Vaardigheden met basis en top

1. Vaardigheden met basis en top Aad Goddijn Fi-Sme (Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education) JCU (Junior College Utrecht)

2. Bruno, Brigitte, Valentijn, JCU-VWO6, Utrecht • Gedeelde 1e plaats Van Melsen Prijs, Nijmegen voor hun thesis (PW+) over schuifpuzzels

3. Oók het JCU:De product-regel in een toets:geen antwoord in herkansing

4. Het JCU • 5 en 6 VWO; 100 ll. uit omgeving Utrecht • Ma/Di 9.00-16.30 op UCU-campus Utrecht, rest op ‘eigen school’ • Selectie op b-motivatie en aanleg. • Na-Wi-Sch-Bi; NT +BIO; 105+105 per vak • Regulier VWO-progr. (Vwo-docenten) + extra’s (samenwerking UU) • Practica science met UU mensen en spullen. • Aandacht voor vakoverstijgende modules • Pre-thesis, modules, symposia, excursies (CERN), Thesis, Sint, Kerst en zoveel mogelijk overleg. • (We willen veel en zijn dinsdagmiddag heel moe.)

5. JCU-onderzoek/implementatie in NKBW verband: • Bekijk de wiskundige ‘(on)vaardigheden’ van de JCU-ers op inhoudelijke kenmerken • Specifieke aansluitproblematiek (4 >> 5) • Wat deden de toppers en de zwakken fout en goed? • Hoe kunnen we er iets van leren voor de aansluitingsproblematiek? • Vandaag: een aanzet met voorbeelden en een 3-voetig standpunt.

6. Voorbeeld 0: Schuifpuzzels doorgrondcitaat (en foto) uit de thesis: Voorbeeld: [pariteit van permutaties] Permutatie α = (132) in P3: P3= (x1– x2)(x1– x3)(x2– x3) α P3= (x3– x1)(x3– x2)(x1– x2) = (x1– x2) * -(x1– x3) * -(x2– x3) = + P3 …. Het teken van α is dus +1. Wat is hier zo goed aan? - Plan getrokken - goed begrijpend-algebraïsch-mechanisch uitgevoerd, - Mooi betekenis-accent in de +. Zien we deze drieslag bij de anderen ook?

7. Voorbeeld 1: toetsvraag cirkel van Apollonius • Er zijn punten in het vlak die drie keer zo ver van A(-4,0) liggen dan van B(4,0). • Bijvoorbeeld: P(2,0) en Q(8,0) en R(5,3) • .. • .. • Bepaal een vergelijking voor de verzameling punten. • [23/4: het is een cirkel]

8. Uitwerking 1 • Tekstinleiding heeft lager taalniveau dan algebra • Haakjes verdrijven etc. is goed aangeleerd • ‘Inzetten van haakjes ontbreekt jammerlijk’ Diagnose: Acties op de vierkante millimeter Ontbreekt: beslissen op grond van formule-betekenis

9. Uitwerking 2 • 4 verzakte tot y, termen verdwenen • De fout werd gesignaleerd! Aan het eind? Omdat het niet verder lukt? • Goede versie bevat 1 stap minder; simultane actie, en loopt als water

10. Prijs winna(a)r)es( ! Uitwerking 3 • Verkeerde stap bij kwadraat afsplitsen en overbrengen (in simultane actie) • Fout wordt gesignaleerd in betekenis-argument!! • Redeneert toch door bij c, met algemene kennis!

11. Voorbeeld 2: cirkelvergelijking opstellen Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat. A: Waarom doe je dat? [dwz. stap 3 en verder] • S: “Ik dacht dat ‘t moest” A: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is? Commentaar: Sturing van de algebra vanuit betekenis is hier beperkt. Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.

12. voorbeeld 3: (meetkunde met complexe getallen, math-edu master.Symmetrie-principe,Moebius transformaties)

13. Chaotisch branding van goed algebraisch uitgevoerde golven met weinig koers Positief: na aanspoelen bij het resultaat wordt het wel herkend Bold slotregel: dit is HET bewijs! (Bewijs kan ook in 1 regel)

14. De 99% subtoppers • Zien algebraïsche handelingen als verplichte nummers • Vergelijking? >> oplossen! • Haakjes? >> verdrijven! • Breuken? >> gelijknamig maken! (soms) • die geïsoleerd moet worden uitgevoerd. • Mogelijk is dat niet altijd slecht, maarze komen het struikgewas soms niet meer uit,ook als hun basisvaardigheden (heel, te) goed zijn …..

15. Terence Tao (1975- )de Mozart van de Wiskunde (NRC, zaterdag j.l.) ‘Kijk, wiskunde lijkt op het zoeken van een weg van A naar B. Dat kun je doen vanaf de grond, door je gestaag een weg door het struikgewas te banen. Maar je kunt ook, al vliegend boven het landschap, een weg proberen te ontwaren. Je hebt beide manieren nodig. Als je alleen maar het grote overzicht hebt, mis je details die cruciaal kunnen zijn. Maar wie zich verliest in details, ziet niet meer waar hij heen gaat.”

16. Een Januskop • Basisvaardigheden als bouwsteen in een grotere wiskundige aktiviteit. • De grotere aktiviteit geeft betekenis en sturing aan het kiezen en uitvoeren van algebraïsche basisvaardigheden.

17. Voorbeeld 4:(vooraf aangekondigde bonusopgave bij toets) • Bereken de som van de eerste N oneven kwadraten. (12 + 32+ 52, etc) • (Extra: vergelijk (deel!) met eerste N kwadraten) • Thuis maken. Wordt op toets gevraagd. • Levert veel algebraische activiteit op.

18. Goed gedaan! Helder gebruik van A, B en n volgens eigen keuze: overzicht OK. Factoren deels bijeengebracht …… maar …..

19. Goed gedaan Fout vervolg! Breuken volgens hoofdwet van Murphy: Wat fout kan, gaat fout. Balans overzicht en detail niet in orde. Zo’n contrast lijkt uitzonderlijk; meestal bij ‘grote’ breuken.

20. ? Toelichting op N en 2n. ZELDZAAM!!! Kiezen en bijstellen van de variable

21. Drie • Basisvaardigheden als bouwsteen in een grotere wiskundige aktiviteit. • De grotere aktiviteit geeft betekenis en sturing aan het kiezen en uitvoeren van algebraïsche basisvaardigheden. • ‘Zelf construeren’ (oa. keuze van variabelen in de oplossing van een opgave) houdt de leerling later (vaak) op de rails, maar niet bij totale zwakte. Dit moet wel (aan)geleerd worden ..

22. Voorbeeld 6: Modelleren • Stukje wereld nabouwen met ‘wiskundestof’ • Vraagt om zelf opstellen van formules en rollen bepalen van de variabelen • Te oefenen in module schei-wiskunde. • Reactievergelijking als aanleiding voor wiskunde. • Enkele beelden uit een lessenserie die knipoogt naar de algebra.

23. Scheikundig evenwicht en wiskundige convergenties

24. benzine JB Jw water Naar het twee fasen-evenwicht k1 k2 k1 k2 Transport ~ concentratie ~ hoeveelheid in medium. dv-tje, e-machtje, klaar! Maar … dat kennen we nog niet in december-5-VWO

25. Simpel model-verhaal Stel je voor: Heer C bezit 900 euro en komt vriendin E tegen. Die bezit slechts 100 euro. Het openhartige gesprek gaat over geld en de ongelijke verdeling daarvan in de wereld, in het bijzonder tussen C en E zelf. “Kijk”, oppert E, “wij verschillen 800, als wat dat verschil delen is toch alles opgelost.” “Sorry”, antwoord C, “dat is toch wel een erg ruwe ingreep in mijn bestaan!”. E: “Begrijp ik helemaal. Eigenlijk ben ik vandaag ook beste tevreden met een tiende van het verschil.” C: “Schappelijk van je. Doen we meteen.” Zo gezegd, zo gedaan. Het gaf C een goed gevoel. “Ik ben nu best gul in haar ogen en bovendien ga ik er niet echt hard op achteruit.” De volgende dag komen ze elkaar wéér tegen. Met 820 en 180 euro op zak en er volgt wederom een openhartig gesprek. “Kijk”, oppert E. Het loopt wéér uit op overgeven van eentiende van het verschil. En dit verhaal gaat door en door en door ....

26. Reken 5 stappen door! • Start met 900 en 100 • C geeft elk dag 1/10* (C - E) aan E • Of: • Is dat hetzelfde? • Loopt het af? Zo ja, hoe?

27. Verfijning, Excel, Algebra en Verder • Zelf Bouwen in EXCEL. Exploreren wat er gebeurt • ‘Snelheden’ aanpassen • Overgangs formules maken; Naar meetkundige rij; Voorspellende formule maken. • …….. • …….. • HEEL WAT ALGEBRA BOUWEN, MET EEN DOEL IN DE VERTE.

28. Lastige stappen… • Alles bepaald door • verhouding van C en E op een moment • verhouding van de overgangsgetallen • Ce en Ee zijn samen het totaal C+E = T; dat is vast. • Wat zijn Ce en Ee zelf? • Julia: Ce = (b/a) Eeen Ee = (a/b)Ce Voor de evenwichtswaarden Ce en Ee geldt: a * Ce = b * Ee de evenwichtsvoorwaarde

29. Cv, Ch en Ce Ev, Eh en Eeen de afwijking van het evenwicht • . • . • . • . • . • . • Cv - Ce = (1- (a+b) ) (Ch - Ce ) • En dussssssss …. is C geheel voorspeelbaar, want ……

30. Terug naar het Jodium-transport • Jodium twee fasen-evenwicht is van de C-E soort! • De overgangsregels hebben een factor Dt • Evenwichtsvoorwaarde: k1× [Jw] = k2 × [JB]

31. Vervolg ……. • Verdeel tijdstap in n gelijke stukjes • Wat gaat dat worden als n groot wordt? • Experimenteer op de GR met (1+a/n)^n • Met hoge n bij vaste x …… • ……………… uiteindelijk ……

32. Wiskundige Reacties op Scheikundig evenwicht e = 2.718281828

33. Slot: Balans en standpunt A: Geen wiskunde mogelijk zonder vaardigheden. • De machine loopt anders voortdurend vast B: Geen vaardigheden geisoleerd verwerven zonder wiskundig inzicht • De machine slaat anders op hol C: Zinvolle wiskundige constructies (bijv. modelleren) geven kansen A en B bij elkaar te houden.

34. Wordt vervolgd!