI FORTEMENTE SMORZATI  = 1 ( = 0)  SISTEMI CRITICAMENTE SMORZATI

11. La soluzione è data da: con 1 e 2 radici complesse coniugate dell’equazione caratteristica: Applicando la formula di Eulero: Otteniamo: Le u1(t) e u2(t) possono essere sostituite da una qualsivoglia altra coppia di integrali particolari purchè ancora linearmente indipendenti. Ad esempio: SISTEMI DEBOLMENTE SMORZATI  < 1

12. Sostituendo u3(t) e u4(t) al posto di u1(t) e u2(t) otteniamo la soluzione generale della D9: N.B Nel seguito implicitamente assumeremo la dipendenza temporale dello spostamento u Le costanti a1 e a2 sono definite dalle condizioni iniziali: Definendo inoltre le costanti U0 e  nel seguente modo: L’equazione D11 può essere riscritta come:

13. OSSERVAZIONI: 2) I valori assoluti dei massimi (e dei minimi) relativi decrescono secondo una progressione geometrica di rapidità: . Si definisce decremento logaritmico la quantità: 4) Nel caso in cui  << 1 si ha: 1) u(t) denota un moto vibratorio smorzato per il quale i massimi (e i minimi) relativi si verificano ogni T=2/01-2 e sono situati sui rami delle due curve simmetriche 3) Il moto vibratorio tende ad estinguersi con il trascorrere del tempo.

14. SISTEMI FORTEMENTI SMORZATI  > 1 La soluzione è data da: con 1 e 2 radici reali dell’equazione caratteristica: Otteniamo: Ricordando che: Si ha che:

15. Sostituendo u3(t) e u4(t) al posto di u1(t) e u2(t) otteniamo la soluzione generale della D9: Le costanti a1 e a2 sono definite dalle condizioni iniziali: OSSERVAZIONI: u t 1) u(t) perde le caratteristiche vibratorie e diventa aperiodico. 2) Il moto vibratorio tende ad estinguersi con il trascorrere del tempo.

16. La soluzione è data da: con 1 e 2 radici reali coincidenti: OSSERVAZIONI: Otteniamo: Le costanti a1 e a2 sono definite dalle condizioni iniziali: 1) La legge del moto è qualitativamente analoga a quella che compete al caso  >1 SISTEMI CON SMORZAMENTO CRITICO  = 1

17. In questo caso si ha: Dividendo per m si ottiene: Ovvero: L’equazione D15 è una equazione differenziale lineare di secondo grado non omogenea. Le condizioni al contorno sono rappresentate dalle condizioni iniziali (velocità iniziale e spostamento iniziale): Esprime il problema generale delle vibrazioni forzate in presenza di perturbazioni iniziali. In virtù della linearità del problema, la sua soluzione può essere espressa mediante il principio di sovrapposizione degli effetti nella forma: C) Vibrazioni forzate smorzate

18. u’(t) è soluzione del problema delle oscillazioni libere smorzate con perturbazione iniziale: u’’(t) è soluzione del problema delle oscillazioni forzate smorzate senza perturbazione iniziale:

19. Il problema è rappresentato dalla seguente equazione differenziale: Metodi di risoluzione a) Integrale di Duhamel • Metodo della forza impulsiva • Metodo della forza a gradino b) Integrazione numerica • ………………………………………….. a) Trasformata di Laplace b) Trasformata di Fourier D) Vibrazioni forzate smorzate senza perturbazione iniziale 1) Tecniche Dirette (integrano la D16 direttamente nel dominio del tempo) 2) Tecniche Indirette (la D16 viene trasformata in un dominio non temporale e ivi risolta. La soluzione cosi’ trovata viene anti-trasformata nel tempo.direttamente nel dominio del tempo)

20. Si definisce forza impulsiva fh(t) una forza che possiede valore costante su un breve intervallo, essendo identicamente nulla su tutto il rimanente arco temporale: fh fh Si definisce impulso la grandezza: t   Si definisce forza impulsiva elementare una forza impulsiva caratterizzata da  = 0, 0 e I=1 fh t METODO DELLA FORZA IMPULSIVA

21. Riscriviamo l’equazione del moto: • Un’azione impulsiva elementare può essere assimilata all’effetto di una velocità iniziale il cui valore è fornito dall’uguaglianza fra l’impulso I e la quantità di moto: per cui si ha: e l’equazione D16 nel caso di forza impulsiva diventa: Ovvero: N.B La legge del moto u(t) di un sistema dinamico sottoposto ad una forza impulsiva elementare (Dirac) è indicata con il simbolo h(t) e viene chiamata funzione di risposta all’impulso

22. L’equazione D18 rappresenta una vibrazione libera la cui soluzione è: OSSERVAZIONI: • Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti ed imponendo una traslazione dell’asse dei tempi, si può derivare la risposta u(t) ad una forza caratterizzata da un generico impulso I applicato al tempo: 1) L’equazione D19 rappresenta la funzione di risposta a impulso per un SDOF smorzato 2) La funzione di risposta a impulso è funzione delle sole caratteristiche del SDOF (non contiene la forzante) 3) Il concetto di funzione di risposta a impulso si può estendere a tutti processi per i quali è possibile utilizzare modelli lineari.

23. Siamo arrivati a risolvere il seguente problema: • Ricordiamo che il nostro problema originario era: • Nota la soluzione della D17 si può ricavare la soluzione anche per una generica forzante f(t) (Equazione D16). Infatti una generica forza eccitatrice f(t) può essere rappresentata, in modo approssimato, mediante la sovrapposizione di una successione di opportune forze impulsive.

24. Si ha che: Allora la risposta u(t) può essere espressa come la sovrapposizione delle risposte ui(t) alle singole forze impulsive fhi(t): Ma si ha che: Da cui: Se 0 si ha: L’integrale D21 è una particolare “operazione” a cui si da il nome convezionale di convoluzione. Simbolicamente l’operazione di convoluzione tra due generiche funzioni viene indicata con il simbolo . Ovvero:

25. Proprietà della convoluzione • Commutativa: f(t)h(t)=h(t) f(t) • Distributiva: [f’(t) + f’’(t)] h(t)= f’(t) h(t)+ f’’(t) h(t) • Associativa: [f’(t)  f’’(t)] h(t)= f’(t) [f’’(t) h(t)]

26. Dato un generico sistema S, un input i(t) al sistema ed un output “prodotto” dal sistema o(T) Output=o(t) Input=i(t) SISTEMA Se S è lineare allora: Input=i(t) SISTEMA Output=o(t)=i(t) h(t) Abbiamo ricavato la formula che rappresenta l’integrale di convoluzione risolvendo il problema specifico dell’oscillatore armonico. In realtà la convoluzione è la rappresentazione matematica di un principio molto più generale noto come “principio di sovrapposizione degli effetti” che è valido per sistemi lineari. In altre parole, se un generico “sistema” obbedisce a relazioni lineari allora la conoscenza della risposta impulsiva del sistema, ovvero la risposta ad un “input” unitario, ci consente di conoscere la risposta o “output” ad un generico input. In altre parole la risposta impulsiva caratterizza in modo completo il sistema lineare. • Quali sono le proprietà di un “sistema” affinché esso possa definirsi lineare ? • Il sistema S si dice lineare se valgono le seguenti proprietà: • se x(t)  y(t) e x’(t)  y’(t) allora: [x(t)+ x’(t)]  [y(t)+ y’(t)] • se x(t)  y(t) allora: cx(t) cy(t) Dove h(t) rappresenta la risposta all’impulso per il sistema S e ne definisce completamente le caratteristiche.

27. Ad esempio, in primissima approssimazione, si può interpretare la registrazione sismica (sismogramma) come la realizzazione di una serie di processi lineari in “cascata”: Dove u(t) è il sismogramma osservato, x(t) la funzione “sorgente”, g(t) è la risposta ad impulso che tiene conto di tutti i fenomeni di propagazione (attenuazione, conversione di fase ecc ecc) e i(t) è la risposta ad impulso che tiene conto dei fenomeni connessi con la registrazione del segnale sismico (risposta del sismometro). In campo sismologico il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi il “modello convolutivo” viene di norma utilizzato per “modellare” in termini matematici la maggior parte dei fenomeni relativi alla generazione, propagazione e registrazione delle onde sismiche

28. In questo caso si ha c=0 e f(t)=Q0sinft • Lo studio del comportamento dell’oscillatore armonico nel “dominio del tempo” ci ha portato a definire le caratteristiche di un sistema lineare e l’operatore di convoluzione : nota la risposta all’impulso h(t) di un qualsiasi sistema lineare è possibile ottenere la risposta ad una qualsiasi sistema di forze esterne convolvendo la risposta all’impulso con la generica forza esterna: u(t) = f(t)h(t). • Nell’ambito delle oscillazioni forzate studiamo adesso una tipologia particolare di forza esterna: forza armonica. (N.B d’ora in poi ci occuperemo solo di sistemi fortemente smorzati  < 1) E) Vibrazioni forzate (forza armonica) non smorzate Dove Q0 è l’ampiezza della forza esterna armonica e f rappresenta la pulsazione della forza esterna. Il pedice “f” e’ stato introdotto per differenziare la pulsazione della forza esterna f dalla pulsazione 0 che è invece la pulsazione caratteristica del oscillatore armonico.

29. La soluzione generale della equazione (D23) è data dalla somma della soluzione della equazione omogenea associata alla D23 più una soluzione “particolare” della D23. Ovvero: Dove uo(t) è la soluzione dell’equazione omogenea: Ovvero: La soluzione “particolare” rappresenta la risposta dovuta alla forza esterna. Ad esempio, si può ipotizzare una risposta “analoga” alla forza esterna cioè assumere una soluzione armonica. Ad esempio: Il valore della costante U0 si può ottenere sostituendo la D24 in D23: Da cui:

30. Abbiamo definito il coefficiente  come il rapporto tra la pulsazione (frequenza) della forza armonica esterna e la pulsazione (frequenza) caratteristica dell’oscillatore armonico: La soluzione generale si potrà scrivere come: Le costanti A e B sono definite dalle condizioni iniziali: Da cui: Analogamente si può ottenere:

31. La soluzione generale si potrà scrivere come: L’equazione D26 e’ la soluzione nella forma più generale: studiamo adesso il caso particolare caratterizzato da condizioni iniziali nulle. Ovvero: In questo caso l’equazione D26 diventa:

32. OSSERVAZIONI: • Il termine: assume il significato di funzione di amplificazione dinamica (MF) o risposta in ampiezza e dipende esclusivamente dal rapporto . E’ possibile visualizzare il comportamento dinamico del sistema rappresentando MF in funzione di  Per f << 0 (forzante “lenta”) si ha una risposta quasi statica (MF  1) Per f >> 0 (forzante “veloce”) si ha una deamplificazione (MF << 1) Per f << 0 si ha l’importate un notevole amplificazione (fenomeno della risonanza) e MF  • La soluzione è composta da due termini armonici: il primo con pulsazione uguale alla forza esterna il secondo con pulsazione pari alla pulsazione naturale dell’oscillatore • Il termine Q0/k rappresenta la “risposta statica” : ovvero lo spostamento della massa dovuto ad un carico pari a Q0

33. In questo caso si ha f(t)=Q0sinft Ricordando che: Anche in questo caso la soluzione generale della equazione D29 è data dalla somma della soluzione della equazione omogenea associata alla D29 più una soluzione “particolare” della D29. Ovvero: Dove uo(t) è la soluzione dell’equazione omogenea: Ovvero: E) Vibrazioni forzate (forza armonica) smorzate Dividendo per m si ottiene:

34. In questo caso una soluzione “particolare” può essere scritta come: Anche in questo caso i valori delle costanti U1 e U2 si possono ottenere sostituendo D31 in D29 ed utilizzando le proprietà delle funzioni sin e cos. Si ottiene: La soluzione generale si potrà scrivere come: Anche in questo caso le costanti C1 e C2 possono essere calcolate sulla base delle condizioni iniziali.

35. La soluzione è composta da due termini armonici: il primo, indicato con u0(t) rappresenta un “transiente” determinato dalle sole condizioni iniziali che tende ad estinguersi nel tempo (andamento esponenziale). Il secondo, indicato come up(t) rappresenta invece una risposta armonica “stazionaria”. La risposta a regime stazionario si può scrivere come: Avendo definito:

36. Ricordiamo che la nostra forzante esterna f(t) è: La risposta del nostro sistema dinamico smorzato è data da: Riassumendo: i termini A e  sono definiti da: La risposta dinamica del sistema è sempre armonica con pulsazione uguale alla forza esterna f(t). L’ampiezza della risposta dipende sia dall’ampiezza dell’ input Q0 sia dal coefficiente di smorzamento . Lo sfasamento  tra input ed output è invece determinato completamente dallo smorzamento  Anche in questo caso il termine A è il prodotto tra la “risposta statica” (Q0/k) ed una funzione di amplificazione dinamica (MF) definita in questo caso come:

37. Dal punto di vista qualitativo l’MF ha comportamento del tutto analogo a quanto visto per all’oscillatore non smorzato: in questo caso però l’amplificazione dinamica, per pulsazioni prossime alla 0, è fortemente influenzata dal coefficiente di smorzamento . Si ha deamplificazione per valori superiori a 0.7 e amplificazione (e risonanza) per valori inferiori a 0.4. Si ha sempre uno sfasamento pari a /2 quando 0 = f. Per valori di  pari a 0.7 la funzione  assume un andamento lineare. I termini A e  definiscono in maniera esaustiva il comportamento dell’oscillatore soggetto ad una forza armonica. A è ancora la funzione di amplificazione dinamica (MF) o risposta in ampiezza e  è la risposta in fase. Anche in questo caso è possibile descrivere in modo esaustivo il comportamento dinamico del sistema rappresentando sia MF che  in funzione di . In questo caso avremo però un fascio di curve rappresentativo dei possibili coefficienti di smorzamento .

38. In generale si possono suddividere le funzioni f(t) in due categorie: periodiche e aperiodiche. Le funzioni periodiche f(t) sono quelle per le quali è possibile definire un periodo Tf tale che: Utilizzando l’analisi di Fourier è possibile esprimere ogni funzioni periodica come un somma di funzioni armoniche semplici. Anche un funzione f(t) aperiodica (ad esempio un transiente) può “diventare” periodica se viene “ripetuta” dopo un certo periodo di “quiete” Analisi di Fourier

39. In termini trigonometrici si può osservare che il vettore a è sfasato di 90º rispetto a b (cos =sin(+ 90º) ). Le componenti verticali sull’asse verticale sono: Componendo i due vettori a e b si ottiene un nuovo vettore di modulo pari a e sfasamento angolare pari a: Potremo scrivere: • La somma di seno e coseno è ancora una funzione armonica ma l’ampiezza dell’oscillazione non e la semplice somma delle ampiezze dei termini sinusoidali e cosinusoidali:

40. Dove A rappresenta l’ampiezza, la pulsazione o frequenza angolare e  è la fase. Si avrà f(t)=0 quando t+=0 o t-=0 • Se consideriamo il moto di un vettore di lunghezza A che ruota in senso antiorario con frequenza angolare pari a  la proiezione dello spostamento sull’asse verticale sarà: Il periodo T è il tempo necessario per effettuare un ciclo: La frequenza esprime il numero di cicli nell’unità di tempo (secondo): • La più semplice espressione di una funzione periodica è la funzione seno: essa è caratterizzata da tre parametri: ampiezza, frequenza e fase.

41. In molti casi è conveniente esprimere le funzioni armoniche utilizzando la notazione complessa. La notazione complessa può essere derivata direttamente dalla formula di Eulero: i rappresenta il numero immaginario i=-1. La quantità e+i è un numero immaginario è ha una parte reale ed una complessa: Utilizzando la formula di Eulero si dimostra che: Da cui: Il termine e+i nel piano di Argand rappresenta un vettore unitario che ruota in senso orario con velocità angolare . I due termini nella F1 rappresentano sue vettori con stessa parte reale (a/2) e parte immaginaria (b/2) di segno opposto.

42. Ogni termine a modulo pari a:e la somma ad ogni istante t è reale (le parti immaginarie si elidono) Sotto condizioni estremamente generali una funzione periodica f(t) di periodo T può essere sviluppata nella seguente serie di Fourier: Avendo definito: Serie di Fourier

43. Riscriviamo la serie di Fourier: Ogni termine della serie F2 è periodico con periodo T/n (frequenza n/T). Alti valori di n corrispondono quindi ad alte frequenze. I coefficienti della serie sono: N.B Avendo definito: , nella F2 si ha una discretizzazione delle frequenze angolari pari a: a0 rappresenta la media della funzione sul periodo T.

44. Lo sviluppo in serie di Fourier è possibile in quanto le funzioni seno e coseno rappresentano un insieme di funzioni ortogonali (sono una “base”) ovvero: Dove il delta di Kronecker è 1 per m=n e zero se mn.

45. Esempio di serie di Fourier:

46. La serie di Fourier può essere riscritta come: Con: La rappresentazione grafica di cn in funzione di n è lo spettro di Fourier di ampiezza La rappresentazione grafica di n in funzione di n è lo spettro di Fourier di fase N.B Nel caso di serie di Fourier la variabile  è discreta: per tale motivo gli spettri vengono rappresentati con diagrammi a “bastoni”

47. La serie di Fourier può essere riscritta anche utilizzando la notazione complessa: definendo: avremo: Dal momento che funzione di n = -n possiamo cambiare i limiti della sommatoria ottenendo: In questo caso i coefficienti della serie sono: Dove l’asterisco indica che i coefficienti sono quantità complesse.

48. Consideriamo nuovamente la serie esponenziale di Fourier: Posto  = n+1- n=2/T cioè 1/T= /2 si ha: Al limite per T ,  0 si ha che  tende a diventare una variabile continua: Trasformata di Fourier • Una qualsiasi funzione aperiodica f(t) può essere trattata come una funzione periodica con periodo T.

49. Linearità della trasformazione: • Trasformazione della derivata: • Proprietà della traslazione: • Proprietà di convoluzione: Proprietà della Trasformata di Fourier N.B L’ultima proprietà ci indica che l’operazione di convoluzione (dominio del tempo) è equivalente al prodotto delle trasformate di Fourier (dominio delle frequenze)

50. Se indichiamo con F() la quantità: si ha: f(t) generica f(t) periodica (T) T Riassumendo: