1 / 67

Koliko je duga britanska obala?

Koliko je duga britanska obala?. Andrea Barčan i Konrad Burnik. Kratki uvod. Godine 1967.matematičar Benoit Mandelbrot objavljuje svoj rad pod naslovom: “ How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension ”

lenore
Download Presentation

Koliko je duga britanska obala?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Koliko je duga britanska obala? Andrea Barčan i Konrad Burnik

  2. Kratki uvod Godine 1967.matematičar Benoit Mandelbrot objavljuje svoj rad pod naslovom: “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” i u njemu opisuje ovisnost duljine izmjerene obale o skali u kojoj je ta duljina izmjerena. Matematički gledano, obala je beskonačno duga.

  3. Kratki uvod • Mandelbrot u svom radu “fenomen obale” objašnjava preko svojstva “samosličnosti” obale (self-similarity). • Njegov rad je povijesno važan jer daje uvid u neka njegova prva razmišljanja o “fraktalima”. • Riječ fraktal se prvi put spominje u njegovim radovima tek 1975.

  4. Svojstvo samosličnosti – što je to? • Samosličnost je svojstvo objekta da je ‘sam sebi sličan’, odnosno da u sebi sadrži kopije samog sebe. • Gotovo svi fraktali imaju to svojstvo. • Razlikujemo dvije vrste samosličnosti: približnu i savršenu.

  5. Približna samosličnost • Ako ‘kopije’ početne slike vidimo samo do neke razine,onda govorimo o približnoj samosličnosti.

  6. Savršena samosličnost • Ako na svim nivoima povećanja možemo pronaći kopiju početnog objekta, tada kažemo da je objekt savršeno samosličan. Međutim, savršena samosličnost je sa sobom donijela jedan problem...

  7. Problem dimenzije • Još od Euklida poznato je nekoliko osnovnih pojmova geometrije - točka, linija, površina, i time primitivni pojam dimenzije. Npr točka je ‘ono što nema dijelova’, a linija je ‘nešto što nema širinu a ima duljinu’. • Danas znamo da točka ima dimenziju 0, pravac dimenziju 1, kvadrat dimenziju 2, ... Takva dimenzija zove se topološka dimenzija.

  8. Problem dimenzije • Pojavom fraktala, topološka dimenzija će zakazati .... • Pogledajmo npr. krivulje u ravnini. • Krivulje su intuitivno jednodimenzionalni objekti.

  9. Problem dimenzije • Promotrimo krivulju koja nastaje tako dužinu zamijenimo sa oblikom na slici:

  10. Problem dimenzije • Ako i dalje zamjenjujemo svaku dužinu sa početnim oblikom, dobivamo tzv. Peanovu krivulju, koja popunjava čitav kvadrat!

  11. Nova vrsta dimenzije • Pojam topološke dimenzije nije dobar u slučaju Peanove krivulje. • Zato uvodimo novu vrstu dimenzije - fraktalna dimenzija. • Intuitivno, to je broj koji ‘mjeri’ koliko dobro neki objekt ispunjava prostor u kojem se nalazi.

  12. Definicija fraktala • Za objekt kažemo da je fraktal ako je njegova fraktalna dimenzija strogo veća od topološke. • Zanimljivo, fraktalna dimenzija je gotovo uvijek racionalan broj! (za razliku od topološke koja je uvijek prirodan broj)

  13. Određivanje fraktalne dimenzije • Metoda samosličnosti Za računanje fraktalne dimenzije možemo iskoristiti samosličnost. Uzmimo npr. jednodimenzionalni segment (dužina). Ako ga gledamo s povećanjem faktora 2, vidimo 2 identična segmenta.

  14. Određivanje fraktalne dimenzije Uzmimo sad dvodimenzionalni kvadrat i trokut. Sa faktorom povećanja2, dobivamo 4 identična oblika u svakom od njih.

  15. Metoda samosličnosti • Neka varijabla D bude (tražena) dimenzija, e faktor povećanja, a N broj početnih oblika u slici nakon povećanja. • Uočimo: ako uzmemo faktor povećanja i potenciramo ga dimenzijom, dobivamo broj oblika, odnosno vidimo da vrijedi formula: D sada možemo odrediti logaritmiranjem pa dobivamo:

  16. Metoda samosličnosti • Korištenjem formule za D računamo fraktalnu dimenziju Peanove krivulje. • U danom obliku ima 9identičnih linija i sve su duge 1/3 od početnog segmenta: N = 9, e = 3 • D = log 9 / log 3 = 2 kao što smo i očekivali.

  17. Metoda samosličnosti • Metoda samosličnosti je pogodna za fraktale u kojima se na određenom nivou sve njegove kopije smanjuju za isti faktor. • Ne možemo ju primjeniti na određivanje dimenzije fraktala koji zadovoljava svojstvo Brownove samosličnosti jer se kod nje kopije na nekom nivou smanjuju za različite faktore.

  18. Grafička metoda • Crtamo graf log(veličina) naspram log(faktor povećanja) (veličina je duljina, površina itd.). Za ne-fraktalne objekte (dužina, kvadrat, kocka) dobivamo konstantne funkcije (veličina se ne mijenja).

  19. Grafička metoda • Ako nacrtamo isti graf za fraktalne objekte dobivamo pravce s koeficijentom smjera različitim od nule. • Za fraktale vrijedi formula: Dimenzija = nagib pravca + 1

  20. Metoda prebrojavanja(box-counting method) • Kod ove metode zamišljamo da smo fraktal postavili u kvadratičnu mrežu sa ćelijama h x h. • Broj ćelija u mreži koje zauzima fraktal označimo sa N. • Smanjivanjem h (finijom podjelom) više detalja uzimamo u obzir, što je ekvivalentno rastu faktora povećanja: e =1/ h.

  21. Određivanje fraktalne dimenzije • Kod metode samosličnosti imali smo formulu D=log(N) / log(e). Kod ove metode to postaje: D=log(N) / log(1 / h) • Kako smanjujemo h, tako dimenzija postaje sve preciznija. • Ova metoda za računanje fraktalne dimenzije je vrlo korisna za oblike u prirodi koji se teško mjere.

  22. Određivanje fraktalne dimenzije • Izračunajmo fraktalnu dimenziju Box-fraktala prethodnom metodom. • Smjestimo sliku na mrežu sa h=1/3 i h=1/9. • Za prvi h, 5 polja je neprazno,a za drugi njih 25. Upotrebom ovih brojeva dobivamo: D=log5 / log[1 / (1 / 3)] = 1.46. D=log25 / log[1 / (1 / 9)] = 1.46 Fraktalna dimenzija: 1.46

  23. Fraktalna dimenzija britanske obale • Izmjereno je da britanska obala ima fraktalnu dimenziju jednaku 1.24 (za hrvatsku obalu još se ne zna :-) )

  24. Generiranje fraktala • Fraktali nastaju na tri osnovna načina: • 1. iteracijom generatora • 2. IFS iteriranjem • 3. iteriranjem formule

  25. Iteracija generatora • Počinjemo s oblikom koji se zove 'baza'. • Tada zamijenimo svaki dio početnog oblika sa drugim oblikom, koja se zove 'motiv‘ ili ‘generator’. • U novom obliku, ponovo zamijenjujemo svaki dio motivom.

  26. Iteracija generatora • Kochova krivulja: • Fraktalna dimenzija: 1.2619

  27. Iteracija generatora • Spajanjem tri Kochove krivulje nastaje Kochova pahulja (Koch snowflake).

  28. Iteracija generatora • Kochov otok • Fraktalna dimenzija: 1.5000

  29. Iteracija generatora • Trokut Sierpinskog • Fraktalna dimenzija: 1.5850

  30. Iteracija generatora • Veza trokuta Sierpinskog i Pascalovog trokuta

  31. Iteracija generatora Primjeri: Levyjeva krivulja: Fraktalna dimenzija: 1.9340

  32. Iteracija generatora Primjeri: Hilbertova krivulja: Fraktalna dimenzija: 2

  33. Iteracija generatora • Fraktale također možemo kreirati iz trodimenzionalnih objekata za bazu, kao što je kocka ili piramida. • Tako dobivamo piramidu Sierpinskog (dimenzije 2) i Mengerovu spužvu (dimenzije 2.7268).

  34. Iteracija generatora na računalu • Iteracija generatora je jednostavna, sve što treba činiti je uzeti oblik i supstituirati ga s drugačijim određen broj puta. • Za kompjutere nije pogodno imati sliku baze i motiva. • Pogodnije je bazu i motiv zadati nekako opisno.

  35. Iteracija generatora na računalu • Idealan način je ovakve fraktale crtati u programskom jeziku LOGO. • Neke njegove osnovne naredbe su: • FD :a – crtaj prema naprijed za iznos a • BK :a – crtaj prema nazad za iznos a • LT :kut – rotacija “ulijevo” za iznos kuta • RT :kut – rotacija “udesno” za iznos kuta • If uvjet [naredbe] – ispitivanje uvjeta

  36. Iteracija generatora na računalu • LOGO podržava i potprograme. • Npr. TO Potprogram :X naredbe END Potprogrami se mogu i rekurzivno pozivati.

  37. Primjeri u jeziku LOGO to Stablo :a :n :kut if :n = 0 [Stop] fd :a lt :kut Stablo :a / 2 :n - 1 :kut rt :kut * 2 Stablo :a / 2 :n - 1 :kut lt :kut bk :a end Fraktalna dimenzija: 1

  38. Primjeri u jeziku LOGO to koch :a :n if :n=0 [ fd :a] if :n>0 [ koch :a/3 :n-1 lt 60 koch :a/3 :n-1 rt 120 koch :a/3 :n-1 lt 60 koch :a/3 :n-1 ] end

  39. Primjeri u jeziku LOGO to Hilbert :a :n :sgn if :n=0 [stop] lt :sgn * 90 Hilbert :a :n-1 -:sgn fd :a rt :sgn * 90 Hilbert :a :n-1 :sgn fd :a Hilbert :a :n-1 :sgn rt :sgn * 90 fd :a Hilbert :a :n-1 -:sgn lt :sgn * 90 end

  40. Sustav iteriranih funkcija (IFS) • IFS (iterated function system / sustav iteriranih funkcija) je drugi način da se generiraju fraktali. • Također, oni daju i osnovu za fraktalnu kompresiju.

  41. Sustav iteriranih funkcija (IFS) • Funkcije koje koristimo kod IFSa zovemo afinim preslikavanjima. • Primjeri afinih preslikavanja su: • Rotacija • Translacija • Kontrakcija (homotetija s k < 1) • Zrcaljenje (simetrija) • U dvije dimenzije, afina preslikavanja možemo zapisati: x’ = a x + b y + e y’ = c x + d y + f

  42. Sustav iteriranih funkcija (IFS) • Dakle, za zadati afino preslikavanje potrebno je samo 6 parametara (a, b, c, d, e, f). • IFS je dakle zadan konačnim nizom afinih preslikavanja (w1, w2, w3, .... , wk).

  43. Sustav iteriranih funkcija (IFS) • Primjer: Trokut Sierpinskog • Dobivenu figuru uzimamo kao početnu u idućoj iteraciji. • koristimo kontrakciju i translacije.

  44. Primjena IFSa Fraktalna kompresija • Želimo sažeti sliku lijevo fraktalnom kompresijom. • Početnu sliku treba rotacijama, translacijama, skaliranjima i zrcaljenjima prekriti njezinim kopijama.

  45. Primjena IFSa Fraktalna kompresija • Početnu sliku time svodimo na niz funkcija s ovim parametrima: (0.85, 0.04,-0.04, 0.85, 0.00, 1.60) (-0.15, 0.28,-0.26, 0.24, 0.00, 0.44) (0.20, -0.26, 0.23, 0.22, 0.00, 1.60) (0.00, 0.00,0.00, 0.16, 0.00, 0.00) • Njihovim iteriranjem možemo rekonstruirati početnu sliku, čime dobivamo uštedu prostora od99,99291 % (!)

  46. Primjena IFSa Fraktalna kompresija • Velika prednost fraktalne kompresije jest vrlo veliki omjer sažimanja, no fraktalna kompresija ima i jedan veliki nedostatak .... • Fraktalna kompresija je jako spora! • Taj problem još danas nije u potpunosti riješen, ali postoje neka “dovoljno dobra” rješenja!

  47. Iteriranje formule • Iteriranje formule je najjednostavniji oblik iteracije, ali i najvažniji jer se pomoću njega generiraju najkompleksniji uzorci. • Bazira se na iteraciji brojeva.

  48. Iteriranje formule • Postoje tri tipa fraktala koja se mogu generirati iteriranjem različitih formula: • 1. čudni atraktori – jednostavno započinje koordinatama inicijalne točke i određuje svaku iduću točku upotrebom formule. • x(0) = 0; y(0) = 0; • x(i+1) = 1 + y(i) – 1.4 x(i)2y(i+1) = 0.3 x(i)

  49. Iteriranje formule • 2. Julia fraktal dobivamo na slijedeći način: Fiksiramo neki C iz kompleksne ravnine i iteriramo funkciju f(z) = z2 + C tj. računamo: f0 = 0 fn+1 = fn2 + C • Oni z-ovi za koje gornja iteracija neće težiti u beskonačnost pripadaju Julia skupu. Njih obično crtamo jednom bojom. • Ostale z-ove bojamo ovisno o tome koliko brzo oni teže u beskonačnost.

  50. Iteriranje formule – Julia fraktal

More Related