REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR

1. REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR

2. HUBUNGAN LIBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR BERGANDA Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka hubungan linear dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linear berganda sebagai berikut : Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk Disini ada satu variabel tidak bebas, yaitu Y’ dan ada k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk

3. Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut : b0 n + b1X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Y b0 X1 + b1X1 X1 + b2  X1X2 + . . . + bk  X1Xk = X1Y b0 X2 + b1X1 X2 + b2  X2X2 + . . . + bk  X2Xk = X2Y . . . . . . . . . . . . . . . b0 Xk + b1X1 Xk + b2  X2Xk + . . . + bk  XkXk = XkY

4. Kalau persamaan ini dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, . . . , bk. Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear berganda. Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat meramalkan nilai Y dengan syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah diketahui. Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y), dan dua variabel bebas (X1 dan X2), maka b0, b1, dan b2 dihitung dari persamaan normal berikut :

5. b0 n + b1X1 + b2 X2 = Y b0 X1 + b1X1 X1 + b2  X1X2 = X1Y b0 X2 + b1X1 X2 + b2  X2X2 = X2Y Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut :

6. Variabel b dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : Dimana :

7. det(A) = (n) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (X2) – (X1X2) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (X1) det(A0) = (Y) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2Y) + (X2) (X1Y) (X1X2) – (X2Y) (X1X1) (X2) – (X1X2) (X1X2) (Y) – (X2X2) (X1Y) (X1)

8. det(A1) = (n) (X1Y) (X2X2) + (Y) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X2Y) – (X2) (X1Y) (X2) – (X2Y) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (Y)

9. det(A2) = (n) (X1X1) (X2Y) + (X1) (X1Y) (X2) + (Y) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (Y) – (X1X2) (X1Y) (n) – (X2Y) (X1) (X1)

10. Korelasi Berganda : Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2, maka korelasi X1 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

11. Korelasi X2 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

12. Korelasi X1 dan X2 digambarkan dengan rumus berikut :

13. Kalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2), maka kita harus menggunakan suatu koefisien korelasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB) yang rumusnya adalah sebagai berikut :

14. Apabila KKLB dikuadratkan, maka akan diperoleh koefisien penentuan (KP), yaitu suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan dari beberapa variabel X terhadap variasi (naik-turunnya) Y. Kalau Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, KP mengukur besarnya sumbangan X1 dan X2 terhadap variasi, atau naik turunnya Y. Apabila dikalikan dengan 100% akan diperoleh persentase sumbangan X1 dan X2 terhadap naik-turunnya Y.

15. Koefisien Korelasi Parsial : Kalau variabel Y berkorelasi dengan X1 dan X2, maka koefisien korelasi antara Y dan X1 (X2 konstan), antara Y dan X2 (X1 konstan), dan antara X1 dan X2 (Y konstan) disebut Koefisien Korelasi Parsial (KKP)

16. Koefisien korelasi parsial X1 dan Y, kalau X2 konstan Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1 konstan

17. Koefisien korelasi parsial X2 dan Y, kalau X1 konstan

18. TREND PARABOLA Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi di mana variabel bebas X merupakan variabel waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat berupa garis lurus maupun tidak lurus. Persamaan garis trend parabola adalah sebagai berikut : Y’ = a + bX + cX2

19. Perhatikan bahwa bentuk persamaa seperti persamaan garis regresi linear berganda adalah Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, di mana b0 = a, b1 = b, b2 = c, X1 = X, dan X2 = X2. Dengan demikian cara menghitung koefisien a, b, dan c sama seperti menghitung b0, b1, dan b2, yaitu menggunakan persamaan normal sebagai berikut :

20. a n + b X + c X2 = Y a X + b X2 + c X3 = XY a X2 + b X3 + c X4 = X2Y

21. TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Ada beberapa jenis trend yang tidak linear tetapi dapat dibuat linear dengan jalan melakukan transformasi (perubahan bentuk). Misalnya, trend eksponensial : Y’ = abx dapat diubah menjadi trend semi log: log Y’ = log a + (log b)X; log Y’ = Y’0; log a = a0 dan log b = b0. Dengan demikian, Y’0 = a0 + b0X, dimana koefisien a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan normal.

22. TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH Bentuk Y’ = abx dapat dikonversi dengan jalan menambahkan bilangan konstan k. Dengan demikian, persamaan menjadi: Y’ = k + abx Tergantung pada nilai a dan b, maka bentuk kurva Y’ = K + abx dapat berubah-ubah.

23. Oleh karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan bentuk linear dengan jalan transformasi, maka untuk memperkirakan atau menghitung nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil. Jadi disini harus dipergunakan cara lain, yaitu dengan memilih beberapa titik. Caranya adalah sebagai berikut :

24. Y k X 0 2 4

25. Kita peroleh tiga titik, yaitu : X = 0, X = 2, X = 4 Y1 = k + ab0 = k + a Y2 = k + ab2 Y3 = k + ab4 Dalam 3 persamaan diatas terdapat 3 bilangan konstan yang tidak diketahui, yaitu k, a, dan b. Dengan melakukan pemecahan terhadap persamaan diatas, kita peroleh:

27. Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun, maka rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah sebagai berikut:

28. TREND LOGISTIK Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat laun agak lambat, dimana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai mencapai suatu titik jenuh.

29. Bentuk trend logistik misalnya sebagai berikut : Bilangan konstan k, a, dan b dapat dicari dengan cara seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik.

30. Kita pilih 3 titik T1, T2, T3 denngan nilai (X = 0;Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y4). Setelah nilai X dimasukkan ke persamaan trend logistik, kita dapat mencari persamaan untuk T sebagai berikut.

31. Dari 3 persamaan tersebut diatas, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai b, a, dan k, sebagai berikut :

32. Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak t tahun, maka.

33. TREND GOMPERTZ Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut : Di mana k, a, dan b konstan.

34. Kalau diambil lognya, log Y’ = log k + (log a)(bx). Selanjutnya kalau log Y’ = Y0; log k = k0 dan log a = a0, maka bentuknya menjadi Y’0 = k0 + a0bx, sama seperti trend eksponensial yang diubah.