Functies uit de economie in de wiskundeles

1. Functies uit de economie in de wiskundeles Johan Deprez 11de T3-symposium Oostende, augustus 2008

2. Kennismaking lerarenopleiding wiskunde economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde in de Bachelor redactielid tijdschrift Uitwiskeling

3. Inleiding • een oefening/voorbeeld • werkmomenten afgewisseld met presentatie • werkblad met oplossingen in bundel • slides op www.ua.ac.be/johan.deprez

4. Dagelijkse productie in firma X 300 u machinetijd 64 EUR per uur vaste kosten: 5000 EUR 300 u arbeid 36 EUR per uur firma X 3000 kg van product A 11.6 EUR per kg kosten: 35 000 EUR, ontvangsten: 34 800 EUR firma X maakt verlies!

5. Reorganisatie • prijzen (arbeid, machinetijd, eindproduct) zijn vast • in de sector van firma X: • firma Y: 400 u machinetijd + 400 u arbeid geeft 4000 kg product • firma Z: 200 u machinetijd + 800 u arbeid geeft 4000 kg product • onderzoeken hoe hoeveelheid product (q) afhangt van • ingezette hoeveelheid machinetijd (K, kapitaal!), en • ingezette hoeveelheid arbeid (L) • productiefunctie (zelfde functie voor de hele sector)

6. Werkmoment 1 • t.e.m. vraag 7 • opgaven in bundel • antwoorden ook in bundel • ong. 20 min.

7. Vraag 2 zelfde productiefunctie voor alle firma’s uit dezelfde sector, van de vorm

8. Vraag 3 - 7 functies van 2 veranderlijken productiefunctie kostenfunctie relatie tussen 2 veranderlijken functie van 1 veranderlijke impliciete en expliciete vergelijking niveaulijn van niveau 3000 isoquant niveaulijn van niveau 34 800 isokostenlijn

9. Eerstegraadsfuncties van twee veranderlijken • de gebruikte kostenfunctie is een eerstegraadsfunctie van twee veranderlijken, d.w.z. een functie met vergelijking van de vorm z=ax+by+c (a en b niet tegelijk 0) • directe veralgemening van eerstegraadsfuncties van één veranderlijke • niveaulijnen zijn rechten met een vaste helling • grafiek: (hellend) vlak in de 3-dimensionale ruimte, a = helling in de X-richting, b = helling in de Y-richting

10. Voorbeeld: grafiek van +50.6 (0.6 is de coëfficiënt van y) +5 +50.3 (0.3 is de coëfficiënt van x) +5 4.2 (= constante term)

11. Cobb-Douglas productiefuncties • productiefuncties van de vorm (machtsfunctie van twee veranderlijken) • statistisch getest door Cobb en Douglas in 1928 (bivariate lineaire regressie na nemen van logaritmen) • toch is gebruik omstreden omwille van theoretische redenen

12. Cobb-Douglas productiefunties en schaal van de onderneming • als K en L toenemen met factor λ>1 dan neemt q toe met factor λa+b • 3 gevallen: • a+b>1: q neemt toe met een grotere factor dan K en L, d.w.z. groter is efficiënter • a+b<1: q neemt toe met een kleinere factor dan K en L, d.w.z. kleiner is efficiënter • a+b=1: q neemt toe met dezelfde factor als K en L, d.w.z. schaalgrootte speelt geen rol • cfr. firma X en Y in voorbeeld

13. Cobb-Douglas productiefuncties • a = outputelasticiteit van het kapitaal betekenis (voor a = 0.5, wat onnauwkeurig geformuleerd): als de hoeveelheid machinetijd met 1% toeneemt en de hoeveelheid arbeid gelijk blijft, neemt de output met 0.5% toe outputelasticiteit van het kapitaal = limietwaarde van de relatieve toename van de output gedeeld door relatieve toename van de arbeid

14. Andere productiefuncties • CES-productiefunctie (CES = constant elasticity of substitution): • Leontieff productiefunctie:

15. Werkmoment 2 • vraag 8 - 12 • opgaven in bundel • antwoorden ook in bundel • ong. 20 min.

16. denk aan lineaire programmering Vraag 8 niveaulijn van de productiefunctie (isoquant) + niveaulijnenkaart van de kostenfunctie (isokostenlijnen) we zoeken punt op de isoquant waarvoor de isokostenlijn zo laag mogelijk ligt we zoeken punt op de isoquant waarvoor de isokostenlijn raakt aan de isoquant

17. Vraag 9 • rico raaklijn aan isoquant moet gelijk zijn aan rico isokostlijnen: • hieruit: L = 400, K = 225 C = 33 800, TO = 34 800, W = 1000

18. Vraag 10 en 11 • rico raaklijn aan isoquant moet gelijk zijn aan rico isokostlijnen: • hieruit: L = 4q/30, K = 3q/40

19. Vraag 12 • L = 4q/30, K = 3q/40 C = 9.6q + 5000, TO = 11.6q, W = 2q – 5000 • winstgevend vanaf 2500 kg per dag (mits goede verhouding tussen machinetijd en arbeid)

20. Werkmoment 3 • vraag 13 – 16 • duale probleem: produceer zoveel mogelijk met een gegeven budget • zelfde oplossingsmethode • technisch iets moeilijker omdat te optimaliseren functie niet lineair is • zelfde oplossing • alternatieve oplossing: via substitutie herleiden tot extremumprobleem 1 veranderlijke

21. Dank u!