1 / 28

5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH

5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH. f. v. e. Du. f. v. e. Dual Du. Pri dualu Du se vlogi vozlišč in lic zamenjata, medtem ko se vloga povezav ohranja. Npr. Dual kocke je oktaeder. f. v. e. Du. f. v. e. Dual Du - nadaljevanje.

lei
Download Presentation

5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH

  2. f v e Du f v e Dual Du • Pri dualu Du se vlogi vozlišč in lic zamenjata, medtem ko se vloga povezav ohranja. • Npr. Dual kocke je oktaeder.

  3. f v e Du f v e Dual Du - nadaljevanje • Samo oznake (in barve) oglišč prapornega trikotnika se zamenjajo. • Natančno definicijo lahko opišemo kar z matriko.

  4. Tru f f v v e e Prisekanje Tru • Prisekanje Tru “odseka” vsako oglišče in ga nadomesti z licem. • Npr. Vsako od osmih oglišč kocke nadomestimo s trikotnikom. Bivši kvadrati (4-kotniki) se spremenijo v 8-kotnike.

  5. Tru f f v v e e Prisekanje Tru - nadaljevanje • Vsak prapor nadomestimo s tremi prapori kot kaže slika. • Natančno definicijo dajejo tri matrike.

  6. Me f f v v e e Medial Me • Medial Me podobno kot Tru odbije vsako originalno vozlišče in ga nadomesti z licem, vendar pri tem ne ostane nič od originalnih povezav. • Npr. Medial od kocke je kuboktaeder.

  7. Me f f v v e e Medial Me - nadaljevanje • Prapor se transformira v dva. • Definicija je spet z matrikama.

  8. Žlebljenje Cha • Žlebljenje Cha “odstruži” vsako povezavo in jo nadomesti s poligonom. Nekateri imenujejo žlebljenje tudi povezavno prisekanje.

  9. f v e Cha f v e Žlebljenje Cha - nadaljevanje 12 povezav kocke se spremeni v 12 šestkotnikov, medtem ko štirikotniki kocke ostanje štirikotniki žlebljne kocke.

  10. f v e Cha f v e Žlebljenje Cha - nadaljevanje • Dogajanje s prapori prikazuje slika, medtem ko je točna definicija tokrat s štirimi matrikami.

  11. Žlebljenje fullerenov • Žlebljeni fulleren je spet fulleren. • Fulereni – kubični ravninski grafi, pri katerih so vsa lica petkotniki ali šestkotniki • Vsak fuleren ima natančno dvanajst petkotnikov

  12. Su1 f f v v e e Enorazsežna subdivizija Su1 • Enorazsežna subdivizija Su1 vrine vozlišče na sredo vsake povezave. • Novihvozlišč se žal ne vidi

  13. Dvorazsežna subdivizija Su2 • Trianguliramo vsako lice z novim ogliščem v sredini • Velja: Su2=Du Tru  Du

  14. Sestavljene transformacije • Transformacije lahko sestavljamo med seboj. Če sta S in T transformaciji prapornih sistemov, je S o T (F) = S(T(F)) tudi transformacija sistema. • Tu je nekaj zgledov iz katerih lahko razberemo nekatere lastnosti transformacij Du in Me.

  15. Še nekatere sestavljene transformacije • Kotna transformacija An = Du Me • Leapfrog (skok čez kozo) Le = Tru Du = Du Su2 • Baricentrična subdivizija BS = Su2 Su1 • Kombinatorni zemljevid Co = Du  BS

  16. Leapfrog in fullereni • Če je X fuleren, je tudi Le(X) fuleren Dodekaeder Fuleren C60

  17. Pravila za sestavljene transformacije • Pravilo:Naj bodo M1, M2, ... matrike za transformacijo T in naj bodo N1, N2, ... matrike za transformacijo S. Tedaj je sestavljena transformacija (T o S) določena s produkti matrik M1N1, M1N2, ..., M2N1, M2N2, ...

  18. Dvorazsežna subdivizija Su2 • Že prej smo definirali Su2 = Du  Tru • Morda je zanimivo, da načrti stropov zgodnjegotskih cerkev prikazujejo operacijo Su2 na kvadratni mreži.

  19. Gotska Transformacija • Go =Du  Me  Tru • Transformacijo lahko najdemo na stropih nekaterih poznogotskih cerkev v Sloveniji. • Šest matrik, ki definirajo gotsko transformacijo Go lahko naračunamo s pravilom.

  20. Dva zgleda

  21. Gotska kocka • Rezultat operacije Go na kocki je viden na levi.

  22. Več sestavljenih transformacij • Tabelo sestavljenih transformacij lahko razširimo

  23. Snub Sn = Di  Me  Me • Ideja: Me  Me ima lepe lastnosti: - štirivalenten - štirikotna lica, ki izhajajo iz Me - dvodelni dual • Dodamo 1-faktor, ki diagonalizira štirikotna lica ( ki ustrezajo ogliščem Me) - vse je določeno z izbiro prve diagonale - obstajata točno dve diagonalizaciji Di1 in Di2

  24. Naloge • Poišči zemljevid, ki ima neizomorfna Sn1 in Sn2 • Pokaži, da lahko konstruiramo vse platonske in arhimedske grafe iz tetraedra z operacijami Du, Me, Tru in Sn

  25. Neogotska transformacija? • Spodnji vzorec na levi lahko opišemo z naslednjo transformacijo na kvadratno mrežo: Du  Me  Co = Go  Du  Su1 • To pomeni, da je možno isti topološki vzorec opisati na dva različna načina.

  26. Petrijev dual • Spomnimo se zemljevidov, definiranih s tremi involucijami (t0,t1,t2). Zdaj bi dodali še produkt t3=t0t2, ki je, kot vemo, spet involucija brez negibnih točk. Tako dobimo v splošnem geometrijo ranga 4: (t0,t1,t2,t3). • Orbite <t1,t2> so vozlišča V. • Orbite <t0,t2> so povezave E. • Orbite <t0,t1> so lica F. • Orbite <t0,t3> so Petrijevi obhodi P.

  27. Petrijev šestkotnik M • M = (t0,t1,t2,t3) • Du(M) = (t2,t1,t0,t3) • Pe(M) = (t0,t1,t3,t2) • Du(Pe(M)) = (t3,t1,t0,t2) • Pe(Du(M)) = (t2,t1,t3,t0) • Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M))) = (t0,t1,t3,t2) Du(M) Pe(M) Du(Pe(M)) Pe(Du(M)) Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M)))

  28. Naloge • N1: Za vseh pet platonski teles analiziraj Petrijev šestkotnik. • N2: Nalogo ponovi še za 13 arhimedskih teles!

More Related