ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

1. ALJABAR MATRIKSpertemuan12 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

2. Nilai Eigen Definisi : MisalkanA adalahsuatumatriks n x n. skalarλdisebutsebagaisuatunilaieigenataunilaikarakteristikdari A jikaterdapatsuatuvektortaknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebutnilaieigenatauvektorkarakteristikdariλ Contoh : Misalkan A = dan x = Karena Ax = Dari persamaaniniterlihatbahwaλ = 3 adalahnilaieigendari A dan x = (1,2)Tmerupakanvektoreigendariλ PersamaanAx = λx dapatdituliskandalambentuk (A – λI) x = 0 Jadiλadalahnilaieigendari A jikadanhanyajikapersamaandiatasmemilikisuatupenyelesaiantaktrivial. Ruangbagian N(A – λ I ) = 0 dinamakanruangeigen (eigen space) yang berhubungandengannilaieigenλ

3. PersamaanAx = λx akanmempunyaipenyelesaiantaktrivialjikadanhanyajika (A – λI) singular atausecaraekuivalen Det (A – λ I) = 0 ….. (2) Jikadeterminanpadapersamaandiatasdiuraikan , akankitadapatkansuatupolinomberderajatke-n dalampeubahλ P( λ ) = Det (A – λ I) Polinominidisebutpolinomkarakteristikdanpersamaan (2) disebutpersamaankarakteristikuntukmatriks A. Akardaripolinomkarakteristikadalahnilaieigendari A.

4. Contoh : Carilahnilai – nilaieigen dan vektoreigen yang bersesuaiandenganmatriks A = Penyelesaian : Persamaankarakteristiknyaadalahatauλ2 – λ – 12 = 0 Jadinilaieigendari A adalahλ1 = 4 danλ2 = -3. Untukmencarivektoreigen yang dimilikiolehλ1 = 4, kitaharusmenentukan kernel (ruangnol) dari A – 4 I. A – 4 I = Denganmenyelesaikan (A – 4 I ) x = 0 , kitamendapatkan x = (2x2 , x1)T . Jadisemuakelipatantaknoldari (2 ,1)Tadalahvektoreigenmilikλ1dan {(2,1)T} adalahsuatu basis untukruangeigen yang bersesuaiandenganλ1

5. Kesimpulan : Misalkan A adalahmatriks n x n danλadalahsuatuskalar. Pernyataan – pernyataanberikutiniadalahekuivalen. (a). λadalahnilaieigendariλ (b). (A - λI) x = 0 mempunyaipenyelesaiantaktrivial (c). N (A - λI) ≠ {0} (d). A - λI adalah singular (e). Det (A - λI) = 0

6. Latihan • Carilahnilai – nilaieigendanruangeigen yang bersesuaianuntuksetiapmatriksberikutini : • A = • B = • C = • D =

7. SistemPersamaanDiferensial Linear Pertamakitatinjausistempersamaanordesatu yang berbentuk : Y11 = a11y1 + a12y2 + … + a1nyn Y21= a21y1 + a22y2 + … + a2nyn … Yn1= an1y1 + an2y2 + … + annyn Dimanayi = fi (t) adalahfungsi C1[a,b] untuksetiapi. Jikamisalkan Y = dan Y1 = makasistemtersebutdapatdituliskandalambentuk Y1 = AY Y dan Y1 keduanyaadalahfungsivektordari t. Jelas , fungsiapapun yang bentuknya y(t) = c.eλt (c adalahkonstantasembarang) memenuhipersamaanini. Generalisasialamidaripenyelesaianiniuntukkasus n > 1 mengambil Y = Dimana x = {x1 , x2 , … , xn}T.

8. Contoh : Selesaikansistemberikutini : Y11 = 3y1 + 4y2 Y21 = 3y1 + 2y2 Penyelesaian : A = Nilaieigendari A adalahλ1 = 6 danλ2 = -1. Vektoreigendariλ1adalah x1 = (4,3)Tdanvektoreigendariλ2adalah x2 = (1,-1)T . Jadifungsivektorapapun yang berbentuk Y = = adalahpenyelesaiandarisistemtersebut.

9. Latihan • Carilahpenyelesaianumumuntuksuatusistemberikutini : • Y11 = y1 + y2 dan Y21 = -2y1 + 4y2 • 2. Y11= y1- 2y2dan Y21 = -2y1 + 4y2 • 3. Y11= 3y1 - 2y2dan Y21 = 2y1+ 3y2

10. Diagonalisasi Teorema : Jikaλ1 , λ2 , … λn adalahnilai – nilaieigen yang berbedadarimatriks A berordo n x n, denganvektor – vektoreigen yang Bersesuaian x1 , x2 , … , xkmaka x1 , x2 , … xkadalahbebas linear Definisi : Suatumatriks A berordo n x n disebutdapatdidiagonalisasijikaterdapatmatriks X singular dansuatumatriks diagonal D sedemikianrupasehingga X-1AX = D Kita katakanbahwa X mendiagonalisasi A.

11. Contoh : Misalkan A = Nilaieigendari A adalahλ1 = 1 danλ2 = -4 Vektor – vektoreigen x1 = (3,1)T dan x2 = (1,2)T Misalkan X = Makaselanjutnya X-1AX = = D Dan XDX-1 = = A

12. Latihan Padasetiapsoalberikutini, faktorkanmatriks A kedalamhasil kali XDX-1, dimana D adalah diagonal A = B =