5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH

1. 5. OPERACIJE NA ZEMLJEVIDIH

2. f v e Du f v e Dual Du • Pri dualu Du se vlogi vozlišč in lic zamenjata, medtem ko se vloga povezav ohranja. • Npr. Dual kocke je oktaeder.

3. f v e Du f v e Dual Du - nadaljevanje • Samo oznake (in barve) oglišč prapornega trikotnika se zamenjajo. • Natančno definicijo lahko opišemo kar z matriko.

4. Tru f f v v e e Prisekanje Tru • Prisekanje Tru “odseka” vsako oglišče in ga nadomesti z licem. • Npr. Vsako od osmih oglišč kocke nadomestimo s trikotnikom. Bivši kvadrati (4-kotniki) se spremenijo v 8-kotnike.

5. Tru f f v v e e Prisekanje Tru - nadaljevanje • Vsak prapor nadomestimo s tremi prapori kot kaže slika. • Natančno definicijo dajejo tri matrike.

6. Me f f v v e e Medial Me • Medial Me podobno kot Tru odbije vsako originalno vozlišče in ga nadomesti z licem, vendar pri tem ne ostane nič od originalnih povezav. • Npr. Medial od kocke je kuboktaeder.

7. Me f f v v e e Medial Me - nadaljevanje • Prapor se transformira v dva. • Definicija je spet z matrikama.

8. Žlebljenje Cha • Žlebljenje Cha “odstruži” vsako povezavo in jo nadomesti s poligonom. Nekateri imenujejo žlebljenje tudi povezavno prisekanje.

9. f v e Cha f v e Žlebljenje Cha - nadaljevanje 12 povezav kocke se spremeni v 12 šestkotnikov, medtem ko štirikotniki kocke ostanje štirikotniki žlebljne kocke.

10. f v e Cha f v e Žlebljenje Cha - nadaljevanje • Dogajanje s prapori prikazuje slika, medtem ko je točna definicija tokrat s štirimi matrikami.

11. Žlebljenje fullerenov • Žlebljeni fulleren je spet fulleren. • Fulereni – kubični ravninski grafi, pri katerih so vsa lica petkotniki ali šestkotniki • Vsak fuleren ima natančno dvanajst petkotnikov

12. Su1 f f v v e e Enorazsežna subdivizija Su1 • Enorazsežna subdivizija Su1 vrine vozlišče na sredo vsake povezave. • Novihvozlišč se žal ne vidi

13. Dvorazsežna subdivizija Su2 • Trianguliramo vsako lice z novim ogliščem v sredini • Velja: Su2=Du Tru  Du

14. Sestavljene transformacije • Transformacije lahko sestavljamo med seboj. Če sta S in T transformaciji prapornih sistemov, je S o T (F) = S(T(F)) tudi transformacija sistema. • Tu je nekaj zgledov iz katerih lahko razberemo nekatere lastnosti transformacij Du in Me.

15. Še nekatere sestavljene transformacije • Kotna transformacija An = Du Me • Leapfrog (skok čez kozo) Le = Tru Du = Du Su2 • Baricentrična subdivizija BS = Su2 Su1 • Kombinatorni zemljevid Co = Du  BS

16. Leapfrog in fullereni • Če je X fuleren, je tudi Le(X) fuleren Dodekaeder Fuleren C60

17. Pravila za sestavljene transformacije • Pravilo:Naj bodo M1, M2, ... matrike za transformacijo T in naj bodo N1, N2, ... matrike za transformacijo S. Tedaj je sestavljena transformacija (T o S) določena s produkti matrik M1N1, M1N2, ..., M2N1, M2N2, ...

18. Dvorazsežna subdivizija Su2 • Že prej smo definirali Su2 = Du  Tru • Morda je zanimivo, da načrti stropov zgodnjegotskih cerkev prikazujejo operacijo Su2 na kvadratni mreži.

19. Gotska Transformacija • Go =Du  Me  Tru • Transformacijo lahko najdemo na stropih nekaterih poznogotskih cerkev v Sloveniji. • Šest matrik, ki definirajo gotsko transformacijo Go lahko naračunamo s pravilom.

20. Dva zgleda

21. Gotska kocka • Rezultat operacije Go na kocki je viden na levi.

22. Več sestavljenih transformacij • Tabelo sestavljenih transformacij lahko razširimo

23. Snub Sn = Di  Me  Me • Ideja: Me  Me ima lepe lastnosti: - štirivalenten - štirikotna lica, ki izhajajo iz Me - dvodelni dual • Dodamo 1-faktor, ki diagonalizira štirikotna lica ( ki ustrezajo ogliščem Me) - vse je določeno z izbiro prve diagonale - obstajata točno dve diagonalizaciji Di1 in Di2

24. Naloge • Poišči zemljevid, ki ima neizomorfna Sn1 in Sn2 • Pokaži, da lahko konstruiramo vse platonske in arhimedske grafe iz tetraedra z operacijami Du, Me, Tru in Sn

25. Neogotska transformacija? • Spodnji vzorec na levi lahko opišemo z naslednjo transformacijo na kvadratno mrežo: Du  Me  Co = Go  Du  Su1 • To pomeni, da je možno isti topološki vzorec opisati na dva različna načina.

26. Petrijev dual • Spomnimo se zemljevidov, definiranih s tremi involucijami (t0,t1,t2). Zdaj bi dodali še produkt t3=t0t2, ki je, kot vemo, spet involucija brez negibnih točk. Tako dobimo v splošnem geometrijo ranga 4: (t0,t1,t2,t3). • Orbite <t1,t2> so vozlišča V. • Orbite <t0,t2> so povezave E. • Orbite <t0,t1> so lica F. • Orbite <t0,t3> so Petrijevi obhodi P.

27. Petrijev šestkotnik M • M = (t0,t1,t2,t3) • Du(M) = (t2,t1,t0,t3) • Pe(M) = (t0,t1,t3,t2) • Du(Pe(M)) = (t3,t1,t0,t2) • Pe(Du(M)) = (t2,t1,t3,t0) • Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M))) = (t0,t1,t3,t2) Du(M) Pe(M) Du(Pe(M)) Pe(Du(M)) Pe(Du(Pe(M))) = Du(Pe(Du(M)))

28. Naloge • N1: Za vseh pet platonski teles analiziraj Petrijev šestkotnik. • N2: Nalogo ponovi še za 13 arhimedskih teles!