180 likes | 446 Views
Vajs áblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131. Margita Vajsáblová. Stredové premietanie. 1. časť - polohové úlohy. Vajs áblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131. Roz šírený Euklidovský priestor.
E N D
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131 Margita Vajsáblová Stredové premietanie 1. časť - polohové úlohy
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131 Rozšírený Euklidovský priestor • V Euklidovskom priestore množinu všetkých navzájom rovnobežných priamok nazývame smer a množinu všetkých navzájom rovnobežných rovín nazývame polohou. • Smer je určený jednou priamkou, poloha je určená jednou rovinou. • Teda všetky navzájom rovnobežné priamky sú priamkami toho istého smeru, ktorý je niekedy výhodné nazývať nevlastný bod (označenie U, V, ...). Potom pre každé dve rôzne priamky v rovine môžeme povedať, že majú spoločný práve jeden bod (ak sú tieto priamky rovnobežné, majú spoločný nevlastný bod). • Dve rovnobežné roviny majú spoločnú polohu, ktorú je niekedy výhodné nazývať nevlastná priamka (označenie u, v, ...). Potom pre každé dve rôzne roviny môžeme povedať, že majú spoločnú práve jednu priamku (ak sú roviny rovnobežné, majú spoločnú nevlastnú priamku). • Euklidovský priestor doplnený o všetky nevlastné body a nevlastné priamky nazývame rozšírený Euklidovský priestor(označenie ). • Niekedy je výhodné rozlišovať body a priamky, ktoré nie sú nevlastné a nazývať ich vlastné body, resp. vlastné priamky. ´ U a´´ U u u a´ U a
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 132 Stredové premietanie – základné pojmy Definícia: Majme bod S a vlastnú rovinu v , S. Zobrazenie, ktoré každému bodu A priradí usporiadanú dvojicu [A1,AS] , kde A1 je kolmý priemet bodu A do a AS je stredový priemet bodu A do cez stred S, voláme stredové premietanie na priemetňu . Základné pojmy: • –priemetňa, • S–stred premietania, d d S H H • H – hlavný bod – kolmý priemet bodu S do , • d = |S, |– dištancia, . d . |A,| A1 A1 |A,| (S) . A . • Stredové premietanie je určené: (H, d) – prvky vnútornej orientácie • d = [H, r = d]– dištančná kružnica, pre jednoduchosť ju tiež budeme označovať d. (A) AS AS Obraz bodu: A[A1, AS], HA1 AS Vzdialenosť bodu A od priemetne : • V sklopení premietacej roviny priamky SA do priemetne : • H(S)= d, • (A)(S)AS, |A,|=|(A)A1|.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 133 • Ak bod P potom P1 PS . Stredové premietanie – obraz bodu d b B S B1 BS(b) H H P1PS V1 V VS VS ’ P1PS • Ak bod B HS, potom B1 BS H a obraz bodu musí byť daný aj b=|B, |. • Nech bod V ´, kde ´: S ´, ´ , potomVV1,VS]. d HB1BS(b) H VS V1 d
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 134 Stredové premietanie – obraz priamky Stopník priamky a: a =Pa, platí P1aPsa. Smerová priamka a´priamky a : S a´, a´a. Úbežník priamky a jeUSa: akUa je nevlastný bod priamkya, , potomUSa =a´, kdeS a´, a´ a. USa a’ USa a1’ aS H S d aS Ua d H P1aPSa P1aPSa a1 a a1’ Ua a1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 135 Uholpriamky s priemetňou V stredovom premietaní sa uhol priamky s priemetňou rovná uhlu jej smerovej priamky s priemetňou: (a, )=(a’, ) teda v sklopení:(a, )=((a’),a1’) USa USa (, ) aS S d aS H (S) (, ) a1’ Ua (a’) . H P1aPSa d a1’ P1aPSa (, ) a a1 Ua a1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 136 • Akpriamkaprechádza bodomS a, potom aS USa P1a Stredové premietanie – obraz priamky S H d H a1 a a1 aSUSa Pa aSUSa Pa • Ak priamka b , potomUSb H a b1 P1b • Ak priamka h || potom h1 || hS . H USb S b’ d d bS hS H HUSb b Pbb1 || h1 bS || b1Pb
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 137 Stredové premietanie – obraz roviny Stopa roviny : = p, platíp1ps. Smerová rovina´roviny : S ´, ´. Úbežnicaroviny jeuS:akuje nevlastná rovina roviny , , potom uS= ´, kde S ´, ´. uS Platí:uSp H S d ’ uS p H d u p
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 138 Stredové premietanie – obraz roviny Hlavné priamky roviny : h, platíhpuS Spádové priamky roviny : s h (p) s1 p, USssS , kde USs= s’uS ,Ss’, s’s’ USs– hlavný úbežník roviny . USs . uS s’ s1’ H S d sS uS USs . H . d p sS hS h p . s s1’ s1 s1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 139 Uhol roviny s priemetňou sa rovná uhlu jej spádovej priamky s priemetňou: (, )=(s, ) Uhol roviny s priemetňou V stredovom premietaní platí: (s, )=(s’, ), USs teda v sklopení:(, )=((s’), s1) uS (, ) s’ . H S d uS sS USs s1’ (, ) (S) H sS . (s’ ) p s1’ (, ) d s p . s1 s1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 140 Stredové premietanie – obraz roviny • Ak bodSleží vrovine , S , potom S uS p S uS p d S S uS p H H • Ak rovina , potom H uS d H USs ’ S uS H USs uS p p
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 141 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 1. Rovnobežné priamkya b, potom platíUSa Usb. Pre ich smerové priamky platí a´ b´. USa USb USa USb a’ b’ bS bS aS aS H S d d H UaUb Pb Pa Pa b b1 Pb a1’ b1’ Ub a1 a b1 a1 Ua
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 142 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 2. Rôznobežné priamkya Xb, potom platíPaPb USaUsb. Existuje rovina ( a,b), p= PaPb ,uS= USaUsb. uS USb USa USb uS RS USa b’ d a’ S H H ’ p Pb p Pa Pa Pb aS bS a b
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 143 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 3. Mimobežné priamkya, b– neplatia pravidlá pre rovnobežné a rôznobežné priamky. USa H USb d Pa Pb aS bS
Vzájomná poloha 2 rovín v stredovom premietaní Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 144 1. Rovnobežné roviny , potom platíuS uS . Smerové roviny sú totožné´ ´. uS uS uSuS ’ ´ S H d H d p p p p
Vzájomná poloha 2 rovín v stredovom premietaní Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 145 2. Rôznobežné roviny = m, potomPm = p p, USm= uS uS (ak m nie je rovnobežné s ). uS uS USm H d mS p p Pm
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 146 Vzájomná poloha priamky a roviny v stredovom premietaní • Priamkaa je rovnobežná s rovinou potomUSa uS . • Priamkaa leží v rovine , potomPap, USa uS . uS uS USa USa aS aS p p Pa Pa • Priamkaa je rôznobežná s rovinou , teda a = R: d uS Riešenie v stredovom premietaní a : H USa • Ľubovoľná rovina(p, uS ),a :Pap, USa uS uS USm aS • m: Pm=p p, USm= uS uS , mS= PmUSm mS RS p p Pm • aS mS =RS R = a Pa