Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP)

1. Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP) Contenidos: • Definición del problema de satisfacción de restricciones (CSP). Áreas de aplicación. • Especificación de un problema CSP: variables, dominios y restricciones. • Tipología de restricciones (discretas y continuas, fuertes y débiles, restricciones lineales, disyuntivas, etc.).

2. CSP “Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea” Rina Dechter, In 'Constraint Processing' Morgan Kaufmann Pub. (2003)

3. EJEMPLOS 1 • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y{0,…,9} • Restricciones • 103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y Objetivos s e n d + m o r e m o n e y • Consistencia • Soluciones • Coloreado de Mapas • Variables: x,y,z,w • Dominios: x,y,z,w:{r,v,a} • Restricciones: binarias • x y, yz, z  w, ... x y w z El Problema de las 8 Reinas…

4. EJEMPLOS 2 Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació. Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra. Donde nació y vive cada uno?

5. EJEMPLOS 3 • "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos). • Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa“ • Cuestiones: • ¿Esta información es consistente? • ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro? • ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido de casa?, etc.

6. EJEMPLOS 4 • Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado • Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10] • Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc. • Consistencia • Intervalos de tolerancia • Soluciones • etc Objetivos

7. CSP Problemas de Satisfacción de Restricciones CSP Metodología de Resolución de problemas INTELIGENCIA ARTIFICIAL

8. Definición de CSP • Un Problema de Satisfacción de Restricciones(CSP) • se puede representar como: • Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn} • Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> )para las variables: xiÎDi • Un Conjuntode Restricciones entre las variables: • C ={c1, c2, ..., cm}

9. Modelización CSP MODELACIÓN CSP Variables Dominios Restricciones (EXPRESIVIDAD) 1) Técnicas Resolución CSP (EFICICIENCIA) RESOLUCIÓN CSP 2)

10. Modelización 1 • Variables: s,e,n,d,m,o,r,y • Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9} • Restricciones s e n d + m o r e m o n e y Especificación CSP • Variables: s, e, n, d, m, o, r, y • Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} • Restricciones: • Todas Diferentes, • 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y

11. Modelización 2 s e n d + m o r e m o n e y • Variables: s, e, n, d, m, o, r, y • Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9} • Restricciones: • se, sn, sd, sm, so, sr, sy, en, ed, em,….. • d+e = y+10c1 • c1+n+r = e+10c2 • c2+e+o = n+10c3 • c3+s+m = 10m+o

12. Resolución s e n d + m o r e m o n e y MODELACIÓN CSP RESOLUCIÓN CSP

13. Objetivos • Consistenciadel problema (existe solución). • Obtener una o todas las soluciones del problema. • Obtener los dominios mínimos. • La solución que optimiza una función objetivo o multi-objetivo. CSP es NP-completo, NP-duro

14. Objetivos • Objetivo de un CSP: • Tiene solución? ÞConsistencia. • Obtener una solución. Obtener todas las soluciones. • Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo (función de evaluación). • Algoritmos para CSP: • Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas. • Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del problema.

15. Conceptos básicos • Dado un CSP (X, Di, C), • Una instanciación (o asignación) de las variables Xes una asignación de valores a las variables en sus dominios: • x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn/ viÎD • Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema. • Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación xi=v. • Un CSP es consistente sii tiene al menos una solución.

16. Conceptos básicosVariables • Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son • discretas, es decir, toman valores en dominios discretos. • Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos. • Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas. • Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente. • Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones • tienen más de dos variables.

17. Conceptos básicosRestricciones • Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos. • Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos. • Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables. • N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2). • Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible. • Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible. • Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia. • Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.

18. N-reinas Definición: posicionar n reinas en un tablero de ajedrez n xn, de forma que no se ataquen. Formulación: 1 reina por fila • variables: reinas, Xireina en la fila i-ésima • dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n} • restricciones: no colocar dos reinas en – la misma columna – la misma diagonal Características: • CSP binario, discreto y finito

19. Coloreado de Grafos Definición: Dado un grafo, • n nodos • m colores, asignar un color a cada nodo de forma que no haya dos nodos adyacentes con el mismo color. Formulación: • variables: nodos • dominios: colores posibles • restricciones:  nodos adyacentes Características: • CSP binario, discreto y finito

20. Crucigrama Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir un crucigrama compatible. Formulación: • variables: grupo de casillas para una palabra (slots) • dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada • restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras Características: • CSP binario, discreto y finito (dominios grandes)

21. Restricciones Temporales Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal consistente. Formulación: • variables: sucesos • dominios: intervalo temporal para cada suceso • restricciones: distancia temporal permitida entre sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc. Características: • CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos). Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa"

22. Problema de diseño Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos posibles. Formulación: • variables: partes y elementos del diseño • dominios: valores permitidos para cada parte y elemento • restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer. Características: • CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas.

23. CSPs binarios & n-ariosBinario • Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, • donde: • Nodos: Variables • Arcos: Relaciones binarias entre las variables. X4 X2 X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4 R45 x5 x2 R25 x5 X1 X5 X3

24. CSPs binarios & n-ariosNo Binario X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde: Nodos: Variables Arcos: Relaciones binarias entre las variables. C123 C24567

25. Consistencia: Niveles1-consistencia Consistencia de nodo (1-consistencia) Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo: 10xi 15, D(Xi):{0, 10} Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes: "xiÎCSP, $viÎD / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: DÇci0¹{Æ})

26. Consistencia: Niveles2-consistencia Consistencia de arco (2-consistencia): Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface. Por ejemplo el arco: Cij xi xj £ [3,6] [8,10] es consistente, pero no lo sería si cij en vez de £ fuese ³ Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes. "cij ÍCSP, "viÎdi$vjÎdj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj

27. Backtracking: ejemplo

28. Backtracking: ejemplo

29. Backtracking: ejemplo

30. Backtracking: ejemplo