1 / 28

NUMERIKUS MÓDSZEREK II

NUMERIKUS MÓDSZEREK II. Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben. Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus medrekben. A felszíngörbe numerikus maghatározása akkor lehetséges, ha ismerjük a nyílt felszínű csatorna (vagy vízfolyás)

lok
Download Presentation

NUMERIKUS MÓDSZEREK II

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben

  2. Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus medrekben • A felszíngörbe numerikus maghatározása akkor lehetséges, ha ismerjük a nyílt felszínű csatorna (vagy vízfolyás) • keresztszelvényeinek alakját, • az érdességi tényezőt, • a hossz mentén állandó vagy változó vízhozamot és • a legalsó szelvény vízszintjét (áramló vízmozgás esetén!).

  3. A felszíngörbe számításának matematikai modellje és számítógépes algoritmusa • A matematikai modell felállítása

  4. A matematikai modell felállítása Kiindulás: A permanens áramlás teljes keresztszelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet:

  5. A képletben szereplő tényezők: 1 és 2 - alsó indexek az egyes hidraulikai jellemzők vízfolyás irányában a felső ill. az alsó értékére utalnak, valamint Z - a vízszint a viszonyítósík felett, p - a nyomás, v - a szelvény középsebessége,  - az egyenlőtlen sebességeloszlást figyelembe vevő tényező (diszperziós- vagy Coriolis tényező),  - a folyadék fajsúlya, g - a nehézségi térerősség, hv - az 1-2 szakaszon az energiaveszteség.

  6. Tüntessük fel az előbbi ábrán az energiavonalat is! Lagrange szerint: ha az energiavonal folytonos és a x tartományban folytonosan differenciálható. - az energiavonal átlagos esése az 1-2 szakaszon, - az 1-2 szakaszon az energiavonalat egy közbenső i pontban érintő egyenes esése.

  7. A két szelvény (1-2) közötti energiaveszteség: Chézy szerint ebből következően: itt: az energiaveszteség:

  8. Egyszerűsítések - a nyílt felszínről lévén szó p1 = p2, - megfelelően kicsi x távolságot választva, a szelvények közötti sebességváltozástól eltekinthetünk, azaz - a C sebességi tényezőre alkalmazhatjuk a Manning-Strickler-féle összefüggést

  9. A Bernoulli-egyenlet ezek után: Marad tehát Ebbe hv-t behelyettesítve: Figyelembe véve, hogy

  10. Áttérve infinitezimális hosszúságokra Állandó S0 fenékesést véve az ábra jelölései alapján:

  11. a matematikai modellt jelentő differenciálegyenlet - elsőrendű nemlineáris közönséges differenciál egyenlet - analitikus megoldása a legegyszerűbb négyszögszelvény esetében sem lehetséges - közelítő numerikus módszert kell alkalmazni

  12. Számszerűsítsük a feladatot! B0= 2,0 m - a fenékszélesség,  = 1,5 - a rézsűhajlás, S0= 0,0001 - a mederfenék esése, k = 40 m1/3/s - a Manning-Strickler-féle simasági tényező, és Q = 6,28 m3/s - a vízhozam. A határfeltétel a legalsó szelvény vízszintje h0 = 1,8 m

  13. A feladatot szemléltető ábra

  14. Megoldási módszerek Az alapegyenlet: Ezt kell integrálnunk x0 és x1 intervallumban: A bal oldal egyszerűsítve és megoldva:

  15. Megoldási módszerek Ezt behelyettesítve az általános formula: Kétféle numerikus módszer jöhet szóba: • Prediktor-korrektor módszer Runge-Kutta módszer

  16. Prediktor-korrektor módszer Prediktor lépés az Euler-Cauchy-féle közelítés: Korrektor lépés előtt számítjuk a következő középértéket: Az újabb közelítés:

  17. Runge-Kutta módszer - Pontosabb numerikus integrálás pontosabb megoldást ad. - Trapézszabálynál nagyobb pontosságot ad a Simpson-formula. - Előnyei, a nagy pontosság és a stabilitás. - Hátránya a viszonylagos komplikáltsága, nagy számítási igénye.

  18. PERMANENS FELSZÍNGÖRBE SZÁMÍTÁS TERMÉSZETES MEDREKBEN - A gyakorlati esetek igen nagy százalékában a természetes vízfolyásokon a prizmatikusság nem teljesül - Kvázi permanens egyenletes felszíngörbe alakul ki. - Vízszintszabályozó műtárgy (duzzasztómű, fenéklépcső, stb.) beépítésekor fokozatosan változó vízmozgás alakul ki. (duzzasztási vagy süllyesztési görbék)

  19. A feladat Legyen adott egy L hosszúságú folyószakasz, ismert geometriai és érdességi adatokkal, melynek alsó szelvényében a vízszint egy duzzasztóművel szabályozható. Határozzuk meg különböző vízhozamok és az alsó szelvény különböző vízszintjei esetén a műtárgy fölött kialakuló felszíngörbéket!

  20. Alapegyenlet A hossz mentén változó medret kisebb szakaszokra osztjuk fel. A szakaszokra az energia egyenletet írjuk fel, és azt fokozatos közelítéssel oldjuk meg. Kiindulási egyenletünk az áramlás teljes szelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet permanens alakja:

  21. Egyszerűsítések - a nyílt felszínből következően P1 = P2, - a sebesség diszperziós tényezője 1 2  1. Most a két szelvény közötti sebességkülönbséget nem hanyagoljuk el. Az energiaveszteség:

  22. A Bernoulli-egyenlet ezek figyelembevételével A w alsó index a x szakaszra vonatkozó középértékeket jelöli. Az egyenlet megoldásához ismernünk kell az A és R változók számításának matematikai modelljét is.

  23. Geometriai jellemzők a víztükör szélessége a medertágulási tényező a nedvesített szelvényterület nedvesített kerület, közelítőleg a hidraulikus sugár

  24. A numerikus megoldás - Zi és Zi+1 a két ismeretlen. - A vízhozamok, a geometriai alakot jellemző adatok Z0, B0, P0, A0, m és a simasági tényezők adottak!) - A számítást a legalsó szakasznál kezdjük, ahol az alsó szelvény vízszintje Zi adott - Zi+1-et Explicit formában nem lehet kifejezni.

  25. Az iterációs képlet C az alsó szelvény adataiból közvetlenül számítható, szakaszonként az iteráció során változatlan állandó.

  26. A fokozatos közelítés lépései a.) A legalsó szelvény adott Zi értéke alapján, vagy az előző szakasz számításának befejezése után, a szakasz ismert alsó szintje alapján számítjuk a C értékét. b.) Az i+1-ik szelvény szintjét megbecsüljük. Pl, első közelítésben Zi+1 = Zi. c.) Kiszámítjuk a Zi+1-hez tartozó Ai+1 és Ri+1 értékeket a korábbiakban ismertetett módon. d.) A egyenletből kiszámítjuk az i+1-es szelvény vízszintjének közelítő értékét a Zi+1-t.

  27. A fokozatos közelítés lépései e.) Ha a b.) pontban feltételezett Zi+1 és a számított Z’i+1 értéke egymástól csak egy megadott vízszinthibával () tér el, vagyis , akkor a számítás az aktuális szakaszra befeje- zettnek tekinthető, és áttérhetünk a következő szakasz számítására. f.) Ha az előző pontbeli feltétel nem teljesül, akkor az újonnan számított Z’i+1-el a c.) ponttól kezdve ismételjük meg a számítást. Ezt a folyamatot addig ismételjük, míg az eltérés a megadott hibakorlátnál kisebb nem lesz. g.) Ezt az iterációs folyamatot ismételjük, amíg vala-mennyi x szakaszra el nem végeztük a számítást

More Related