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ME623 Planejamento e Pesquisa

ME623 Planejamento e Pesquisa. Experimentos com um Único Fator ( Completamente Aleatorizados ). Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA. ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?.

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ME623 Planejamento e Pesquisa

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Presentation Transcript

  1. ME623PlanejamentoePesquisa

  2. Experimentos com um ÚnicoFator (CompletamenteAleatorizados)

  3. Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA • ANOVA = AnalysisofVariance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?

  4. Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA • ANOVA = AnalysisofVariance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? • Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)

  5. Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA • ANOVA = AnalysisofVariance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? • Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis) • Qual é então a motivação para ANOVA?

  6. Teste t da aula anterior > y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57) > y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, -1.27) > t.test(y1, y2, var.equal=TRUE) ANOVA: > grupo<- factor(rep(1:2, each=10), labels=c(“Supl", “Placebo")) • fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo)

  7. Vamos começar com um exemplo... • Uma engenheira quer investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada para fazer camisetas. • Ela sabe que a porcentagem de algodão na composição da fibra afeta a resistência. • Será quer aumentar a porcentagem de algodão aumentará a resistência da fibra? • A porcentagem de algodão deve ser entre 10 e 40% para que o produto final tenha outras características de qualidade desejáveis (como poder aplicar uma estampa)

  8. Exemplo (cont.) • Testar 5 níveis do percentual de algodão: 15, 20, 25, 30, e 35% • Repetir o experimento 5 vezes para cada percentual • Perguntas • Quantos fatores? • Qual é o fator? • Quantos níveis? Quais são? • Quantas replicações? • Quantas UE são necessárias?

  9. Aleatorização Por que mesmo que a aleatorização é importante?

  10. Dados Experimentais Resistência medida em lb/in2

  11. Visualização dos Dados Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão Figura: Dotplot da resistência versus % de algodão Existe alguma indicação de que a porcentagem de algodão afeta a resistência da fibra sintética?

  12. A Análise de Variância • Queremos testar se existe diferença entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator A • E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias? P(não rejeitar H0| H0 é verdadeira) = (1 − 0.05)10 = 0.60 P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40 • O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância

  13. A Análise de Variância (ANOVA) Representação típica dos dados em experimentos com um fator

  14. Modelo • As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

  15. Modelo • As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: • Restrição:

  16. Modelo • As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: • Porque precisamos da Restrição?

  17. Modelo • As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: • Porque precisamos da Restrição? • Temos k médias : média pop. do fator I • k+1 parâmetros! Identificabilidade!

  18. Efeito Fixo ou Aleatório? Efeito Fixo: os a tratamentos foram especi-ficamente escolhidos. Conclusões aplicam-se APENAS aos trata-mentos considerados na análise Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos. Conclusões podem ser estendidas à popu-lação de tratamentos

  19. Formulando as Hipóteses Queremos testar a igualdade das médias dos a tratamentos, ou seja, Veja que Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se os efeitos dos tratamentos são nulos:

  20. Notação

  21. Decomposição da Soma de Quadrados • Soma de Quadrados Total (SST) • Exercício: Demonstrar!!!

  22. Decomposição da Soma de Quadrados • Soma de Quadrados Total (SST) • SSA é a soma de que? • SSE é a soma de que?

  23. Decomposição da Soma de Quadrados • Soma de Quadrados Total (SST) • SSA é a soma de que? Mede dif. média dos trat • SSE é a soma de que? Sobra: devido ao erro

  24. Graus de Liberdade das Soma de Quadrados

  25. Estimador de σ2 • Soma de Quadrados dos Erros • O termo entre colchetes dividido por é a variância amostral para o i-ésimo tratamento: • Então um estimador de é dado por

  26. Quadrados Médios (MS) • Definição: • Quadrado Médio do Erro (MSE) • Quadrado Médio do Fator A (MSA)

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