PROBABILIDAD COMPONENTES BASICOS

1. PROBABILIDADCOMPONENTES BASICOS

2. DEFINICIONES

3. Def 1: Experimento Aleatorio:Cualquier situación donde los resultados no se conozcan con certeza de antemano.Def 2: Puntos muestrales o eventos singulares o simples:Cada uno de los posibles resultados que se obtienen del experimento (una sola vez).

4. Def 3: Espacio Muestral ():Está formado por todos los posibles eventos simples del fenómeno que estamos estudiando.FinitosInfinitos numerablesInfinitos no numerablesDef 4: Eventos:Un evento es cualquier subconjunto (subconjunto medible, en el caso continuo) del espacio muestral.

5. Def 5: Evento imposible: Evento que jamás ocurrirá ()Def 6: Evento seguro (): Evento que ocurrirá con toda certeza.Def 7: Familia de eventos (): conjunto formado por todos los subconjuntos del espacio muestral.Def 8: Consideramos la función: P:   [0, 1]. Si A   entonces P(A) es un número real entre 0 y 1.

6. VER EJEMPLOS(1, 2, 3)

7. AXIOMAS

8. Axioma 1: Para cada suceso A en el conjunto:P(A)  0Axioma 2: Para el suceso seguro o cierto C en el conjunto  : P(C) = 1 [C =  ]Axioma 3: Para cualquier número de sucesos mutuamente excluyentes A1, A2 . . . en :P(A1 A2  . . .) = P(A1) + P(A2) . . .

9. Definición de Espacio de Probabilidad: = (, , P)

10. TEOREMAS

11. Sean A1, A2, A3, . . . , B1, B2, B3 . . . subconjuntos del Espacio Muestral  (es decir, son eventos).Teorema 1: Para cada suceso Ai, 0  P(Ai)  1Teorema 2: P() = 0Teorema 3: P(A2 – A1) = P(A2) – P(A2A1)Teorema 4: Si A1 A2 , entonces P(A1)  P(A2)y además P(A2 − A1) = P(A2) − P(A1)

12. Teorema 5: Sea A’ el complemento de A, entonces P(A) = 1 − P(A’)Teorema 6: Si A = A1 A2 A3 . . .An yA1, A2, A3 . . . An son sucesos excluyentes:P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) . . . + P(An)En particular, si A =  , entoncesP(A1) + P(A2) + P(A3) . . . + P(An) = 1

13. Teorema 7: Para cualquier par de sucesos A1, A2:P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1A2)Es interesante generalizarlo al caso de 3 eventos:P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) − P(A1A2) − P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)Teorema 8: Del teorema 7 se deduce que la siguiente desigualdad (desigualdad de Boole):P(Ai)  P(Ai)

14. Teorema 9: Para dos sucesos A y B P(A) = P(A  B) + P(A  Bc)“La probabilidad total” de que ocurra un evento A es igual a la probabilidad de que A ocurra y ocurra B, más la probabilidades de que A ocurra junto con que Bc ocurra.

15. VER EJEMPLOS(4, 5, 6)

16. DOS FORMAS DE CONSTRUIR LA FUNCIÓN P:   [0, 1]ENFOQUE FRECUENTISTAYENFOQUE CLÁSICO

17. ENFOQUE CLÁSICO

18. REGLAS PARA CONTARRegla 1: Primer principio de conteo o regla de la multiplicación. Con m elementos a1, a2, ..., am y n elementos b1, b2,..., bn es posible formar m.n parejas ordenadas que contienen un elemento de cada grupo.

19. Regla 2: Número de permutaciones de r elementos tomados de un conjunto de n elementos.Un arreglo ordenado de n objetos se llama una permutación. El número de permutaciones de n objetos distintas tomando de r de ellos a la vez, denotado por nPr [Pn, r o P(n,r)] es:nPr = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = n!/(n – r)!

20. Regla 3: Número de combinaciones de r elementos tomados de un conjunto de n elementos. (coeficiente binomial).Un arreglo no ordenado de n objetos se llama una combinación. El número de combinaciones de n objetos distintas tomando de r de ellos a la vez, denotado por nCr es: nCr = (nPr)/r! = n!/r!(n – r)!Nota: También se usan las siguientes notaciones para la combinación Cn, r ó C(n,r) ó

21. Regla 4: Número de formas en las que se pueden asignar n elementos distintos en k grupos diferentes. (Coeficiente multinomial).El número de formas en que se pueden repartir n objetos distintos en k grupos diferentes que contienen n1, n2, ...., nk objetos respectivamente, con ni = n es:

22. PROBABILIDAD CONJUNTA, PROBABILIDAD CONDICIONAL PROBABILIDAD MARGINAL

23. Definición:Consideremos el evento A, con P(A) > 0 y el evento B. Escribiremos P(B|A) para señalar la probabilidad del evento B dado que el evento A ha ocurrido. Además definimos: P(B|A) = P(AB)/P(A).de donde se deduce que P(AB) = P(A).P(B|A)

24. En la ecuaciónP(AB) = P(A)P(B|A)la probabilidad conjunta es igual a la probabilidad condicional multiplicada por algo, que es la “probabilidad marginal.”

25. INDEPENDENCIA DE EVENTOSDefinición de independencia Eventos: A y B son eventos independientes si y sólo si: P(A  B) = P(A)P(B)lo cual implica que P(B|A) = P(B)

26. INDEPENDENCIA CONJUNTA DE EVENTOSLos eventos A1, A2, . . An son conjuntamente independientes si y sólo si:1. Son independientes por pares entre si:P(Aj  Ak) = P(Aj)P(Ak) j  k, j, k = 1, 2 . . . n2. y además: P(Ai) = P(Ai)

27. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTALTEOREMA DE BAYES

28. Teorema 10 (Probabilidad Total) Si los eventos Bi, i  I, son tales que P(A|Bi) está definida i, Bj Bk =  para j  k, y i  IBi = , entonces: P(A) =  i  I P(A|Bi)P(Bi).Recordar que P(ABi) = P(A|Bi)P(Bi).

29. Teorema 11 (Bayes) Si se cumplen todas las condiciones del teorema anterior y dada P(A) > 0, entonces: P(Bk|A) = P(A|Bk)P(Bk)/ i  I P(A|Bi)P(Bi), Bk

30. El teorema de Bayes es una regla para “actualizar” las probabilidades de cualquier evento de una partición de  dado que el evento A ocurre. La distinción entre: el evento A no ha ocurrido y dado que ya ocurrió, apoyan el uso de las expresiones “probabilidad a priori” y “probabilidad a posteriori”.

31. VARIABLES ALEATORIAS