Logica en Schakelalgebra

1. Logica en Schakelalgebra Ben Bruidegom AMSTEL Instituut FNWI UvA

2. Propositiecalculus • proposities • 2 + 3 = 5 • 7 < 8 • het regent • ik kom

3. Propositiecalculus • proposities • 2 + 3 = 5 • 7 < 8 • het regent • ik kom • samengestelde proposities • 2 + 3 = 5 en 7 < 8 • het regent niet • het regent of het regent niet • het regent en het regent niet

4. De verzameling B • B = { true, false } • p,q = Boolse variabelen • Operatoren op B • de conjunctie p  q (p AND q) • de disjunctie p  q (p OR q) • de negatie  (NOT p)

5. Waarheidstabel conjunctie

6. Waarheidstabeldisjunctie

7. Waarheidstabelnegatie

8. Schakel algebra • B = { 0, 1 } • p = Boolse variabele • Operatoren op B • de conjunctie p . q ( p AND q ) • de disjunctie p + q ( p OR q ) • de negatie ( NOT (y) )

9. Waarheidstabel van de conjunctie (AND) en disjunctie (OR) en negatie (NOT)

10. Priority of operators • 1e) NOT • 2e) AND • 3e) OR • p + y.z = p + (y.z) • p + y.z ≠ (p + y).z

11. 0 y y 0 y 1 y 1 Rekenregels:

12. Overige wetten • Associatieve wet: • (p + y) + z = p + (y + z) • (p . y) . z = p . (y . z) • Commutatieve wet: • y + z = z + y • y . z = z . y • Distributieve wetten • p .(y + z) = p.y + p.z • p +(y.z) = (p + y).(p + z)

13. Overige wetten • Associatieve wet: a–(b-c)≠(a–b)-c • (p + y) + z = p + (y + z) • (p . y) . z = p . (y . z) • Commutatieve wet: a – b ≠ b - a • y + z = z + y • y . z = z . y • Distributieve wetten • p .(y + z) = p.y + p.z • p +(y.z) = (p + y).(p + z)

14. Bewijs: p + (y.z) = (p+y).(p+z) (p+y).(p+z) = p.p + p.z + y.p + y.z = = p + p.z + y.p + y.z = = p.(1 + z+ y) + y.z = p + y.z

15. Absorptie wetten:

16. Bewijs: z.(y + z) = z z.(y + z) = z.y + z.z = toepassen eerste distributieve wet

17. Bewijs: z.(y + z) = z z.(y + z) = z.y + z.z = z.y + z = z.(y + 1) = z.1 = z

18. Vijf keer een bewijs: • m.b.v. waarheidstabel (zelf doen syllabus tabel 4.1) • m.b.v. schakelalgebra • m.b.v. 1e distributieve wet (zie boek) • m.b.v. 2e distributieve wet (zie boek) • m.b.v. De Morgan

19. Bewijs met schakelalgebra

20. Bewijs met schakelalgebra

21. Wetten van De Morgan:

22. Wetten van De Morgan:

23. Wetten van De Morgan:

24. Wetten van De Morgan: • Wetten gelden ook voor ‘n’ termen:

28. Maak opgaven bladzijde 62

29. NAND- & NOR-gates y y & 1 z z NAND-gate NOR-gate

30. NAND-gate als bouwsteen voor andere poorten

31. Verkorte tabel NOR-poort x = irrelevant

32. Opgaven bladzijde 64

33. problem solution Ontwerpen van logische schakelingen

34. problem Truth table solution

35. problem Truth table Boole expression solution

36. problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution

37. problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Boole algebra

38. Implementation problem Truth table Boole expression Reduced Boole expression solution Boole algebra

39. Programmable Logic PLA’s

40. Majority voting system Set value • redundant system a c b a Signal cond. sensor a Majority Voter Valve control b v Signal cond. sensor b c Vat Signal cond. sensor c valve

41. Truth table

42. Truth table

43. Truth table  Boole exp.

44. Truth table  Boole exp.

45. Som van mintermen

46. Boole expr.  simplified Boole expr.

47. Boole expr.  simplified Boole expr.

48. Boole expr.  simplified Boole expr.

49. Boole expr.  simplified Boole expr.

50. Simplified Boole expression